HPM视角下的教材理解与难点认识——以“两角差的余弦公式”为例

张小明

(浙江省诸暨中学，311800)

“两角差的余弦公式”是人教版高中数学教材必修4“三角恒等变换”一章的起始课。对于两角差的余弦公式的证明，教材给出了基于单位圆的几何方法和基于坐标表示的向量方法。其中，几何证法生硬、复杂，且只证明了锐角的情况，学生难以接受；而向量证法则自然、简洁，且结论适用于任意角，学生易于接受。因此，很多教师认为几何证法毫无必要，从而在教学中放弃了几何证法。此外，苏教版高中数学教材就直接呈现了向量证法，而没有呈现几何证法。

那么，人教版高中数学教材为什么要“浪费篇幅”给出这种“吃力不讨好”的几何证法？如何才能化解这一教学难点？笔者以为，通过历史发展的脉络来解读和认识，问题便能迎刃而解。

一、对教材编写的解读

（一）几何证法探源

古希腊亚历山大晚期的几何学家帕普斯(Pappus，公元4世纪初)所著的《数学汇编》第5卷第4部分是对阿基米德的《论球与圆柱》的评注。其中，帕普斯给出以下几何命题：

设H是以AB为直径的半圆上的一点，CE是半圆在点H处的切线，CH= HE，CD

事实上，在图1的基础上，我们可以进一步验证，帕普斯的这一几何命题和两角和与差的三角函数公式是等价的。这里，我们以两角差的余弦公式为例来说明：令OE =1，∠FOH=α，∠EOH=β，则有∠EOF=α-β，∠EHG=α，于是OF=OE·cOs（α-β）=COS(α-β),OH=OE.cosβ=cosβ,HE= OE·sinβ=sinβ, OG=OH.cosα= cosαcosβ,GF=JE=HE·sinα=sinαsinβ。又由OF=OG+GF，可得COS(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ。

由此，如果把图1中与上述证明相关的部分“分离”出来，并放到单位圆中，就能得到图2教材中提供的几何证法的图形。所以，我们有理由说，教材中提供的几何证法是基于帕普斯这一几何命题的模型的。

（二）证法演变寻根

早在两千多年前，古希腊数学家希帕科斯(Hipparchus，前180～前125)就利用相当于和、差角三角函数公式的结果制作了目前所知的第一个弦表。后来，托勒密(C.Ptole-my，约100～170)也利用相当于和、差角三角函数公式的结果制成了现存最早的弦表。毫无疑问，最早的三角公式都脱胎于几何命题，而正弦、余弦始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的线段。

1748年，欧拉的代表作《无穷分析引论》发表。在这本书中，欧拉指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值。”比如，以角的顶点O为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向角的另一边作垂线PM，所得的线段OM(即函数线)与OP的比值即该角的余弦；显然，若OP=1，则OM就是该角的余弦。欧拉的定义既使三角函数有了几何意义，又将三角函数解析化为点的坐标。更重要的是，这样的定义使三角函数只与角的始边和终边有关，从而将三角函数自然地推广到了任意角。显而易见，三角函数和圆中的弦始终有着紧密的联系，甚至有人将三角函数称为“圆函数”。

结合上述史实，我们不难看出，从直观到抽象，是人类认识世界的基本规律，而三角函数（和角公式）从几何（形）到解析（数）的发展也印证了这一规律。因此，教材中先给出几何证法，证明锐角的情况，再给出向量证法，推广到任意角的情况，符合和角公式的历史发展顺序，是人们认识和角公式的历史发展写照。此外，教材选用的几何证法很好地体现了三角函数和圆中的弦的联系，是自然的、有迹可循的。

二、对难点形成的认识

既然教材对几何证法的编排是符合历史相似性原理的，那么为什么很多师生会认为几何证法难以接受且没有必要呢？笔者认为，根本原因在于割裂、忽视了三角函数的几何表示。

从教材的编写来看，人教版高中数学教材虽然介绍了三角函数的几何表示，即单位圆中的有向线段，但是后续几乎不再涉及。这导致学生缺乏利用三角函数的几何表示解决问题的经验，更没有“将单位圆中的线段表示成某个角的三角函数”的认知和思考基础。如此一来，介绍两角差的余弦公式的几何证法时，学生就会倍感突兀，更觉繁难。

从教师的教学来看，很多教师在教学中，普遍忽视对三角函数的几何意义的深入讲解与训练。而造成这一现象的根本原因是，教师自己对三角函数几何意义的认知不理想。笔者曾用以下问题对部分教师进行调查：

综上，可知就“两角差的余弦公式”而言，如果在整个“三角函数”单元连续、系统地安排历史材料，让学生体会到三角函数从几何到解析的发展历程，那么，学生就不会想不到几何证法，也不会不理解和认同几何证法的价值了；如果教师能了解“三角函数”的历史发展脉络，正确地理解教材的编写意图以及不足，有效地进行教学加工，那么也能化解这一教学难点。

三、几点启示

（一）对教材编写的启示

应当说，人教版高中数学教材的编写，注重了历史材料的融人，体现了HPM研究的基本理念。但是，为了让所融人的历史材料更好地促进学生的学习和理解，而不成为难点和负担，还需要注意以下几点：

第一，在教材的编写上，历史材料的应用通常是以阅读材料的形式出现的，并停留在“历史故事”的层次。这种“附加式”往往无法引起广大师生的重视，一是因为其基本不直接影响内容的连续性和系统性，认知的价值不大；二是因为其主要以提高学习兴趣为目的，应用的层次较低。因此，要更多地通过“重构式”，让历史材料以正文的形式出现，并达到“实用知识”的层次，让学生对历史材料的价值有更深入、更多元的认识。比如，通过历史上数学家的方法巧妙解答例题，让学生感受到，即便从狭隘的解题、应试的角度看，数学史也是有用的。人教版高中数学教材对“两角差的余弦公式”的编写，就在这方面进行了有益的尝试。

第二，在教材的编写上，历史材料的应用往往不能面面俱到，而要重点渗透在某些专题中。这是“因地制宜”“具体问题具体分析”的表现。但是，就选定的某个专题而言，历史材料的应用应该脉络清晰、自成体系，使学生的认知具有连续性和系统性。人教版高中数学教材对“两角差的余弦公式”的编写，就在这方面出现了问题。

此外，当下很多教师普遍缺乏数学史知识。所以，在教材中融人数学史材料的同时，应当在教学指导用书中加强对数学史材料的解读和对数学史材料使用的指导。

（二）对教师教学的启示

教师对教材的解读，直接影响着教师的教学行为。教师对教材的解读，既是对教材文本的二次开发，又是与教材编者的对话。因此，教师解读教材时，既要考虑知识的现实情境、数学本质和逻辑联系，又要考虑编写者的基本意图和所教学生的认知水平。

著名的HPM学者Tzannakis和Arcavi认为，在教学中考虑历史的维度，可以提升数学教师的学科教学知识(PCK)，帮助学生学习数学，并为研究数学的本质和数学活动的发展提供另一种视角。因此，教师教学时还要考虑知识的历史发展，并在历史发展的脉络中认识、阐述教材的编写。

本文系浙江省2015年教科规划课题《在高中数学教学中实施HPM教学的行动研究》(课题编号：2015SC2;62)的阶段性研究成果之一。