基于核心素养的“反比例函数的图像”教学

（江苏省扬中市外国语中学，212200）

摘要：如何在数学教学中落实核心素养的培养是当下国内数学教育界关注的焦点。数学教学要在教学方式上促进核心素养的养成，在教学内容中体现核心素养的成分。《反比例函数的图像》一课的教学，要通过对“反比例函数图像”的探究和练习，为学生提供主动学习的机会，即关注探究过程，注重交流对话，以学生错误为跳板；展现数学知识和问题背后丰富的思维过程，体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析素养。

关键词：数学核心素养 反比例函数图像 教学设计

数学核心素养是学生在学习数学时应当形成的必备品格和关键能力，它具有综合性、阶段性和持久性的特征。普通高中数学课程标准修订的征求意见稿将其列为数学课程的主要目标，并将其分为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面。如何在数学教学中落实核心素养的培养是当下国内数学教育界关注的焦点。

“反比例函数的图像”是苏科版初中数学八年级下册第11章第2节的内容。这节课是在一次函数图像与性质的基础上，首次让学生走出“线性世界”，探索画非线性函数图像的操作方法的引导课，也是后续研究反比例函数性质以及二次函数图像与性质的奠基课。这节课基本的教学目标是：（1）学会反比例函数图像的画法，获得基本的操作技能；（2）经历反比例函数图像是双曲线的探究过程，掌握基本的研究方法；（3）获得数学探究的成功体验，增强数学学习的自信心。

其实，深入分析不难发现，这节课的教学内容蕴含了丰富的思想方法，体现了众多的核心素养，具有一定的代表性。因此这节课的教学设计要充分关注核心素养的培养，为深入探讨“如何在教学中落实数学核心素养”提供较好的借鉴。

一、前测设计与完成

要探究反比例函数的图像，学生需要具备以下基础：一是画函数图像的基本操作技能，即“列表、描点、连线”；二是研究一次函数图像的基本方法，即“观察猜想、多点连线、简化作图”。为了考查学生是否具备上述基础以及在函数图像方面已经拥有了哪些素养，笔者设计了两个问题，供学生课前完成。

问题1在平面直角坐标系第一象限内画周长为10的矩形OAPB，使得点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上。

（1）满足上述条件的矩形OAPB有多少个？

（2）请画出所有符合条件的点P组成的图形。

（3）若OA、OB的长分别为x、y，请写出y 与x之间的函数关系式，并画出它的图像。

问题2在平面直角坐标系第一象限内画面积为6的矩形OAPB，使得点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上。

（1）满足上述条件的矩形OAPB有多少个？

（2）请画出所有符合条件的点P组成的图形。

问题1设计的目的是，让学生重温一次函数图像的形成过程，为研究反比例函数的图像提供经验。问题2以学生熟悉的矩形面积作为情境，赋予反比例函数以几何意义，其目的有二：一是淡化函数概念，减轻学生心理压力，以操作活动培养学生的自信心；二是延迟图像生成，让学生观察点P的位置，“拟合”所有符合条件的点P组成的图形，感知新的“曲线”。

学生解答问题2（2）的典型错误如图1～图3。图1表明，学生虽然找出了符合条件的几个关键点，但是受到一次函数图像的影响，画成了折线段；图2表明，学生虽然认识到符合条件的点不在一条直线上，但是又思维定势地画成了圆弧；图3表明，学生已经具备了画函数图像的基本技能，但是对自变量的取值缺乏深刻认识，因此没有画出完整的图像。

学生的解答反映了他们的认知基础。已经学过函数、一次函数、反比例函数的基础知识，了解画函数图像的三个步骤，尤其能够熟练画出线性函数的图像。但是面对第一次出现的“分支曲线”，在认识上还是存在比较大的困难。如受到双曲线的渐近性、不连续性和现实模型的局限性的影响，不一定清楚反比例函数的图像是双曲线，不一定明白双曲线为什么与坐标轴无限接近而不相交，不一定理解探索反比例函数图像的思维价值。

为此，教学中既要运用已有探究经验的正迁移研究反比例函数的图像，又要区分反比例函数与一次函数，重视自变量的取值范围，利用几何意义努力克服负迁移；既要从学生认知的角度设计有层次、多类型的问题，让学生感受解决问题的方法和价值，又要运用学生对陌生问题和新知识的好奇心与求知欲，变学习挑战为发展机遇，让认知短板成为能力跳板。

二、教学设计与实施

（一）充分探究，认识图像

为了帮助学生将所学新知识纳入到已有的认知结构中，建构对反比例函数图像的认识，笔者从学生的学习基础出发，引导学生交流前测问题2的解法，展开对反比例函数图像的探究——

师 （出示图1）图中画出的矩形的面积是否为6？满足条件的点P就这4个吗？

生 图中所画的矩形面积为6，但是满足条件的点P不止这4个，还有比如点（1.5,4）。

师 这位同学跳出了格点的限制，很好！点（1.5,4）在所画的折线上吗？

生 （众）不在。

师 （在图中标出该点的位置）满足条件的点有多少个？

生 有无数个，比如（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）、（5,1.2）等等。

师 请同学们在所给的坐标系内描出这些点。它们到底能构成怎样的图形？

生 （展示图2）它们应该都在圆弧上。

师 为什么？

生 因为我发现点（1,6）、（2,3）、（3,2）和（6,1）到点（6,6）的距离都是5，所以我画的是以（6,6）为圆心、5为半径的圆弧。刚才在图中标出了（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）和（5,1.2）的大致位置，发现这些点好像都在这条圆弧上。（迟疑片刻）我认为这些点都在以（6,6）为圆心、5为半径的圆弧上。

师 刚才这位同学借助图形直观得到了“满足条件的所有点都在圆弧上”的猜想。下面就请同学们分成4个小组，计算（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）、（5,1.2）到（6,6）的距离。

（学生完成后交流展示——）

生 （代表第1小组）我发现点（4,1.5）与（6,6）之间的距离为24.25＜5，故点（4,1.5）不在这条圆弧上。

生 （代表第2小组）我发现点（1.2,5）与（6,6）之间的距离为24.04＜5，故点（1.2,5）不在这条圆弧上。

生 （代表第3小组）我发现点（2.4,2.5）与（6,6）之间的距离为25.21＞5，故点（2.4,2.5）不在这条圆弧上。

生 （代表第4小组）我发现点（5,1.2）与（6,6）之间的距离为24.04＜5，故点（5,1.2）不在这条圆弧上。

师 你们通过计算，判断出点（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）和（5,1.2）都不在以（6,6）为圆心、5为半径的圆上。直观是模糊的，运算却是精准的。数学家华罗庚讲过：数缺形时少直观，形少数是难入微。我们应养成数形结合思考问题的习惯。

生 我发现点（0.5,12）也是符合条件的点，显然这个点不在以（6,6）为圆心、5为半径的圆上。

师 你不仅跳出格点找点P，而且跳出所给的坐标纸找点P。这样确实容易发现点（0.5,12）不在这个圆上，非常直观地说明所有满足条件的点组成的图形不是圆弧。请问：点P的横坐标能取哪些值？

生 （众人恍然大悟）点P的横坐标在这个问题中可取一切正数。

师 由此可看出，满足条件的点P既不在直线上，也不在圆弧上，那么符合条件的点P究竟组成怎样的图形呢？（出示图3）我们接着看这位同学画的图，请他介绍一下他的画法。

生 我虽然只描出了4个点，但是由问题2（1）可知符合条件的点有无数个，就用平滑的曲线将它们顺次相连。

师 你是怎么想到用平滑的曲线将它们顺次相连的？

生 设OA、OB的长分别为x、y，因为y随x的变化而变化，且xy=6，所以它们之间满足的函数关系式为y=6x。根据画函数图像的“列表、描点、连线”三步骤，我将（1,6）、（2,3）、（3,2）和（6,1）四点用平滑的曲线依次相连，就得到了图中所示的曲线。

师 他发现两个变量之间存在依赖关系，联想并建立了函数关系式，从函数图像的角度认识图形。其实，数学史告诉我们：函数概念的萌芽就是起源于图形中两个变量的相依关系的。他具有较好的数学抽象和转化能力，这些是数学素养的重要组成部分。我们给他热烈的掌声！

（学生鼓掌。）

生 在这幅图中，我看到所画的图像还有一点问题，那就是图像不应该是一段，还应该向上和向右延伸，因为自变量x的取值范围是所有正数，如（0.5,12）、（8,0.75）等。

师这位同学在解决问题的过程中自觉发现错误，“自主感悟”是学数学的一个好习惯。（出示图4、图5）请同学们观察这些图像，“诊断”一下这些图像有哪些缺陷。要求先独立思考，再小组交流。

（学生思考、交流后汇报——）

生 第一幅图中的图像不平滑，而且图像与坐标轴应该没有交点，因为x≠0，y≠0。

生 第二幅图中延伸部分的图像不应该“拐弯”，因为当x＞0时，x越大，y越小。

师 刚才两位同学分别从函数图像的画法和函数表达式的特征两个层面给予了解释，那么函数y=6x（x＞0）的图像究竟是否平滑，是否可以“拐弯”？（同步演示，一个截图如图6）我们可以借助几何画板，由大到小改变步长，增强点的密度，直观感受点的分布规律。由此我们很容易知道，反比例函数y=6x（x＞0）的图像是平滑的，与坐标轴无限接近，但是不会相交。

师 下面，请同学们画反比例函数y=6x的图像，在画图像之前思考函数y=6x的图像与函数y=6x（x＞0）的图像有何联系与区别。

生 因为两个函数自变量的取值范围不同，前者是x≠0，后者是x＞0，所以反比例函数y=6x的图像应在第一、三象限，而函数y=6x（x＞0）的图像只在第一象限。

生 （出示表1）我观察所列的表格，发现（1,6）与（-1,-6）、（2,3）与（-2,-3）等都是关于原点对称的，可以猜想反比例函数y=6x的图像关于原点对称，因此只需画出函数y=6x（x＞0）的图像关于原点对称的图像。

师 刚才两位同学根据“式”的特征，猜想出反比例函数y=6x的图像位置及其对称关系，这是认识函数及其图像“由数到形”的基本策略。下面，请同学们在所给的坐标平面内画出它的图像。

（学生画图。教师巡视后，请两位学生分别展示他们画的图像，如图7、图8所示。）

师 同学们经历了画反比例函数y=6x的图像的过程，现在让我们一起认识这个图像的“品貌”。

（师生共同归纳总结：一看位置，可知图像在第一、三象限，与坐标轴无限接近但不相交；二看趋势，可知每一支曲线从左到右呈下降趋势；三看对称性，可知图像关于原点对称。）

（二）巩固练习，强化画法

为了帮助学生加深对反比例函数图像的理解，笔者设计了以下巩固练习，引导学生完成。

练习1反比例函数y=－6x的图像可能为（）。

练习2在反比例函数y=kx（k≠0）中，自己取k的值（小组内不要相同），然后说出此函数图像的特征，并写出你的发现。

练习3已知函数y=6|x|。

（1）猜想：由x、y的取值情况，可推测此函数的图像在第________象限，与坐标轴________（“有”或“无”）交点，关于________对称；

（2）画图：在所给的坐标系中画函数y=6|x|的图像（草图）。

接着，笔者呈现一些生活中的相关图形（具体图形省略）。

（三）学以致用，首尾呼应

为了呼应前测问题的情境，帮助学生掌握反比例函数图像的应用，笔者设计以下应用练习，引导学生完成。

练习4请用图像说明：是否存在周长为10，面积为6的矩形？

（四）课堂小结，形成体系

笔者引导学生从“探”“画”“识”“用”四个视角进行反思与归纳，把课堂活动中的积极要素内化为个体知识体系，形成图9所示的网络结构图。

三、教学分析：关于核心素养的培养

（一）在教学方式上促进核心素养的养成

数学核心素养本质是学生的关键能力和必备品格。因此，核心素养是在学生“主动寻求真知、解答疑惑”的过程中养成的。为此，教师要为学生提供主动学习的机会，而不能一味地对学生进行灌输。

本节课有以下几个特点：（1）关注探究过程。从直线到圆，再到其他曲线，是历史上人们认识曲线的自然顺序。在本节课中，教师通过引导学生对几何问题的探究，让他们经历了这一历史顺序，从而在探究过程中，落实了核心素养。（2）注重交流对话。在本节课中，教师始终扮演者引导者的角色，未曾代替学生说过一句话。这使得每一个学生都有机会自我“对话”，充分表达自己的思维过程，并反思、修正、感悟自己的数学观点。（3）以学生错误为跳板。针对学生画出的错误的反比例函数图像，教师没有贸然否定，而是将其作为一种教学资源，引导学生由此展开探究。可见，在本节课中，学生的错误为数学核心素养的落实提供了良好的机会。

（二）在教学内容中体现核心素养的成分

数学核心素养表现为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。因此，核心素养是在数学知识形成或问题解决的过程中体现的。为此，教师要展现数学知识和问题背后丰富的思维过程，而不能简单地呈现结果。

本节课的主体部分是对“反比例函数图像”的探究和练习，其中体现的核心素养分别如表2和3所示。从表2和3中可见，本节课体现了六类核心素养。在函数图像的作图、辨析和对称性探讨过程中，要计算点的坐标以及点与点之间的距离，故涉及数学运算素养；以数御形，判断点是否在直线或曲线上，判断图像的趋势和性质，涉及直观想象素养；从几何问题中抽象得到函数模型，涉及数学抽象和数学建模素养；在反比例函数图像的探究过程中，包含猜想与证明，即先通过若干特殊点在同一个圆上的性质，错误地得出所有点也具有该性质的结论，再寻找反例，否定上述结论，涉及逻辑推理素养；从一组数据中寻找规律，涉及数据分析素养。

总之，我们有理由相信，要实现基于核心素养培养的数学课堂转型，教师要在教学理念上实现从关注知识到关注能力和品格、从关注结果到关注过程以及从关注输入到关注输出的转变。

本文系华东师范大学教师教育学院与江苏省扬中市教育局合作项目“基于核心素养养成的课堂转型”的阶段性研究成果。

参考文献：

［1］ 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题［J］.课程·教材·教法,2015(9).

［2］ 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考［J］.课程·教材·教法,2016(7).

［3］ 蔡金法,徐斌艳.也论数学核心素养及其构建［J］.全球教育展望,2016(11).