探寻逻辑联系，促进深度学习——以《圆》（第二课时）教学为例

（江苏省苏州市振华中学校，215006）

摘要：知识理解和意义建构是决定深度学习能否实现的关键环节。通过同化或顺应，把新的知识纳入到原有的认知结构或整合重组成新的认知结构，才算真正的理解、建构。为此，教师需要指导学生在新旧知识之间建立联系，引导学生将新的知识归纳、分类到相关的概念系统，从而不断完善旧的认知结构，形成新的认知结构。教学苏科版初中数学九年级上册第二章第1节《圆》（第二课时）时，注意引导学生经历概念形成的过程，认识概念构成的系统，从而体现过程性原则和系统性要求。

关键词：深度学习 逻辑联系 认知结构 圆

“概念不清”是很多学生学习数学的最大障碍之一。究其原因，笔者认为，是由于学生进行的是基于简单记忆和重复训练的浅层学习，而不是基于知识理解和意义建构的深度学习，因而缺乏灵活迁移知识、解决问题等能力。

早在20世纪50年代中期，美国学者马顿（Marton）和塞里欧（Saljo）就开始了对深度学习的实验研究。经过几十年的理论与实践研究，不少学者基本认同以下的定义：深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的、建构性的学习方式，要求学习者进行深层次的信息加工（在感觉记忆、工作记忆、长时记忆中注意、编码、存储、提取）和批判性的高阶思维（运用、分析、综合、评价），实现知识理解和意义建构，进而进行灵活的知识迁移和真实的问题解决。其中，知识理解和意义建构是决定深度学习能否实现的关键环节。

根据相关理论，通过同化或顺应，把新的知识纳入到原有的认知结构或整合重组成新的认知结构，才算真正的理解、建构。布鲁纳（J.S.Bruner）尤其强调学科基本结构的重要性：学习一门学科的关键是理解、建构那些核心的、基本的概念、原理、态度、方法，抓住它们之间的意义联系，并将其他的知识点与这些基本结构逻辑地联系起来，形成一个有机整体。实际上，只有以此为基础，学生的思维和探究能力才能得到长足的发展。

为此，教师需要对教材素材进行合理改造（加工、重组），对教学活动进行精心设计，指导学生在新旧知识之间建立联系，引导学生将新的知识归纳、分类到相关的概念系统，从而不断完善旧的认知结构，形成新的认知结构。下面，以苏科版初中数学九年级上册第二章第1节《圆》（第二课时）的教学为例，进行说明。

一、课前分析

《圆》这一节共安排两课时：第1课时主要学习圆的描述定义、集合定义，掌握圆的两个基本要素，即圆心与半径，探索点与圆的位置关系；第2课时则进一步学习圆的相关要素，包括弧、弦、圆心角、同心圆、等圆、等弧等概念，为后面研究圆的有关性质做好铺垫。本节课概念较多，学生掌握起来有一些困难。本节课主要的难点有弧的概念、等弧的概念。

二、教学设计与意图

师 今天我们一起继续研究圆的知识。上节课我们学习了圆的定义，现在我们来动手画一个圆。

（学生在本子上画圆。）

师 在画圆的过程中揭示了圆的两个基本要素，分别是什么？

生 （齐）圆心和半径。

［设计意图：这一环节就是要学生“动”起来，“做”数学，通过具体操作，而不是以简单的“提问”“背诵”的方式，复习圆的概念，为后续研究相关概念做铺垫。发展基本思想和积累基本活动经验是数学教学的“双翼”。而动手“做”数学是积累数学基本活动经验的重要形式。］

师 再画一个圆，只改变一个要素，你发现和原来的圆有什么关系？

（学生在本子上画第二个圆。）

师 记住要求，只改变一个要素。

（请部分学生展示所画的圆。）

师 我们发现改变圆的一个要素画出的两个圆有两种情况。第一种是——

生 圆心不同、半径相等的两个圆。

师 经过运动，他们能——

生 （齐）重合。

师 定义：能够互相重合的两个圆叫作等圆。（稍停）还有一种情况是——

生 圆心相同、半径不等的两个圆。

师 我们把它们叫作同心圆。

［设计意图：以圆的两个基本要素为变量设计活动，使学生领悟改变任何一个要素都会使图形改变，进一步体会改变某些要素是研究图形变换的一般方法。这与研究全等三角形的思路是相通的，既让学生深入理解了圆的两个基本要素，也顺其自然地引出了“同心圆”“等圆”两个新概念。本环节通过观察、实验、比较，采取顺应的方法，对新概念进行了建构。］

师 在线段上任取一点（除端点外）可以把线段分成两部分，那么圆呢？

生 不行。

师 如果圆上有两个点呢？

生 可以。

（请一位同学上来演示，得到图1。）

师 这两部分都叫作圆弧。定义：圆上任意两点之间的部分叫作圆弧，简称弧。（稍停）弧怎么表示呢？联想线段的表示方法。

（引导学生在线段表示的基础上引入弧的符号表示弧，并利用加不加内部点的方法区分优弧和劣弧。）

［设计意图：类比线段的概念学习弧的概念。与线段类似，弧的决定要素是端点，所以弧也可以用端点表示。由于圆的特殊性，即“弯曲性”和“闭合性”，两点之间有不同于线段的多条弧，这触发了学生的认知冲突，促使学生对新接收的信息重新表征、编码，在平衡与不平衡的交替中不断建构和完善认知结构。］

师 弧与圆有什么关系？回忆刚才学的弧的概念。

生 （复述）圆上任意两点之间的部分。

师 所以弧与圆之间的关系是什么？

生 两个弧加起来就是一个圆。

师 弧与圆的关系就是部分与整体的关系。类比等圆的概念，可以联想到什么？

生 等弧。

师 整体能重合，那么部分显然也能重合，所以我们得到等弧的定义是什么？

生 能够互相重合的弧。

师 这就是等弧的定义。

［设计意图：弧与等弧概念的理解是本节课学习的难点。教材中，等弧概念的给出尤其突兀。定量分析，等弧由两个要素决定：弧的弯曲程度与弧的长度。由于学生的认知水平，显然本节课不适合教授这些知识。那么，如何让学生理解等弧的概念，特别是“重合”两字？笔者想到，可以类比等圆的概念，让等弧概念的给出更加自然。这样还渗透了部分与整体的思想。］

师 （出示图2）已知点A、B在圆O上。如果沿着圆走，从点A出发，要到达点B，路径是什么？

生 （齐）弧AB。

师 如果在平面上，从点A出发，要到达点B，怎么走路程最短？

生 直接连接AB。

师 就是作连接AB的线段。这条线段的两个端点有什么特征？

生 在圆上。

师 定义：连接圆上任意两点的线段称为弦。大家想一想，弦实际上是什么？

生 线段。

师 这条线段的特征是它的两个端点在圆上。它的表示方法和线段相似，表示为弦AB。其中，经过圆心的弦叫作直径。

［设计意图：弦与弧是平面几何领域里最基本的两类图形直线形和曲线形的“代表”。在圆里从弧的概念引出弦的概念，可以让学生认识到它们的不同，即本质是平面内两点连接的路径不同，同时感受到它们的统一，即是相互对应的。］

师 现在，有一块圆形的比萨饼，有三个人一起分享，怎样切比较合理？

（学生在本子上分圆。）

师 大家基本上都完成了。（出示图3）有的同学比较细致，把字母、角度都标出来了。我们现在切出一块，就是需要“切出”一个角。有同学算出这个角是120°。既然是角，那么它的顶点在哪里？

生 （齐）圆心。

师 定义：顶点在圆心的角，我们把它称为圆心角。图中，∠AOB就是圆心角。我们日常生活中，还能碰到类似的例子，从中找到圆心角吗？

生 伞……

［设计意图：通过“切比萨”这个日常生活中常见的问题引出圆心角的概念，体现数学来源于生活又应用于生活。学生在画圆心角的过程中，能感受到其大小与“切块”大小之间的关系，进而能认识到其大小对弧的弯曲程度的刻画。］

在适当的巩固练习之后，笔者出示图4，引导学生总结本节课所学的知识。

［设计意图：以概念关系图的形式，通过“视觉化”的手段，帮助学生深度理解概念，建构知识网络。］

三、课后反思

本节课（本节）主要研究圆的有关概念，接下来通过研究圆的组成要素（弧、弦、圆心角等）之间的关系来研究圆的有关性质的。因此，本节课注重引导学生认识圆的有关概念之间的逻辑联系，以基本概念为核心形成良好的认知结构，实现知识理解和意义建构。

（一）引导学生经历概念形成的过程，体现过程性原则

美国著名数学教育家David.Tall说过：初等数学的概念大多是过程性概念，它实际上是三种物质的合金，即数学对象、产生这个数学对象的过程、表示这个对象和过程的符号。他要求教师将过程与结果拉到同一个水平线上，即平衡地关注这两者，让学生在探究的过程中获得体验，在发现的过程中有所感悟，从而认识结果。作为结果，数学概念往往是抽象的、一般的和孤立的、零散的，这是学生理解、建构的最大障碍。让学生经历概念形成的过程，是解决这个问题的好办法。概念形成的方式，可以分为顺应和同化。前者主要是从丰富、典型、具体、直观的例子出发，经过一定的思考和实践，归纳、概括出一类事物的共同本质特征；后者主要是从认知结构中已有的概念出发，经过一定的分析和联想，演绎、类比出相关事物的个别关键特征。

本节课中，笔者力求展示概念形成的过程，促进学生理解、建构。例如，通过改变圆的两个要素之一，引出等圆和同心圆的概念；通过类比线段的概念，学习弧、弦的概念；利用“切比萨”的生活问题，获得圆心角的概念；等等。这同时促进了学生的体验，提升了学生的认识。

（二）引导学生认识概念构成的系统，体现系统性要求

系统思维是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系和作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能够极大地简化和强化人们对事物的认知。数学是一个系统，理解和建构数学概念需要运用系统思维，对数学概念展开从宏观到微观的研究。

圆是学生学习的第一个曲线形，也是平面几何中基本的曲线形之一。虽然由直线形到曲线形在认识上是一个飞跃，但是一样可以借助研究直线形的一般套路研究圆，即利用系统思维研究圆。圆就是一个小系统，它的组成要素和相关要素有圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等。圆与弧的关系对应了系统与要素的关系，也体现了整体与部分的思想。弧、弦与圆心角的关系反映了系统内要素与要素的关系，也具体体现出圆的对称性（旋转不变性）——圆的其他许多性质也是通过与圆有关的线段（如直径、弦、切线等）和角（如圆心角、圆周角等）体现出来的。所以，理解和建构圆的相关概念对掌握《圆》这一章的内容显得尤为重要。先研究几何对象的要素、相关要素，即概念，再研究要素、相关要素之间确定的关系，即性质，这是一种普遍适用的方法。

总之，让学生经历研究数学对象的基本过程，运用系统思维发现数学对象的内在逻辑联系，不断完善旧的认知结构，形成新的认知结构，实现深度学习，是完成数学教学根本任务的重要途径。

本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“元认知训练促进初中生数学深度学习的行动研究”（编号：C-a/2016/02/09）的阶段性研究成果。

参考文献：

［1］ 【美】布鲁纳.布鲁纳教育论著选［M］.邵瑞珍，张渭城等译.北京：人民教育出版社，1989.