高中数学课程中的空间向量教学探微

甘肃省嘉峪关市第一中学 王正清

【摘要】文章结合目前学生在学习空间向量上存在的问题，对高中数学课程中空间向量的教学进行了探微。

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关键词 高中数学；空间向量；教学探微

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568（2015）24-0046-01

向量是近年来高中课本上最新引入的学习板块，一般情况下，向量可以分为平面向量和空间向量，平面向量一般用来解决平面几何问题和辅助空间几何问题的分析，而空间向量则是可以用来直接解决空间几何问题的强大“法宝”，在一些较为困难的空间几何问题上，空间向量往往能够比几何分析法提供更大的帮助。基于很多学生对几何学习抱有抵触心理，所以从向量开始出发进行学习不失为一种好办法。高中数学课程中的空间向量教学是很多教师进行备课的一种方法，由此可见，高中数学课程中空间向量的教学十分重要。

一、注重教学过程中的空间向量性质及运用时的数形结合

1.空间向量的代数性质。空间向量代数性质的基础是运算，与此同时，运算作为数学的基础，始终贯穿学生的数学生涯，所以想要学生把握空间向量的代数性质其实并不是个难题。而在空间向量代数性质的教学过程中，教师应该将重点放在教会学生理解运算的意义和熟练掌握运算律与运算性质上面。教会学生理解空间向量运算意义的目的在于为之后将空间向量运用到几何解题中打下基础，因为向量是一个同时具备方向和长度两个因素的有向线段，给向量乘上一个数，或是两个向量相加，它们不再和基础加减乘除运算那般意义简单。比如，给一个向量乘上一个常数n不仅仅是把一个数扩大一个倍数n那么简单，它此刻的意义是比原来有向线段长n-1倍的另外一条有向线段了。由此可见，向量运算意义和代数运算意义相比要复杂得多。假如在简单的向量运算意义的理解上学生产生了偏差，那么在后期数形结合的过程中学生必定会在解题思维上会产生混乱，进而影响其空间几何的学习。

而由于空间向量的运算意义和普通代数运算意义的不同，就造成了空间向量的运算律同样具有了不同的意义，而空间向量的运算律作为后期解题过程中简化的关键，是教师在空间向量教学中的重点之一。与此同时，空间向量由于运用广泛，运算律和运算性质的数量并不少，教师在教授过程中应该注意循序渐进。而空间向量满足的运算律和运算性质有许多，比如，向量的数量积适合交换律、结合律、分配率，对于任何向量a，0向量与其相加等于它本身，任何向量和0向量相乘的与零向量，三个相互垂直的向量，存在ab=ac=bc=0，等等。这些性质看似多且杂，却是后期平面几何与空间几何问题中不可缺少的一部分，而教师在教学过程中不妨稍微引入空间几何，以便给学生留下深刻的印象，同时也为今后空间几何的教学埋下伏笔。

2.空间向量的几何性质。空间向量的几何性质在后面几何问题的刻画中是十分重要的，比如说两个不共线的向量的线性组合可以确定一个平面，这样向量和几何中的平面之间的桥梁就可以轻易地搭建了。当然这样的例子还有很多，再比如说向量a、b相乘如果等于零的话，那么这两个向量就一定是垂直的，在空间几何中就可以利用这一个性质，轻易证明两个向量的位置关系。而想要将向量和三角函数联系起来，利用向量的几何性质同样很容易就可以达到，可以设e为一个单位向量，那么向量a和e的乘积就是向量a在e方向上的投影，而投影又可以由a的绝对值乘以a和e的夹角余弦来表示。对于教师来说，帮助学生全面地理解空间向量的几何意义不仅仅是在为学生在空间几何上面的学习打下基础，更是在为自己减轻空间几何教学中的压力。

二、面对具体问题时应注重灵活选择

空间向量的学习最重要的是进行灵活应用，当然，由于空间向量的运算性质和运算律较多，就会造成学生在解题选择时的困难，与此同时，由于空间向量主要是运用在空间解析几何中，而空间解析几何这个体系中的解题方法也不少，这样又大大增加了学生的解题难度，如何教会学生在解题时适当地选择合适的解题方法成为教学的关键，就好比下面这道题。

【例4】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=8，E是BC的中点。求异面直线AD1与B1E所成的角。这道题也许一些学生会利用空间解析几何的性质，将AD1平移到BCB1C1平面，再利用几何里角度的关系进行求解。但是这道题由于有具体数据，同样可以利用空间向量中的数量积公式来求解。

这就是解题的灵活性了，空间向量给学生解题提供了更多思路，也带来了选择上的难度。要使学生灵活地运用空间向量，选择适当的解题方法，只有在日常的教学中多多向学生展示才能达到良好的效果。

当然，进行较难的空间几何问题求解时，一般情况下需要同时运用几何分析法和空间向量法求解，在这个方面就体现出两种方法的巧妙结合与灵活转化了。面对这类问题，由于对学生思维转化要求稍微高一些，不少学生对其比较怵头，所以在大多数情况下，教师需要教给学生，让他们先利用几何分析法找到基本的已知条件和几何关系，然后利用空间向量的相应性质，列出有关关系式，找到下一步的条件，最后进行一系列的计算，这样大部分的难题便能够迎刃而解。这样一步步来，问题慢慢化繁为简，对于思维转化较慢的学生来说，是非常有帮助的一种方法。当然，在求解问题时，同样是空间向量法求解，选择不一样的公式或方法，往往难易程度也会有所不同。比如下面这道题：

已知正三棱柱A1B1C1-ABC的各条棱长都相等，M是侧棱C1C的中点，则异面直线AB1和BM和所成角较大的那个是多少。

一些学生在解这道题时，会考虑到这道题并没有给出具体的数据，所以在解答时，希望通过简单的向量变换和几何中的关系来进行求解，然而，假如这道题学生的求解思路是这样的，那便很难得出答案，这样就走入了一个死胡同，思维转化不过来的话，很难找到另外的突破口。所以在进行这道题的求解时，不妨设三棱柱的边长为2，而由于是正三棱柱，那么很容易就可以得到一组基向量，最后利用向量中的夹角公式，就可以轻易地得出答案了，换一下思路就会有不同的解题方法。

教师在进行空间向量课程的教授时，最重要的是培养学生的思维习惯，高中阶段空间向量所涉及的问题不过是几个主要方面。那么，教师不妨按照这几个方面将题型分类，让学生进行一定量的练习，使他们对这几类题型产生习惯性的解题思路，考试时对这些题目产生条件反射，这样学生在空间向量的学习中才能够真正算得上扎实稳定。

综上所述，高中空间向量的学习是连接代数与几何的桥梁，只有在日常学习中让学生掌握好空间向量的各项知识，才能使学生在后期立体几何的学习中尽量少走弯路，才能使他们用较简单的方法解较难的题，与此同时，空间向量的知识在今后大学甚至更高水平的学习阶段都会有所运用，所以，空间向量的教学不仅仅在整个高中数学教学中十分重要，在学生的整个学习生涯中都是占有了一席之地的，空间向量的学习重在踏实。

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参考文献：

[1]张雪景.高中数学向量教学初探[J].中华少年（研究青少年教育），2013，（20）：276.

[2]丁永.浅议高中数学向量教学[J].读与写，2013，（24）：187-188.

（编辑：杨迪）