关于二重极限与累次极限的研究
2022-06-08
房明磊，许峰
（安徽理工大学理学院，安徽淮南232001）
摘要：二重极限是高等数学中的重点内容，本文着重说明了累次极限与二重极限的关系以及如何利用累次极限求解二重极限和判断二重极限的存在性。
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关键词 ：二重极限；累次极限；多元函数；求解
DOI：10.16083/j.cnki.-1296/G4.2015.02.067
中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）02—0153—02
资助项目：安徽省教育厅提升计划项目“数学建模团队建设”和“基于网络教学平台的公共数学课发展性评价机制的研究”联合资助。
收稿日期：2014—09—28
作者简介：房明磊（1978— ），男，吉林大安人。安徽理工大学理学院，讲师，硕士，研究方向：公共数学课教学。
许峰（1963— ），男，安徽淮南人。安徽理工大学理学院，教授，研究方向：公共数学课教学。
二重极限在多元函数微积分学中占有突出地位，对它的正确理解和求解是研究多元函数微积分有关概念和方法的基础。本文主要从二重极限与累次极限的关系及如何用累次极限求二重极限和证明二重极限的存在性等方面进行讨论。
一、二重极限与累次极限的定义
二、 二重极限与累次极限的关系
二重极限与累次极限之间没有必然的关系，［4］因为：
（一）两个累次极限都存在，且相等时，二重极限还可能不存在。
三、利用累次极限求解二重极限
求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：
（一）利用二重极限的“ε-δ”定义。
（二）利用有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换。
（三）利用两边夹定理。
（四）利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限。
（五）利用初等函数的连续性及四则运算法则。
本文仅分析如何利用累次极限求二重极限。
四、利用累次极限证明二重极限的存在性
二重极限不存在的证明主要有以下几种情形：
（一）当P（x，y）沿着D中某一连续曲线趋近于点P0（x0，y0）时，二元函数f（x，y）的极限不存在。
（二）当P（x，y）沿着D中两条不同的连续曲线趋近于点P0（x0，y0）时，二元函数f（x，y）的极限都存在，但不相等。（三）对于一些难以找到的路线，可以用变量代换，如利用极坐标来证明。这里主要是利用累次极限中若两个累次极限都存在，但不相等， 则二重极限一定不存在这个结论来证明二重极限不存在。
二重极限虽然与累次极限没有必然的关系，但是，仍然可以通过累次极限和二重极限的一些关系来解决二重极限问题。
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参考文献］
［1］同济大学数学教研室.高等数学（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.
［2］钱吉林.数学分析题解精粹［M］.武汉：崇文书局，2003.
［3］孙涛.数学分析经典习题解析［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［4］王旭琴.二重极限与累次极限的联系及应用［J］.南昌高专学报，2010（2）.
［5］张雅平.二重极限的几种求法［J］.雁北师范学院学报，2005（2）.