静电场边值问题有限差分法的仿真分析

霍文晓

（青岛农业大学理学与信息科学学院，山东 青岛 266109）

【摘要】为了提高教学效果，在教学过程中引入仿真教学方式。结果表明，利用仿真软件进行演示，能够形象的反映有限差分法的解题过程，并得到电位分布图，加强了学生对抽象理论的理解。

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关键词 有限差分法；MATLAB；仿真分析

在电磁场理论中，已知场量在场域边界上的值，求场域中的场分布称为边值问题。通常将静态场边值问题的求解简化成：在一定边界条件下对位函数的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。在电磁场与电磁波课程教学中，边值问题的求解既是重点又是难点。教材中主要讲了三种方法：镜像法、分离变量法和有限差分法。随着计算机技术的发展和模拟软件的进步，有限差分法得到了迅速发展和广泛应用。因此，为了与实际接轨，在课堂讲授中，我们将有限差分法作为边值问题这部分的重点内容。并采用理论讲解与模拟演示的教学方法，同时提高学生对理论知识的理解和应用能力。

1　有限差分法的原理

有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。

1.1　位函数的差分方程

在一个边界为L的二维无源区域S内，电位函数φ(x,y)满足拉普拉斯方程和边界条件为：

通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h,节点(xi,yi)处的电位φi,j可由其周围直接相邻的四个节点的电位表示，即二维拉普拉斯方程的差分形式。

同时将边界条件进行离散化，成为边界节点上的已知数值。在这些已知节点条件下，求解各节点的差分方程，整个区域中的节点上电位值即可求出。

1.2　差分方程的求解方法

在求解实际问题时，为了达到足够的精度，需将网格划分的充分细，节点的个数很多，建立的差分方程数量大，一一求解工作量大。因此如果节点数量较多，通常使用迭代法。

1.2.1　简单迭代法

进行反复迭代(k=0,1,2,…)。若当第N次迭代以后，所有内节点的相邻两次迭代值之间的最大误差不超过允许范围，则终止迭代，并将最后一次迭代的结果作为内节点上电位的最终数值解。

1.2.2　超松弛迭代法

简单迭代法的收敛速度较慢，为了加快收敛速度，实际中常采用超松弛迭代法[3-4]。迭代公式为

式中：α称为加速收敛因子，其取值范围是1≤α＜2，当α≥2时，迭代过程将不收敛。

加速收敛因子α有一个最佳取值问题，但随具体问题而异。对于第一类边值问题，若求解区域为矩形场域，且由正方形网格分割（每边结点数分别为m和n），则最佳收敛因子α可按下式计算。

2　模拟演示

以一个正方形截面的无限长金属盒为例，演示用MATLAB对有限差分法的仿真。盒子的两侧及底的电位为零，顶部电位为100V，求盒内的电位分布。

由于场域内不存在电荷，其电位分布必满足拉普拉斯方程。将正方形区域划分成10×10的网格。

2.1　简单迭代法仿真结果

为简单起见，将场域内部节点上的电位初始值全部取为零，利用式（3）求出各内部节点电位值的一次解φij(1)。原来零次解中的各节点电位值将被一次解中的相应电位值所取代。重复上述步骤，令每一个内部节点上的第k+1次解电位值等于该节点周围四个相邻节点（或边界点）第k次解电位值的算术平均值。直到相邻两次的迭代值相差不超过设定的误差范围（1e-6）后，退出迭代。

仿真结果：迭代次数为150次，迭代后各节点的电位如图1所示。

根据节点电位画出电位分布曲线如图2所示。

由得出的数值解可以看出，金属盒内点电位分布是越靠中间电位越高，越靠近金属盒顶部电位越高，这是由于金属盒底部和两边的电位都为零，而顶部最高。由此表明此方法计算出的电位值，符合金属盒内的电位分布情况。

2.2　超松弛迭代法仿真结果

超松弛迭代法的关键在于收敛因此的取值，合适的收敛因子可以减少迭代次数。

由式（5）可知，当网格节数为10×10时，收敛因子取值为1.56迭代次数最少。通过MATLAB仿真，可得收敛因子与迭代次数的关系，如表1所示。

从结果可知，收敛因子选择1.56迭代次数最少。与理论计算所得结果相等。

通过简单迭代法和超松弛迭代法对比发现，两种方法求出的数值解相同，得到的等电位线分布一样，但超松弛迭代法比简单迭代法收敛速度更快，迭代次数更少，计算时间更短。

3　结论

利用MATLAB软件对有限差分法分析边值问题进行了仿真分析，不但让学生对有限差分法这种分析方法有了直接的接触和了解，同时对边值问题的处理方法和结果有了更深的认识。通过这种教学方法，使抽象的电磁场问题变得直观、形象，既可以活跃课堂气氛，同时可以加深学生对理论知识的理解，并进一步为将来接触时域的有限差分法打下了良好的基础。对培养学生学习的主动性和积极性有着重要的作用。

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参考文献

［1］谢处方,饶克谨.电磁场与电磁波[M]．4版.北京:高等教育出版社,2006:128-165.

［2］王洁,陈超波.基于MATLAB的静态场边值问题有限差分法的研究[J].微计算机应用,2010(03).

［3］何红雨.电磁场数值计算法与MATLAB实现[M].武汉:华中科技大学出版社,2004:4210.

［4］赵德奎,刘勇.MATLAB在有限差分法数值计算中的应用[J].四川理工学院学报:自然科学版,2005,18(4):61-64.

［责任编辑：汤静］