关注中等学生解题的“会而不对”现象

　　一、问题提出

 

　　对于高中数学的学习，多数学生属于中等生，他们的数学学习成绩一般，数学基础和数学思维能力也在中等水平.数学教育要面向全体学生，关注每一位学生的成长，这些中等生自然是数学教学中需要关注的重要对象.

 

　　数学学习离不开解题.在平时的作业、单元测验及考试中，不少中等生对于一些题目有自己的思路，感觉会做，但是由于种种原因（可能是审题、计算，也可能是心理调控等）最后无法得到正确答案，产生了“会而不对”现象.

 

　 　这里“会”是感觉会做，有了解题的思路，拟定了解题的计划.“不对”是指解题思路是错的，但自己未能察觉到或者解题思路正确，但在执行解题计划过程中出 错.这种现象不仅影响学生的学习成绩，也挫伤学生学习数学的积极性，影响学生学好数学的信心.然而，学生自己无法挖掘产生这种现象的深层原因，往往只是归 结为自己的马虎、大意，从而无法有效减少和避免这一现象，导致“会而不对”在自己身上一直延续.为此，我们对这种现象展开调查，希望发现产生这种现象的原 因，并结合具体案例给出切实有效的解决办法，以帮助中等生减少出现“会而不对”现象，提高数学成绩，培养数学兴趣，增强学好数学的信心.

 

　　二、调查结果

 

　　笔者对所在的学校（四星级高中）高一、高二年级学生，利用第二学期期末考试前的一个晚自习时间，随机抽查了共计326人，发放问卷，进行调查，收回有效问卷324份，对其中认为自己数学成绩在中等及中等偏下的275名学生的问卷进行统计.

 

　 　调查问卷统计的结果显示：（1）多数中等生出现“会而不对”现象的频率较高（80%的中等生经常出现）.（2）多数（80%）中等生会在平时作业及考试 中出现“会而不对”现象，上课时出现这种现象较少（5%）.（3）超过60%的中等生把产生“会而不对”现象的原因归结为以下3点：计算马虎、粗心变成了 习惯；看错题了，误解了题目的意思；计算方法不好，繁杂.（4）关于如何减少甚至避免在解数学题中出现的“会而不对”现象，多数（90%）学生认为做题时 要专心，其中70%通过回头看来修正错误，少数学生认为可以借助错题本（占16%）和书写规范（占15%）.（5）有50%的中等生没有就自己解题中出现 的“会而不对”现象向教师或同学求教过.（6）65%的中等生经常因自己在解题中出现“会而不对”现象而烦恼.

 

　　通过问卷调查及对调查结果的统计，初步了解了中等学生解题中“会而不对”现象的现状.对中等生的有些想法，与笔者的估计有较大出入，比如：教师们都一致认为可以通过错题本有效纠错，提高数学成绩，但多数学生并不认同.

 

　　说明 此次调查范围较小，仅涉及笔者所在学校，且尚未对高三学生展开调查.

 

　　三、案例分析

 

　　案例1 审题不准导致“会而不对”

 

　　

 

　　评注 例1解答的错误是由于学生审题时未注意到a＞0的条件导致多出一个解“a=-1”.类似的错误还有看错题目中的条件，遗漏或多出题目条件.

 

　　案例2 字迹潦草，公式记忆模糊，导致“会而不对”

 

　　例2 在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积，则边BC的长为________.

 

　　错解 由三角形面积公式得

 

　　

 

　　从而AC=5，再由余弦定理得

 

　　

 

　　评注 对于例2，学生在使用余弦定理时，由于看错了数字，把自己书写的“5”（“5”书写潦草）看成了“8”，导致BC求错，此类学生有时也会因为记错公式（如余弦公式中减号记成加号，特殊角的三角函数值记错如把cos120°当成），看错符号导致错误.这部分学生往往把原因归结为自己的马虎大意，却并不知道怎样去纠正.

 

　　案例3 遗漏公式使用条件，导致“会而不对”

 

　　

 

　　

 

　　评注 例3中出现的错误原因是学生在使用直线方程的点斜式（或斜截式）时，忽略了使用的条件，仅能在直线斜率存在的情况下使用，从而导致少了一个解.例4中出现的错误原因是使用数列中通项与和的关系式，误把n的范围当成了全体正整数集，而事实上n是大于1的正整数.此类问题，学生看似会做，并认为自己做的是对的，但由于对公式、定理使用条件的忽视或遗忘，而导致错误（比如：使用等比数列求和公式，当公比为参数时，不少学生会忘记对公比是否为1展开讨论.）

 

　　案例4 算理混淆导致“会而不对”

 

　　

 

　　

 

　 　评注 例5中连续使用2次基本不等式进行放缩，但2次基本不等式取得最值时的条件不同（无法同时取到等号），导致等号无法传递下去，因此错解中求出的最小值比实 际的最小值要大.例6错解产生的原因是误把“f'（1）=0”当成是“f（x）在x=1时取得极值”的充要条件.事实上，前者只是后者的一个必要条件，要 保证f（x）在x=1时取得极值，还需要验证x=1左、右两侧的导数是否异号.此类算理的混淆、充要条件的误用，常常会导致解的范围扩大或缩小.

 

　　案例5 算法不优，导致“会而不对”

 

　　例7 设A为椭圆E：（其中a＞b＞0）长轴上的1个顶点，若该椭圆上存在点P，使得AP⊥OP，求该椭圆E离心率e的取值范围.

 

　　错解 不妨设A为长轴上的右顶点，则点A（a，0）.设点P（x，y），因为AP⊥OP，所以

 

　　

 

　　又因为点P在椭圆E上，所以

 

　　

 

　　（学生语：求出该方程的根，让这个根，即点P的横坐标在区间（-a，a），就可以求出离心率的范围了.但这个方程实在是不好解，因此只能写到这里了.）

 

　　评注 不少中等生知道解题思路，通过联立方程组，消元得关于x的一元二次方程，但是方程中含有2个字母参数a，b，且出现， 尝试用求根公式，感觉过繁，心理畏惧而放弃后续的运算.这种“感觉有思路，但计算繁杂，不会算”而导致“会而不对”的现象，在解析几何的综合题中经常出 现.事实上，只要留意到方程组一定有一组解为点A的坐标，就可快速对消元后得到的一元二次方程采用十字相乘求解，从而能使计算得以进行下去.

 

　　四、预防和减少“会而不对”现象的几点思考

 

　 　《学记》中说：“学者有四失，教者必知之.人之学也，或失则多，或失则寡，或失则易，或失则止.”中等生解题中的“会而不对”现象主要是由于“寡、易、 止”导致，可能是知识不足；也可能是解题时，心浮气躁，书写潦草，感觉过于容易，粗枝大叶；还可能是解法不优，计算繁杂，产生了畏难的情绪，导致有思路但 算不下去.结合调查结果和几个案例，笔者给出预防和减少“会而不对”现象的几点思考如下：

 

　　1.指导和训练学生审准题，学会工整、规范解题

 

　 　美国著名数学教育家波利亚给出解题的4个步骤：理解题意，拟定计划，执行计划，回顾[2].中等生解题中的“会而不对”可能出现在各个环节，但若审题出 错，则全盘皆输.怎样审准题，确保自己理解的意思和题目本身含义的一致性，可以通过训练，得到改善.比如读题时动笔圈画关键词，从心理学的视角看，圈画关 键词的过程既有视觉的输入又有动作的输入，两种输入联合起来，可以加深对题目关键信息的短时记忆.读例1的过程中，若学生能够在“a＞0”处圈画，一般不 会多出负解.对于部分学生书写时，字迹潦草，缺少依据的问题，往往是学生多年累积的习惯，可引导学生左边对齐书写，注意换行，写成“诗歌体”而非“散文 体”.如此等等的小技巧，不断加以训练可以有效解决学生审题不准、书写潦草的问题，从而预防、减少“会而不对”现象.

 

　　2.指导学生学会“回头看”，掌握一些纠错的方法

 

　 　罗增儒教授指出：“题解的检验也是丰富解题经验、提高解题能力、增强数学素质的一个有效途径”[3].从问卷调查第4题的统计结果中可以看到，多数 （70%）中等生知道通过“回头看”来修正错误.学生所说的“回头看”就是检查，但怎样有效检查，学生使用的方法较少，常常只是用原来的方法再演算一遍， 但易受思维定势的影响，结果有了错误，也很难被发现.因此需要指导学生，掌握一些纠错的办法.比如多解对照法，用多种方法解一道题.对于例3，若学生画出 图来，从图的视角不难发现过点A（0，3）的圆的切线应该是2条，少了1个解，从而纠正错误；特例检验法，将解出的结果，取特殊值或特殊图形等，看看是否 符合题意，对于例4，若学生在求出数列的 通项公式后，取n=1，n=2代入所求通项公式和已知条件就可以发现矛盾，纠正错误.还有逆向运算法，对于例2的错误，通过逆向运算可以很快发现数字书写 的错误.多掌握一些纠错的办法，可以有效地发现错误，减少“会而不对”现象这就要求教师不仅要善于引导学生发现解题方法，还要指导、训练学生掌握一些纠错 的办法.

 

　　3.指导学生会用、喜用错题本，积累自己容易犯错的典型案例

 

　　从问卷调查统计结果中可以看到，仅有少数（16%）的学生认为可以通过整理错题本减少“会而不对”现象.而事实上，中等生的解题错误有普遍性，也有个性化的特征，比如完全平方公式的使用，有的学生遇到就 容易出错，把中间项误认为是2ab，而另一些学生则不会犯这样的错误.总之，不少错误带有个性化的特征.而整理错题本正是进行个性化纠错，提升解题能力的 好办法，其功效已成为教师们的共识.然而，是什么原因使多数学生对错题本整理如此不重视呢？为此，我们对部分学生就错题本整理的相关问题进行访谈.

 

　　笔者：你们能谈谈关于数学错题本的看法吗？

 

　　生：我们觉得错题本的作用比较小，我只是在教师布置整理错题的时候才整理错题.

 

　　（笔者查看了2名学生的错题本，一道错题主要记录2项：题目和正确解答.）

 

　　笔者：这样的错题本，对于我们解题能力的提升的确帮助不大，你们知道怎样更好地整理错题吗？

 

　　生：不知道.

 

　 　通过访谈，初步了解了学生整理和使用错题本的状况，总的来说是被动整理、低效整理.究竟该如何整理错题本？肖林元教授在一次课题指导会上指出：错题本整 理要解决3个问题：记什么，怎么记，如何用.这给了笔者深刻的启发，结合近几年的教学实践，笔者认为首先要记录自己看似会做，常常出错的问题，要少而精； 其次要按照一定的流程记录错题，通常包括以下：题目，错解，错因（包括合理之处），正解，警示（要注意哪些问题，才能纠正这类错误），相关题目（类似的题 目，以便练习巩固）；此外，还可以记录自己的情感体验，使错题本更有趣；最后，还要定期错题回炉（拿出来，做一做，再分类整理）.这样可以使整理错题本变 得有趣、有效，对减少解题中的“会而不对”现象助一臂之力.

 

　　4.指导学生学会选择方法

 

　　法国著名生理学家贝尔纳指出： “良好的方法能使我们更好地发挥天赋才能，而拙劣的方法会阻碍才能的发挥.”案例5中的例7，学生在求解含2个参数的一元二次方程时，想利用求根公式法求 解，但感觉太繁而放弃.事实上还可以用十字相乘法，若提前观察出一个根为a，则可采用短除法，如果在由式（2）变形代入式（1）消去时，不对消元后的方程展开，能够观察到有公因式x-a，通过提公因式，可以快速得到方程的根.在平时的解题教学中，引导学生解题之后，思考不同的方法，比较不同方法的繁简程度和适用范围，学会选择较简洁的方法解题，可以有效减少解题中的“会而不对”现象.

 

　　5.指导学生知识结构化，减少和避免“形式主义”的知识

 

　 　美国教育心理学家布鲁纳指出“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿 命.”中等学生解题中“会而不对”现象，有时是“假会”，是对知识理解和掌握不完整，所理解的知识是零散的，比如案例3中例3和例4的错解，事实上是对直 线方程的使用条件的不重视及数列通项和前n项和的关系理解的偏差.要想对此理解深刻，需要经常性思考知识间的关系、直线的点斜式方程是怎样得来的、数列通 项和前n项和的关系式是怎样推导出来的，对类似问题的深入思考可以使获得的知识结构化，便于从记忆的仓库中提取和使用.案例4中例5和例6的解题错误，也 充分暴露了学生在用放缩法求最值及函数有极值和导数为0的关系问题上，有知识理解方面的错误，对两个知识点的理解仅仅是“形式主义”的表面知识.

 

　 　调查结果显示：多数（80%）中等生会在平时的作业及考试中出现“会而不对”现象，但上课时出现这种现象较少（约5%），主要的原因就是学生对教师解题 的模仿，有时是依葫芦画瓢，而不知为什么这样做.文献[4]指出：“数学学习需要一定程度的‘模仿、记忆’，但不能完全依靠它.”前苏联著名数学家费里德 曼指出“寻找解题不能教会，而只能靠自己学会”[5].为了减少和避免学生产生“假会”现象，教师在课堂上给出问题后，要给足学生思考的时间，待学生想清 楚了，再给学生示范以规范书写，同时讲清楚每一步的依据：为什么这样做、有什么好处，这样学生才能更好地把学到的东西纳入自己原有的知识结构中.知识结构 化可以有效减少解题中的“会而不对”现象.

 

　　中等生减少解题中“会而不对”现象，主要靠自己体悟，但教师不能因此在指导学生提高解题能力 方面不作为.章建跃博士指出：“数学教学质量低下的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位.”[6]为了更有效地帮助中等生减少解题中“会而不 对”的现象，教师首先必须加强自己对数学问题及知识的理解，打铁还需自身硬；其次中等生更需要教师给予耐心的指导和充分的理解，需要教师不断寻求帮助他们 学好数学、乐学数学的办法.

 

　　从问卷调查第7题的统计结果看，超过一半（65%）的中等生经常因自己在解题中出现“会而不对”现象而烦 恼，凸显此项研究的意义.但限于本研究调查对象少、研究时间短，研究结果还比较粗糙.此外，在数据处理时，未对性别、年级等因素对解题中“会而不对”现象 的影响展开研究，期待更多的教师对此展开更加细致和深入地研究.