五套课标教材“集合与函数概念”习题的比较研究及建议

　教材习题包括课堂练习、节末习题和章末复习题三个部分（人教B版是“巩固与提高”“自测与评估”），是教材的重要组成部分，对学生理解数学概念、掌握数 学技能、形成数学核心素养至关重要.对目前我国高中数学影响较大的人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版五套课标教材的习题进行比较研究，不但有 助于教师进一步准确把握五套课标教材的编写特点，而且对即将展开的课标教材修订也具有一定的参考价值本文以必修1“集合与函数概念”这一章的习题为比较对 象，着重从配置度、难易度、层次性三个维度对五套课标教材进行比较研究.

 

　　“集合与函数概念”包括集合、函数的概念与表示、函数的基本性质三部分内容，但人教B版、北师大版、苏教版将这三部分内容分散在两章里，为了便于比较，仍将它们视为一章.

 

　　一、比较数据与分析

 

　　1.配置度

 

　　（1）题量

 

　　对教材习题题量的比较以每课时的习题数为标准.

 

　　“集合与函数概念”课时安排：人教A版、湘教版13个课时，北师大、苏教版14个课时，人教B版15个课时.五套教材习题的标号基本一致，大题用1，2，3，…编号，小题用（1），（2），（3），…编号.

 

　　统计习题个数时，题量统一按照小题的个数计算大题中如果没有小题号自然按1题算.如果有小题号，若不是一题多问，则按小题个数算；若是一题多问，但几问之间没有关联，仍按小题个数算，否则按1题算.

 

　　五套课标教材“集合与函数概念”每课时的习题数量统计如表1所示，表中的数值为每课时的平均习题数.

 

　　

 

　　从课堂练习数量看，五套课标教材差异非常大.最多的是人教B版，达到每课时15.60道题；最少的是湘教版，每课时仅2.77道题，大约是人教B版的七分之一；北师大版与苏教版的题量比较合适，基本上保持在每课时5道题左右.

 

　　从节末习题数量看，五套课标教材彼此之间也有一定的差异.除人教A版明显偏少外，其余四套课标教材基本上都保持在每课时7～8道题，比较符合高中教学实际.

 

　　从章末复习题数量看，五套课标教材差异比较大.人教A版偏少，人教B版明显偏多，苏教版题量相对合理些.

 

　　从同一套课标教材的课堂练习、节末习题、章末复习题的题量对比来看，人教A版、北师大版、苏教版、湘教版更符合教学实际，而人教B版的课堂练习、章末复习题的题量太大.

 

　 　五套课标教材习题总量差异非常大.最多的是人教B版（每课时30.87道题），其次是北师大版（每课时16.93道题），最少的是人教A版（每课时 10.38道题）.人教B版几乎是人教A版的3倍，是北师大版的2倍.这种差异主要是由人教B版同一个题中分设的小题数量较多而造成的，当然也可能是编者 考虑到“集合与函数概念”是高中先学内容，需加强训练、夯实基础.

 

　　（2）类型

 

　　①按不交叉分类

 

　　五套课标教材中“集合与函数概念”的习题总量，以及选择题、填空题和解答题所占比例统计情况见表2.

 

　　

 

　　从选择题题量看，五套课标教材有很大的差异人教A版没有选择题，苏教版和人教B版有所体现，北师大版和湘教版对选择题非常重视，其中湘教版的选择题有19道，比例高达10.73%，且全部为章末复习题，显得过于集中.

 

　　从填空题题量看，五套课标教材均十分重视填空题，但彼此差异较大.比例最大的是人教A版的17.8%，其次是北师大版的9.40%，比例最小的是湘教版的4.52%.

 

　　从解答题题量看，五套课标教材习题中解答题的比例均超过了80%，体现了解答题在教材训练系统中的主导地位.人教A版、北师大版、湘教版的比例比较接近，人教B版与苏教版的比例较为接近，比例最高的是人教B版，达到93.52%.

 

　　②按交叉分类

 

　　五套课标教材中“集合与函数概念”的习题总量，以及推断题、计算题、证明题、应用题、探究题、技术题所占比例统计情况见表3.

 

　　表3表明：五套课标教材中习题的题型既丰富多彩，又各有侧重，突出了以下特点.

 

　 　推断题和计算题占据主导.五套课标教材中推断题和计算题题量之和均在80%以上，造成这种趋同性的原因是本章涉及大量的数学概念、数学符号，以及求值、 求函数定义域以及值域等问题，因此需要通过大量的判断、辨析、说明、举例、图表等推断题，以及求值、化简、恒等变形等计算题来促进学生对新知的巩固与升华 同时，对推断题的编排又各具特色：北师大版重视图表题和集合推断题；苏教版不仅注重韦恩图、函数表格、图象等类型的问题，而且还十分注重阅读题、写作题和 操作题；湘教版十分注重举例、问答、说明等推断题.

 

　　

 

　 　证明题和应用题体现内容特点除湘教版外，其余四套课标教材的证明题均在7～12道题之间，其内容也主要为证明函数的单调性、奇偶性，以及一些简单的对数 恒等式，很好地契合了本章内容的特点函数有着广泛的应用，五套课标教材的编写也都充分体现了这一特点.除人教B版应用题明显偏少外，其余四套课标教材的应 用题均达到了较高比例（基本上都在9%以上），其中北师大版达到24道题，比例达到10.08%.

 

　　探究题得到普遍关注.培养学生的自主 探究能力是《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念，五套课标教材的习题都不同程度地融入了这一理念.其中探究题数量最多的是人教B版（10道题）， 比例最高的是苏教版（4.25%）.人教A版、北师大版和湘教版也均有体现，题量均在2～4道题之间.

 

　　技术题呈现形式多样化人教B版有 14道技术题，苏教版有1道技术题，其余三套课标教材习题中均没有技术题.但人教A版在第1.3.2节专门安排了“信息技术应用”的阅读材料，湘教版在第 1.2.2节和第1.2.8节也都安排了运用计算机操作的“数学实验”，有异曲同工之效.相比之下，人教B版的力度更大，在第2.1.1节、第2.1.2 节和第2.2节都设置了“计算机上的练习”，使信息技术应用呈现出多样化的特点.

 

　　2.难易度

 

　　对习题难易度的比较，我 们以鲍建生的习题综合难度模型为基础，结合高中生特点，将其知识量中的“三个以上”这一层次细化为“三个知识点”与“三个以上”两个层次，将其探究量中的 “识记”改为“模仿”，同时将“探究”这一层次细化为“应用”和“探究”两个层次，并将其推理量的三个层次调整为“无推理”“单一推理”“简单推理（指两 至三步推理）”“复杂推理（指三步以上推理）”四个层次，这样便建立了“五量四级”难度模型，“五量”即知识量、要求量、背景量、推理量和运算量五个难度 因素，“四级”即五量中的每个难度因素又分为四个难度层次（从低到高分别按1，2，3，4予以赋值）.

 

　　一组题目的某个难度因素的难度值的计算公式是：

 

　　

 

　　五套课标教材中“集合与函数概念”的习题难度量化指标见表4.

 

　 　从知识量看，五套课标教材习题的难度值差异不大，最大为北师大版的1.54，最小为苏教版的1.39.其中人教A版、北师大版、湘教版的难度值非常接 近，人教B版与苏教版的难度值较为接近此外，五套教材习题中，单个知识点、两个知识点这两个层次的题目占整个习题的90%以上.

 

　　

 

　　从要求量看，五套课标教材习题的难度值较为接近.最大的苏教版与最小的人教B版的难度值仅相差0.15.五套课标教材习题的要求量以模仿和理解为主，但部分课标教材中属于探究层次的题量也比较可观，如人教B版有13道题，苏教版有9道题.

 

　　从背景量看，五套课标教材习题的难度值比较接近，在1.02～1.21之间.另外，有背景的习题均以个人生活和公共常识为主，但北师大版属于科学情景这一层次的习题在五套教材中最多，达到4道题.

 

　 　从运算量看，五套课标教材的难度值彼此间相差非常大，难度值最大的为人教A版的2.02，人教B版、北师大版、湘教版的难度值基本上处于同一层次，难度 值最小的为苏教版的1.56，最大值与最小值相差0.46.从运算量的四个层次的题量分布来看，由于五套课标教材都有大量的推断题，因此无运算题比例较 大，有运算的题以数字运算和简单符号运算为主，属于复杂符号运算层次的习题相当少.

 

　　从推理量看，五套课标教材的难度值彼此间有一定差异，最大值与最小值相差0.24.五套课标教材中，无推理与单一推理的习题仍占据主导地位，但属于复杂推理层次的习题也都有适量的配置.

 

　　从整个习题难度看，五套课标教材的难度值差异不大，最大的是人教A版的1.71，最小的是人教B版的1.56.并分化为较为明显的三个层次：人教A版与湘教版属同一层次，北师大版为一个层次，人教B版与苏教版属同一层次.

 

　　3.层次性

 

　　层次性比较主要是对课堂练习、节末习题、章末复习题的难度进行比较，它反映的是三个层次的训练题的难度设置是否真正体现出层次性.

 

　　五套课标教材中“集合与函数概念”习题层次的难度量化指标见表5.

 

　　

 

　　五套课标教材中“集合与函数概念”习题层次的难度比较见右上图.

 

　　从表5和图片可以得到以下结论.

 

　　

 

　　从课堂练习难度看，五套课标教材差异非常大，难度值最大的是湘教版的1.72，最小的是苏教版的1.39，相差0.33.并分化为较为明显的三个层次：人教A版与人教B版属于同一层次，北师大版与苏教版属于同一层次.

 

　　从节末习题难度看，五套课标教材难度值最大的是人教A版的1.73，最小的是人教B版的1.59，相差0.14，差异不大.

 

　　从章末复习题难度看，难度值最大的是人教A版的1.90，其次是北师大版的1.85，再次是湘教版的1.81，难度值最小的是人教B版的1.64，最大值与最小值相差0.26，差异较大.

 

　 　从每套课标教材的课堂练习、节末习题、章末复习题的难度排序看，除湘教版的课堂练习难度值高于节末习题难度值外，其余四套课标教材都呈现出“从课堂练习 到节末习题再到章末复习题，难度值依次递增”的特点，符合学生的认知发展规律，且人教A版、北师大版和苏教版的课堂练习、节末习题、章末复习题的难度值的 差异非常明显，层次感较强.

 

　　二、比较结论

 

　　1.人教A版“集合与函数概念”习题特点

 

　　（1）课堂练习、节末习题、章末复习题数量明显偏少，习题总量明显不足，基础性的训练题不够充实.

 

　　（2）重视填空题、计算题和证明题，但题型不够丰富，例如缺乏选择题和技术题.

 

　　（3）课堂练习、节末习题、章末复习题的难度设置较为合理，循序渐进、层次分明，符合学生的认知发展规律，但习题总体难度偏大.

 

　　2.人教B版“集合与函数概念”习题特点

 

　　（1）重视基础训练，但课堂练习与章末复习题题量偏大，习题总量偏大.

 

　　（2）题型较为丰富，特别重视技术题，配置了大量的运用计算机探究函数图象与性质之类的训练题.

 

　　（3）课堂练习、节末习题、章末复习题的难度设置体现了循序渐进的原则，但差异不够明显，层次感不强，习题整体难度偏小.

 

　　3.北师大版“集合与函数概念”习题特点

 

　　（1）课堂练习、节末习题、章末复习题的题量配置适度.

 

　　（2）重视图表题和集合推断题，突出数学知识在实际中的应用和学生应用能力的培养，但缺乏技术题.

 

　　（3）总体难度适中，梯度好，层次感强，并注重知识的适度综合.

 

　　4.苏教版“集合与函数概念”习题特点

 

　　（1）课堂练习、节末习题、章末复习题题量适中，比例协调.

 

　　（2）题型较为丰富，结构较为合理，不仅注重韦恩图、函数表格、函数图象等类型的问题，而且还注重阅读题、写作题和操作题，尤其重视探究题，重视对学生探究能力的培养.

 

　　（3）课堂练习、节末习题、章末复习题的难度差异较为明显，层次感强但习题总体难度偏小.

 

　　5.湘教版“集合与函数概念”习题特点

 

　　（1）课堂练习、章末复习题题量偏少，习题总量也略显不足.

 

　　（2）重视举例、问答、说明等推断题，选择题题量偏大且过于集中.

 

　　（3）习题总体难度仅次于人教A版，课堂练习、节末习题、章末复习题的难度布局不够合理，课堂练习的难度高于节末习题的难度，与学生认知发展规律不够吻合.

 

　　三、修订建议

 

　　1.合理配置习题数量

 

　 　从比较数据来看，五套课标教材习题题量彼此差异很大，最多的是最少的近3倍.那么，习题数量到底多少才适量？课堂练习、节末习题、章末复习题的题量应如 何搭配？这是课标教材习题修订要着力解决的问题为此，一方面，国家课程标准修订应制定一个相对统一的标准；另一方面，教材修订时必须加强对拟编习题的实测 工作，要通过不同层次学生的实测弄清楚完成一个习题或一组习题平均需要的时间，并根据国家统一标准不断调整，只有这样，才能使教材习题的数量更加贴近高中 教学实际.

 

　　2.加大试题创新力度

 

　　教材习题不仅是学生“四基”获得的基本保障，而且对促进学生认知升华、能力提升以及 数学核心素养形成有着举足轻重的作用.尽管部分教材在习题内容与形式上进行了许多尝试（例如苏教版的阅读、写作和操作题，湘教版的举例、问答和说明题 等），但总体而言，习题较为陈旧，基本上都是封闭性问题，缺乏开放性和探究性问题.因此，课标教材修订应与时俱进，不断吸收近年来命题的新成果，例如开放 评价题、探索发现题、类比推测题等新题型，不断创新试题内容和形式，培养学生的自主探究能力和创新思维.

 

　　3.共性与个性统筹兼顾

 

　 　从五套课标教材“集合与函数概念”这部分习题的编写来看：有的习题编排严谨、讲究体系，注重展开的层次性，有的题型非常丰富，有的注重信息技术应用，有 的注重探究能力培养等，充分展示了各自的特色与个性.但部分教材也存在明显的缺陷，例如有的习题数量不足，有的题型较为单一，有的课堂练习、节末习题、章 末复习题难度缺乏层次等，削弱了教材习题应有的价值功能，共性显得不足因此教材修订应在进一步彰显特色的基础上弥补其不足，真正做到扬长避短、共性与个性 统筹兼顾.