关于函数连续性与间断点的分析方法研究

徐　森

（陕西省建筑职工大学，陕西 西安 710068）

【摘　要】根据函数连续性的定义，讨论的初等函数间断点的判断方法。从函数极限存在性入手，给出了判断函数间断点类型的一般步骤。通过几个特出非初等函数连续性和间断点的讨论，说明了判定过程，对于函数连续性和间断点的教学具有一定的指导意义。

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关键词 连续函数；间断点；初等函数；分段函数

函数连续性是高等数学中衔接函数极限和函数微分的重要概念，函数连续性与间断点则是教学中的一个重点概念，如何讨论函数连续性，判断函数间断点的类型则是学生学习的一个难点。本文从函数连续性的定义入手，分析了判断函数间断点的一般步骤，为这一环节的教学提供了思路。

1　函数间断点的判断

2　函数间断点类型的判断

函数间断点分为可去间断点和跳跃间断点，该两类间断点统称为“第一类间断点”；除此之外的间断点均称为“第二类间断点”。

根据可去间断点和跳跃间断点的定义[2]可以得到以下结论：

结论1：左右极限存在是ｘ０为f的第一类间断点的必要条件。

结论2：函数极限存在是ｘ０为f的可去间断点的必要条件。

根据函数极限的存在性定理，“函数ｆ（ｘ）在ｘ０处极限存在的充要条件是在ｘ０处的左右极限存在且相等”。所以，函数极限不存在分为两种情况：（1）左右极限不存在；（2）左右极限存在但不相等。

根据上述两个结论，结合函数连续性的定义，得出讨论函数连续性与间断点的一般过程为：首先从判断函数极限的存在性入手，判断是否可能为可去间断点；如果极限不存在，则根据不存在的类型，分别判断是跳跃间断点还是第二类间断点。

伪算法如下：

为了更清楚的说明问题，下面研究几个具体函数的连续性问题。

通过上面几个例子，说明了判断函数间断点的一般方法和间断点类型判断的一般步骤。针对不同类型的函数，采取相应的分析方法，为函数连续性与间断点的学习提供了思路。

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参考文献

［１］同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2000:76-85.

［２］华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:71-78.

［３］周玉兰,冯娟.关于函数连续性的分析方法[J].邢台职业技术学院学报,2007:24,5.

［责任编辑：杨玉洁］