解题教学，如何把知识转化为能力——以《数列中的整数解问题》一课为例

王思俭

(江苏省苏州中学，215007)

数学教学的任务不仅仅是传授知识，更应该是使学生养成自主学习的习惯和提高解决问题的能力，让知识成为认识事物、解决问题的利器——尤其在解题教学中（近年来的数学高考也特别强调能力立意）。但现实情况是：学生的数学学习态度不容乐观，总是依赖于教师的讲解，依赖于参考答案，跟着教师或答案走而没有自己的想法；数学解题教学也总是有其量而无其质，因此出现了“讲过练过未必会做，没讲没练一定不会”的怪现象。所以，我们应该探讨如何把数学知识转化为学生的能力——尤其在解题教学中。下面以笔者面向苏州市优秀骨干教师开设的高三解题教学公开课《数列中的整数解问题》为例，谈谈这方面的思考。

一、起点要低

解题教学中，所设计的问题要针对学生的薄弱环节，最好是结合作业、考试等反馈渠道发现的问题；要有基础性、联系性和层次性，最好是从教材题人手，演变到高考题。但目前的解题教学中，不论是新授课还是复习课，很多教师都倾向于让高考真题、模拟题以及各类辅导资料中的题目充满整个课堂，而对教材上的题目不屑一顾。这也造成了课堂上解题量大，但“堆砌”拔高”的问题严重，缺乏学生独立思考的时空保证、思维过程的慢化引领、数学表述的精致提升、思想方法的有机渗透、源流变化的清晰展示，导致学生解题的灵活性和迁移能力得不到有效提高。

【片段1】

师数列是高中数学的重要内容，通项公式、前n项和中都含有正整数n的问题。但很多同学对这类问题往往束手无策。

（板书课题）这节课我们就专门研究“数列中的整数解问题”。先来看一个教材中的已知通项的问题。

（教师出示考点展示题1：数列(an）的通项公式为Cn=n2+3n+2，n∈Nx，若am=56，则正整数m=__。学生直接解二次方程求得结果。）

师二次方程太简单了，现在我们把问题变一变。

（教师出示变式：数列(an）的通项公式为an=n3+3n+2，n∈Nx，则56是该数列中的项吗？若是，它是第几项？若不是，请说明理由。）

师灵活运用正整数的性质，这个方法最为简洁明了！在平时的计算中，我们要学会估算。再来看一个简单的等差数列问题。

（教师出示考点展示题2：若一个等差数列的前3项和为3，最后3项和为30，且所有项和为99，则这个数列有项。一些学生利用等差数列的对称性解决，另一些学生将连续的三项组成新的等差数列解决。）

师很好！直接运用首尾相加的对称性也不复杂，现在我们把问题变一变。

师她是利用等差数列前n项和公式的特征进行解题的。当然，他们都利用了正整数的性质。

这里，课题是根据学生学习和解题中暴露的问题和难点所设计的。考点展示题和变式都具有很好的基础性，体现了这类问题各种变化下的基本特征和思路——分别为要求的（也可是要证的）通常与数列的项数（也可能是数列中其他给定的正整数）有关，通常可以转化（归结）为求方程的正整数解。而且，考点展示题和变式之间也具有很好的层次性，即考点展示题1中得到的方程为一元二次方程且只有一个正整数解，考点展示题1的变式中得到的方程为一元三次方程且没有正整数解；考点展示题2中得到的方程为一元一次方程且只有一个正整数解，考点展示题2的变式中得到的方程为二元分式方程且有多个正整数解——从有固定求解方法的方程到没有固定求解方法的方程，从解确定的方程到解不定的方程。类似的联系性和层次性，还体现在了这几道引题与后面（教学片段2、3、4中）的例题及其变式之间。

此外，值得一提的是，对于有一定难度的变式，教师在教学中通过不断的追问引导学生的思路，加深、拓宽学生的思考，渗透了从特殊到一般、从形到数、对称、转化的思想方法，提升了学生知识迁移和问题分析的能力。类似的引领，还体现在了后面的例题及其变式的教学中。

二、立意要高

解题的能力，往往表现为一种灵活性、迁移性。因此，解题教学不能“就题论题”，而要有更高的立意，才能真正地实现教会学生运用所学知识分析问题和解决问题。那么解题教学如何做到“能力立意”？奥苏伯尔指出，影响迁移能力的主要因素是认知结构的清晰度、概括度和巩固度。数学解题的能力一方面来源于概念的实质性联系，这是数学解题的“通性”。数学概念组成了有着丰富联系的结构化体系，其中有一些核心概念是比较重要的“联结点”“生长点”和“控制中心”，体现着数学知识的本质，指引着数学知识的发生、发展。因此，解题教学要加强概念的联系性，凸显核心概念，引导学生从中展开思路。数学解题的能力另一方面来源于具有一般意义的思想方法，这是数学解题的“通法”。思想方法是探索数学知识、解决数学问题的指导思想、基本纲领，从中可以生长出千变万化的技巧、丰富具体的措施。因此，解题教学要揭示思想方法的价值，显化思想方法的引领。当然，根据学生实际和教学要求选编具有“能力立意”的例题进行讲解是基础。

[片段2]

师我们来看一些高考题的改编题。

师他的推理非常严谨。本题和例1类似，解题的关键是ak+2 (ak+ak+l)表示为k的表达式。但是，本题又和例1不同，表示出来后，不是分式结果为整数的情况，而是二次式结果为正整数指数幂的情况，这是等比数列特征的表现；求解时又要利用导数研究函数及其零点，这倒又有点像考点展示题1的变式。

这里，例1是根据2009年高考江苏卷第17题改编的，有着较好的能力立意：考查研究数列的一般过程和方法、求解数列的基本量的方法、通项公式的内涵与价值、表示数列中的项的方法、函数与方程思想、转化与化归思想、求二元不定方程整数解的丰富策略等。变式则将类似的问题迁移到了等比数列背景下。例1当年的得分率很低，从反馈的情况

的某一项”不知道如何转化表示，或者表示出来后不知道如何求解等。变式的难点主要在于指数方程的求解。因此，在解决问题时，教师特别注意引导学生从核心概念及其联系出发，转化已知的条件，联想熟悉的方法。比如，数列中的项的特征是什么？q2-q-l-定为1吗？能联想到什么？是否可以换个角度，研究函数的图像或性质呢？研究函数有怎样的有力工具呢？等等。凸显了数列通项、不定方程、函数与导数等核心概念及其联系。在学生顺利解决问题后，教师特别注意对关键方法进行提炼、总结，对类似问题进行联系、比较。这样，既夯实了学生的基本思路，又提升了学生的认识层次，从而有效发展了学生的解题能力。

三、过程要慢

解题能力差，往往表现为“想不到”。而其根本原因往往是，教师为了追求“实惠”，使课堂容量太大，教学节奏太快，强行灌输思考结果，缺少思维过程的展示、体验和引领，缺乏思维方法的渗透、提炼和概括，导致学生在稍有变化的问题情境中，“特技”失灵，“动作”变形，“迁移”无力，灵活性成为“泡影”。要改变这种状况，最佳途径就是给学生足够的时间和适当的平台，放手让学生摸索、尝试、展示、交流，经历“定性定量”“具体抽象”“试验发现猜想论证”等过程，从中获得对“如何思考”的体会和感悟，把感性认识上升为理性认识。值得注意的是，当堂出示题目，能让学生感觉新鲜，有利于学生快速集中精力投入思考，保持高效。

生（众）一个一个解方程，感觉太繁琐了。

师你们先思考要不要将每个m的值都代人再解方程呢？能否把右侧看成一个数，先将q解出来呢？

师正确。经过大家的共同努力，本题终于被圆满解决了。集体的智慧是强大的。本题和例1有什么区别和联系？

生本题是例1的进一步变化。分母由一次式变成了二次式，而分子直接是常数。

生分母中的变量还由整数变成了有理数。

师所以其初步的取值情况，不能通过整除性质，而要利用已知范围来确定。

这里的例2与前面例1及考点展示题2的变式有很多类似的地方，因此，教师不做任何提示，而让学生充分摸索、尝试、展示、交流，发现问题并纠正。直到学生掉进“l+q+q2=1或13”的陷阱而没有发觉，教师也没有直接地否定，或正面地引导，而是从反面间接地提醒，引导学生要换一个角度深入思考。这使得学生经历了从苦思冥想到豁然开朗的过程，学会了寻找解题思路。学生走出陷阱后，教师依旧不作任何提示，而让学生自己思考新的思路。学生获得正确的思路后，教师才提醒学生简化运算的技巧和条件运用的注意点，并继续让学生展示。这使得学生的思维进一步碰撞出火花，进一步体会到了解题思维的优化方法和注意事项。当学生彻底解决问题后，教师才揭示其与前面题目的区别与联系，以提升学生的认识。最后，教师让学生自主完成一个类似的变式，及时巩固之前的思维方法。这样的教学，较好地体现了潜移默化、润物无声的“慢工”。

四、结果要悟

让学生在不断的反思中获得感悟，是落实思维教学、提升解题能力的关键。对于数学解题的结果，要引导学生进一步反思并归纳提炼、抽象概括，发现更多的数学现象和规律并用数学语言表达和刻画，从中不断感悟数学核心概念的本质和数学思想方法的真谛，体会数学解题和思考的乐趣以及数学研究的方法。这是对学生认识的进一步深华，也是对学生思维的进一步训练，解题能力、创造力的培养便蕴含在其中。

再证明它是等差数列；但没有办法求出通项公式，所以没有办法判断它是等差数列。

师你们知道证明等差数列的方法有哪些吗？

生定义法、通项公式法、递推公式法。

师没错。定义法是基础，另外两种方法都是它的变形。此题要求的是通项公式，直觉告诉我们应该从定义或递推公式到通项公式，而不是反过来。相邻两项的

解呢？

师待定系数法就是方程思想的体现。其实，这个方程中的n是已知的，x、y才是未知的。也就是说，它还是一个二元方程。生对，求出来的x、y是用n表示的。还是用例1的思路，把一个未知数用另一个未知数表示出来，然后利用整数的性质求解。

何一项都可以表示为该数列中的不同若干项之和。

生推广后的问题实质上就是裂项求和。

师这两位同学都讲得非常好！你们的发现出乎我的预料。（稍停）你们有没有继续思考：一个数列能否拆成两个具有同样性质数列的和？

（教师出示2014年高考江苏卷第20题：

师这便是今天留给同学们的课后思考题。

（教师引导学生总结一下本节课解决的主要问题，复习的重点内容、思想方法以及存在的困惑。然后，下课。）

这里，例3的呈现别出心裁。学生解决完简单的第(1)小题后，并不知道后面的问题是什么，教师则引导学生根据结果反思条件的形成过程，并从中发现一般性的结论，悟出概括性的本质，从而创造性地提出第(2)小题。解决完第(2)小题后，学生自然地推出更一般的结论，悟出更具有概括性的本质，而教师则呈现了思考延伸后的高考压轴题。这样的反思与感悟，使学生进一步掌握了提出数学问题、进行数学研究的策略，也使学生对数学问题产生了一种“居高临下”的认识。此外，课堂小结也进一步引导学生提炼、概括本节课的核心概念、思想方法和薄弱环节，体现了“联系、建构、反思、延续”的复习教学思路，使学生的能力得到进一步的提升。