空时二维相关非高斯杂波的建模与仿真

王崇辉1，邹鲲2

（1.陕西广播电视台，陕西西安710061；2.空军工程大学电讯工程学院，陕西西安710077）

摘要：在雷达信号处理中，脉冲之间存在时间相关性，不同距离单元的脉冲还存在空间相关性，因此在杂波建模中必须考虑其空时二维相关性。基于球不变随机矢量的杂波建模方法能够独立控制杂波的幅度概率密度函数和杂波序列相关性，但该方法不能同时描述杂波的空时二维相关性，通过对该方法的分析，给出获得空时二维相关的杂波建模方法，并通过计算机仿真，验证了该方法的有效性。

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关键词 ：杂波；二维相关性；球不变随机矢量；雷达信号

中图分类号：TN958?34；TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）15?0025?04

收稿日期：2015?01?09

0 引言

杂波的建模在雷达信号处理领域具有重要的理论和实践意义[1]，这是因为雷达信号处理的目的是在杂波中检测有用信号，而只有对杂波的统计特性充分了解，并建立合适的杂波统计模型，才能设计合适的信号检测算法，并对算法进行性能评估。随着雷达工作频段的提高，在低掠射角（Grazing Angle）的条件下，尤其是在海面环境中，雷达杂波的幅度统计特性明显偏离了瑞利分布，幅度概率密度函数（Probability Density Function，PDF）的尾部增大，表明杂波幅度高的部分概率增加[2]。研究表明，针对瑞利分布的常规信号检测器在非高斯分布噪声下的检测性能会明显下降。因此针对非高斯分布背景下的信号检测算法是目前雷达信号处理领域研究的一个重点。

大量的实测数据和杂波产生的物理机理的研究表明，某个距离单元上的雷达杂波的基带信号可以表示为复合高斯过程[3]或球不变随机矢量（Spherically Invariant Random Vector，SIRV）。基于SIRV 的杂波建模的优点在于能够独立控制非高斯杂波的幅度PDF和杂波序列的相关性。文献[4?5]给出了基于SIRV的非高斯相关杂波的建模方法，利用该方法可以产生Weibull，K分布等常见非高斯分布相关杂波。但在实际雷达工作环境中，杂波序列不仅仅表现为时间的相关性，在不同距离单元上还表现为空间相关性[6]，这是由于雷达波束照射范围内杂波大尺度的变化特性产生的。而文献[5]给出的方法不能够实现空间相关，这是因为杂波建模中的随机变量s 和零均值高斯矢量都是独立产生的。

1 基于SIRV 的非高斯杂波建模

雷达杂波建模的要求是杂波序列的边缘概率密度函数和功率谱满足指定要求。产生非高斯相关序列的方法主要有无记忆非线性变换[7]（Zero Memory Non Linear，ZMNL）和SIRV两种方法。ZMNL方法是对相关高斯序列进行非线性变换，这种非线性变换是无记忆的，可以产生某些非高斯幅度分布，但非线性变换后的杂波功率谱会展宽，因此该方法适合描述具有弱相关的杂波序列，从而限制了该方法的应用；而基于SIRV的杂波建模是目前最具潜力的杂波模型，该模型的最大优点是可以独立控制杂波序列的相关性和幅度PDF。SIRV可以表示为一个非负的实的随机变量与一个复高斯矢量的乘积：

式中：随机变量τ 的PDF为f (τ)，在SIRV中通常称之为结构（texture）分量；零均值N 维矢量g 满足联合高斯分布N(0,M)，其中M 为协方差矩阵。

基于SIRV的建模方法就是要产生满足PDF为f (τ)的随机变量τ 和满足协方差矩阵为M 的零均值高斯矢量。要获得协方差矩阵为M 的零均值高斯矢量，主要方法是考虑到M 是Hermitian的，因此其对角化为：

式中：矩阵U 为酉矩阵；矩阵Λ 为对角矩阵；对角线上的元素就是协方差矩阵的特征值，而矩阵U 的列向量由这些特征值对应的特征矢量构成；上标H 表示矩阵的共轭转置。由此可以得到矩阵A = UΛ1 2U H，假定零均值白色高斯矢量为w，那么就可以得到矢量：

显然E[gg ] H = E[Aww ] H AH = M，由此可以根据指定的协方差矩阵构造出相应的高斯分布矢量。获得指定PDF的随机变量τ 的方法通常采用选舍法[8]（Rejection Method），该方法可以产生任意指定PDF的随机变量。其基本方法是同时产生一对均匀分布的随机变量(x,y), 其中随机变量x 在f (τ) 的支撑域内均匀分布，而随机变量y 在f (τ) 的值域内均匀分布。如果满足y < f (x)，就选取x，否则就舍弃。

以上方法可以用于某个距离单元内的杂波序列在相干处理间隔（Coherent Processing Interval，CPI）的脉冲回波杂波建模，其中序列长度N 表示脉冲累积的数目。但如果要描述不同距离单元之间的脉冲相关性，上述方法就失效了，这是因为在SIRV杂波建模过程中，随机变量τ 和高斯矢量g 是统计独立的，两个随机变量τ 之间，以及两个高斯矢量g 对应元素之间也是统计独立的。

假定利用上述方法产生K 个N 维SIRV矢量，那么就构成了一个N × K 的矩阵，表示为C = [c1,c2 ,?,cK ]，其中cK 为N 维SIRV列矢量。假定cK 满足协方差矩阵R为N 维方阵，该协方差矩阵描述了杂波一个CPI内的时间相关性。同样，cK 之间的协方差矩阵S 为K 维方阵，该协方差矩阵描述了杂波不同距离单元之间的空间相关性。而由上述SIRV 产生方法，只能指定协方差矩阵R，而仿真得到的协方差矩阵S 始终是单位矩阵，即上述杂波建模方法不能描述杂波的空间相关性。空间相关性可以表示为：

这说明，要使得杂波序列满足时间相关性的同时，还要求满足空间相关性，必须保证公式（4）右边两个因子不能恒等于零，也就是说产生SIRV 过程中的随机变量τ 要满足一定的相关性，而且高斯序列gk 要满足空时二维相关性。

2 空时二维相关高斯序列的产生

建立空时二维相关的高斯序列，本质上就是建立具有二维相关的高斯分布矩阵。这种矩阵的获得方法很多，而本文给出一种较为直接的算法。假定如下的矢量化表示：

该函数表示将N × K 维矩阵G 的列矢量首尾相连，构成一个NK 维列矢量，如果假定gk ~N(0,R)，g ? n ~N(0,S)，那么容易得到g~N(0,T )，其中矩阵T 为R 和S 的Kronecker乘积，是NK 维方阵：

由于矩阵T 是两个协方差矩阵的Kronecker乘积，因此也是Hermitian的，可以利用类似式（2），式（3）的方法，得到满足协方差矩阵T 的高斯序列，然后利用式（5）的逆变换得到N × K 维矩阵。

将变换前后的二维随机序列的相关系数进行绘制，如图1所示。在变换前，相关系数是一个delta 脉冲形状，说明序列在两个方向上是不相关的。而经过上述处理之后，两个方向的相关性得到了增强。

3 相关τ 分量的产生

产生指定PDF，具有一定相关性的τ 变量的方法则要复杂得多，这是因为当要考虑建立具有相关性的τ 随机序列时，必须指定多变量PDF。通常而言，f (τ) 是比较复杂的，采用ZMNL 方法是不合适的，有时甚至不可能实现。这是因为每一类型的f (τ) 惟一对应一种ZMNL方法。本文给出了一种较为简单的方法，该方法的基本思想是考虑到满足某个分布的随机变量的排序不会改变其幅度分布，但会改变相关性，因此可以先获得无相关性的随机序列，经过适当的排序，得到相关的序列，具体方法如图2所示。

首先是利用选舍法获得幅度分布满足f (τ) 的随机变量。由选舍法的基本原理可知，这些随机变量之间是统计独立的，在时序上没有任何相关性。同时，还考虑到随机变量在时序上调换位置，而不改变变量的大小并不影响幅度分布的规律。因此可以对其重新排序，使得在时序上满足某种相关性。由此可见要获得这种相关性，本质上就是要获得时序排列的方法。

本文假定独立同分布的高斯分布随机序列是可以获得的，考虑到高斯分布的线性变换仍然是高斯分布。值得指出的是f (τ) 一般都是非高斯的，因此利用选舍法得到的随机序列经过线性滤波器，输出的幅度分布可能不再满足f (τ)，因此可以将独立同分布的高斯分布序列通过线性滤波器，得到相关的高斯分布随机序列。输出高斯序列的相关性与滤波器的频率响应存在对应关系。对该相关高斯序列进行排序，就可以得到相关序列与顺序序列之间的位置映射关系P：

随机序列的排序过程，就是位置的映射过程，这种映射是一一映射，也是满射，因此其逆映射是存在的，定义为P-1。将这个逆映射作用于排序后的τ 序列，就可以得到满足某种相关性的τ 序列，其相关性与高斯序列的相关性存在某种关系，这种关系的确定较为复杂，但通过计算机仿真验证发现，高斯序列的相关性越强，获得的τ 序列的相关性也越强。

图3给出了满足某种PDF的随机序列在变换前后的波形图。从波形图可以看出，改变随机序列的位置，可以得到满足某种相关性条件，同时不改变幅度分布特性。

为了考察τ 序列经过位置逆映射之后的相关性与相关高斯序列的相关性之间的关系，假定高斯序列满足的相关系数为对称指数分布：ρ(m) = exp(-b|m|) ，其中，参数b 控制了序列的相关性，b 越大序列的相关性越小，如图4中虚线所示。

图4 给出了m = 1,2,3 时的相关系数随着b 的变化规律。利用前述方法得到相关τ 序列，其相关系数随b的变化规律如图4中实线所示。可以发现，τ 序列经过位置变换之后，具有与高斯序列相接近的相关性，即随着b 的增大，τ 序列的相关性也减弱。但与高斯序列相关性比较可以发现，其相关系数比高斯序列的相关性弱，这主要是由于在位置变换这种逆映射过程中，等价于某种非线性变换过程，从而导致了功率谱的展宽，使得相关性减弱。

4 结论

杂波序列通常表现为空时二维相关性，在时间方向上反映了CPI内某个距离单元回波之间的相关性，而不同距离单元的回波相关性则反映了雷达天线波束照射区域内的场景结构，而这种结构也导致了杂波序列具有空间相关性。已有的基于SIRV的杂波建模方法，无法描述杂波序列的空间相关性，这是由其产生方法决定的。

本文通过设计空时二维相关的高斯序列，以及采用位置映射的方法获得空间相关的τ 序列，可以产生基于SIRV模型的空时二维相关的杂波序列。计算机仿真分别验证了高斯序列和τ 序列的相关性。但本文并没有给出τ 序列的相关函数与高斯序列相关函数之间的显性关系，这部分内容将是下一步研究的重点。

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参考文献

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作者简介：王崇辉（1978—），男，河南人，助理工程师。研究方向为通信工程。