命制数学题目的意义与方法

（1.南京师范大学附属扬子中学，210048；2.江苏省南京市教学研究室，210008）

摘要：命题能力是中小学教师的一项重要能力。教师命题能力薄弱的原因主要有：思想上没有正确认识命题的意义与价值，行为上没有充分掌握命题的方法与技巧。只有不断加强命题研究，提高命题能力，才能帮助学生看透题目的本质，领悟解题的“大道”，从而带领学生跳出题海。命题时可以围绕考查内容，“万变不离其宗”地改造；抓住关键细节，“形变而质不变”地移植；改变呈现方式，“百花齐放”地创新。

关键词：命制题目 题海战术 改造 移植 创新

题目是教学（帮助学生理解知识、掌握方法、提高能力）的重要内容，也是评价（考查学生学习情况，从而诊断、改进教学）的重要载体。命题（命制题目）是教师的常规工作，也是教师专业发展的基本手段。2017年4月，上海市教委在全国率先发布了《上海市中小学教师专业（专项）能力提升计划》，明确提出了命题能力是中小学教师的一项重要能力。

借助网络数据库，通过检索关键字，不难发现，关于命题的论文（研究）在多如牛毛的教育教学论文（研究）中很难看到。这个现象从一个侧面反映了教师的命题能力普遍薄弱。根据从教近二十年的观察和调研，笔者发现，绝大多数教师认为命题是专家的事，不是自己的事，而且现在各种与题目有关的教辅资料、资源平台多如牛毛，自己也不缺题目。对于命题，绝大多数教师只会简单地组装，能进行简单改编的教师不到一半，能带着目标和思考进行有质量的改造或原创的教师更是难得一见。可见，教师命题能力薄弱的原因主要有：思想上没有正确认识命题的意义与价值（命题在所有教学工作中容易被忽视），行为上没有充分掌握命题的方法与技巧（命题在所有教学工作中很难被学会）。

下面，笔者结合自己的认识与实践，谈谈数学教学(评价)中命题的意义、价值和方法、技巧。

一、命题的意义与价值

命题是一项理论性与技术性都十分强的工作。为了实现教学或评价的目的，全面地促进学生的发展，准确地检测学生的学习，在命题的过程中，教师既要进一步分析课标、把握教材，拓宽知识面、排除疑难点，又要深层次了解当下教学实际、过往评价情况，学习、运用各种方法展开教育科研；既要关注素材的生活性、情境的实践性、内容的综合性、问题的开放性等，又要关注学生的知识技能、数学思考、情感态度、个体差异等。从某种意义上说，数学命题的过程就是理解数学和理解学生的过程。所以，编制出一些高质量的题目对于深刻理解学科核心素养和学科教学本质具有重要的意义，是教师专业发展和提高教学质量的必然要求。

特别地，加强命题研究能让教师在教材理解、考点把握、学生实际掌握情况上具有更精准的认识，从而能够帮助教师在高考复习教学中避免题海战术，有的放矢地精讲精练，轻负高效地达成目标。一个缺乏命题能力的教师往往也会缺乏对题目研究、鉴别和选择的能力，从而习惯性地带领学生走入题海深渊。在当前高考复习教学普遍负担较重、压力很大的情况下，缺乏命题能力的教师往往还会错误地认为，只要是数学题总有它的用处，给学生做总没有坏处。实际上，题海战术追求的是量而不是质，会使学生“懂而不会”：遇到形式熟悉或常见的题目，尚可对付；遇到形式不熟或少见的题目，则茫然无措。而近几年的高考中出现了一些背景新、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活的问题，充分体现了新课程“注重知识形成的过程，关注学生获取知识的过程”的理念，考查了学生的创新精神和实践能力等。这些问题靠题海战术是解决不了的。因此，教师只有不断加强命题研究，提高命题能力，才能帮助学生看透题目的本质，领悟解题的“大道”，从而带领学生跳出题海。

二、命题的方法和技巧

（一）围绕考查内容，“万变不离其宗”地改造

命题最常用的方法就是围绕考查内容进行改造，使其“万变不离其宗”。而教材中的例题、习题是改造的重要来源。当前的高考复习教学普遍存在对教材的地位与功能认识不到位的现象。首先，教材是依据课标编写的，是教学和评价的重要依据。其次，教材的编写浓缩了大量专家的心血，经过了长期教学实践的检验，因此教材中的习题、例题有着丰富的知识和方法内涵，自带知识和方法的本质属性，形成了巨大的改造空间，体现了基础性和普适性。因此，每年高考都有大量试题来自对教材题目的改造。

源题1（苏教版高中数学必修4第89页第13题）如图1，在?ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，求AB·AC。

变题1如图2，在?ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，P是DC边上的一个三等分点，求AP·BP。

变题2（2014年江苏高考第12题）如图3，在?ABCD中，AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD＝_______。

变题3如图4，在?ABCD中，P、Q是DC边上的两个三等分点，若AP·BP＝－29，AQ·BQ＝－49，则AB·AD的值是_______。

变题4（2016年江苏高考第13题）如图5，在△ABC中，D是BC中点，E、F是AD上的两个三等分点，若BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是_______。

这里，四道变题都是在源题1的基础上通过改造命制的，题目的功能都是围绕如何求向量的数量积考查的。

变题1是在源题1的基础上添加条件P是DC边上的一个三等分点，改结论为求AP·BP。其求解思路和方法与源题1完全相同，求数量积的三种方法定义法、基底法、坐标法都可以用。这是一种“换汤不换药”式的改造。

变题2实质是将变题1的一个条件∠BAD＝60°和结论AP·BP互换。这种互换改造导致很多学生解题产生了障碍，因为它模糊了学生选择熟悉解法的一些特征，如基底不知怎么选，坐标法要引很多变量。这种改造的灵感是怎样获得的呢？让我们从变题1的常见解法中一窥端倪：由AP·BP＝14AB+AD·-34AB+AD=-316AB2+AD2-12AB·AD ，可以看到AP·BP、AB、AD、AB·AD四个量知三可求另一。所以，变题2对变题1的改造是一种基于数学素养与方法认识层面的灵活改造。

变题3将变题2的条件进一步隐藏，借助于两个不定方程联立求解的思想，巧妙地改造了变题2，使得学生解决问题的难度进一步加大。不过，只要对命题改造的技巧与方法进行探究，解法的获得就会变得非常简单。

变题4将变题3的图形信息由?ABCD换成了△ABC ，形式和本质仍然同变题3。

从上面的例子中可以看到：一道题由条件和结论组成，仅仅围绕题目想考查的内容（考点），通过添加或减少条件、改变结论得到新题，不是难事，但是，要想改造出有质量的新题，就要对题目的信息形态（文字、图形和数学关系等）、解题需要的数学素养与思想方法进行命题技术分析。

（二）抓住关键细节，“形变而质不变”地移植

关键细节是指一道题目的求解思路和方法的核心要素。关键细节是解题思维的发动机，在题目分析与解决的过程中起着关键作用，对解题思路的寻找和解题方法的确定起着决定性作用。解题者如果未能发现或理解关键细节，则对题目的分析与解决必将无从下手或走入死胡同。近年来，不少高考压轴题和竞赛题都有关键细节。抓住关键细节进行移植也是命题常用的方法，可以很好地实现“形变而质不变”的效果。

源题2（2016年江苏高考第19题）已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)。若0

变题5（2017届南京市高三三模第20题）已知λ∈R，函数f(x)=ex－ex－λ(xln x－x+1)的导函数为g(x)。

（1）若函数g(x)存在极值，求λ的取值范围；

（2）若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求λ的最大值。

变题6（2017届扬州市高三考前调研测试第19题）已知函数f(x)=ln x+a(x2－3x+2)，其中a为参数。

（1）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

（2）若对任意x∈［1,+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。

这里，两道变题和源题2都属于函数、导数综合题，两道变题都是源题2的“形变而质不变”式移植，源题2的关键细节是g(0)=0，两道变题的关键细节是f(1)=0。

单从题目上，肯定看不出两道变题和源题2有任何联系，因为无论条件还是结论，它们之间都没有任何相同的地方。这就是重量级考试把关题或者创新题的厉害之处，它会让那些只知道就题讲题，在题海里不断刷题的人充满挫败感。

下面，我们来看看关键细节对解题思路和方法起到的作用和影响。求解源题2时，如果没有发现关键细节g(0)=0，则不可能找到完整的解题思路和方法。一旦发现了g(0)=0，就可以断言g(x)有唯一的零点0，从而利用导数研究g(x)，就可以轻易地发现g(x)也有唯一的极小值点x0，所以问题变为证明x0=0，至此所有的困难都迎刃而解。变题5和变题6的解题思路和方法相同，同样源于关键细节f(1)=0，而函数形式的变化和问题结论的变化则体现出了这种“形变而质不变”的移植命题的难度和价值。

高考是复习教学的风向标。在教材内容基本不变、考点要求基本不变的情况下，每年的高考依然能让人感觉到新意与亮点频出。这一方面说明专家命题水平高，另一方面也说明他们是花了大力气来命题的——有一位经常命题的专家曾经戏言：“命题、命题，拿命来出题。”年复一年的高考积累了很多有质量的题目，其中（尤其一些创新题和把关题）的命题方法和技巧特别值得我们一线教师研究和学习。只要充分领会了这些题目的命题方法和技巧，准确把握了它们的本质，就能通过移植命制出很好的新题目，从而强化此类题目的数学素养和思想方法的训练。

（三）改变呈现方式，“百花齐放”地创新

改变经常孕育着创新。在高考复习教学中，教师可以尝试设置一些半开放的题目，让学生参与命题，开展命题的微探究活动，则不仅可以看到学生“百花齐放”的创新命题，还可以收到良好的教学效果。

示例在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点。请增加一个条件，进而求出圆的方程。

对此，部分学生给出的命题条件如下：（1）AB＝22；（2）∠AOB＝60°；（3）△AOB的面积为2；（4）|OA+OB|＝r；（5）OA·OB＝－2；(6)圆上存在一点C，满足OC＝54OA＋34OB。

可见，学生给出的命题条件经常出乎意料地精彩。其实，如果教师再让学生解释一下他们的命题想法和解题思路与方法，可能就会发现自己正在努力追求的高考复习教学的课堂生态。

改变题目的呈现方式不仅给学生的解题活动留下了发展空间，更重要的是给学生的数学思维留下了更深、更广的发展机会。在高考复习教学中，让学生参与命题活动，能帮助学生看透题目的本质，思考命题的方法和技巧，培养创新思维，促进教学相长；能帮助学生提升对所学知识的理解，反思自己的解题行为和习惯，提高自己的解题能力和水平。

最后，需要指出的是，正如广义的教学评价是一项世界性难题，命题作为狭义教学评价（考试）的基本手段，也充满了挑战性——当然，挑战同时意味着乐趣。因此，教师命题能力的提高绝不是一蹴而就的事情，而需要不断地学习、不断地实践。

本文系江苏省教育科学“十三五”规划专项课题“高中数学教师命题评价能力培训的实践研究”（编号：J-c/2016/12）的阶段性研究成果。

参考文献：

［1］ 张同君.中学数学解题研究［M］.长春：东北师范大学出版社，2002.

［2］ 任子朝.高考能力测试与试题设计（数学）［M］.北京：北京教育出版社，2001.

［3］ 王兴宇.数学竞赛的命题方法初探［J］.武汉教育学院学报,1995(3).