数学的本质与数学对象

　　摘要：数学，这门最古老，同时在当代仍有无限发展潜力的学科的生命力正是来自于其对自身历史的永无止境的超越中，并得益于其研究对象的丰富性与研究范围的广泛性，以及其研究方法的多样性和思维方式的深刻性和创造性。

　　关键词：数学本质；数学对象

　　数学的本质及数学研究对象是一个动态的概念体系。它随着数学在不同历史时期的发展而被赋予逐步变化的、越来越丰富深刻的意义。因此，对数学的任何定义与理解都只能是某一历史阶段的产物，因而都有其鲜明的时代特色和局限性。数学是不可能有一个永恒、绝对、不变的本质和对象的，否则数学将停留在本体论和认识论的僵化教条中，而无法生机勃勃的发展。数学，这门最古老，同时在当代仍有无限发展潜力的学科的生命力正是来自于其对自身历史的永无止境的超越中，并得益于其研究对象的丰富性与研究范围的广泛性，以及其研究方法的多样性和思维方式的深刻性和创造性。麦克莱恩给数学的定义是：“数学在于对形式的不断发现，而形式结构则反映了客观世界和人类在这个世界里的实践活动。强调的是那些具有广泛应用和深刻反映现实世界某一方面的结构。详细地讲，数学的发展利用经验和直觉的洞察力去发现合适的形式结构，对这些结构进行演绎分析，并建立这些结构之间的形式联系。换句话说，数学研究相互关联的结构。对数学本质的理解的一个基点就是数学与客观物质世界的关系。正如大多数数学家所承认的那样，数学不是一门经验科学。尽管数学的发展与自然科学紧密相联，但数学却有着迥然不同于经验科学的方法。数学与其他任何一门学科所不同的，是它提供了现代科学技术的语言和工具。它的思想是许多物理学说的核心，并为其产生奠定了基础。近代科学之所以能演变成为现代科学，第一个决定性的步骤是它的数学化。不仅如此，在社会科学领域，数学的作用也在日益增大。数学与人类其他的文化创造是息息相关的统一整体。数学所追求的是一种完全确定、完全可靠的知识。例如在欧几里得平面上三角形内角和为。这意味着，不是有些三角形的内角和为，也不是说在一定误差范围内三角形内角和为，而是断定，所有三角形的内角和不多不少恰好为。从古希腊的文明中，我们就已经看到这种基本的趋向。古希腊人对数学最重要的贡献是把东方的经验数学升华为演绎数学，而数学的演绎性质是数学区别于其他科学的最重要标志，并一直主导着数学发展的方向。柏拉图坚信数学对哲学和了解宇宙的重要作用，认为没有数学就不可能有真正的智慧。柏拉图还认为，数学公式或规律是洞察永恒理念的一个必要阶梯。毕达哥拉斯学派也宣称，数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织就是数与数的关系的和谐系统。古希腊人相信，数学所探讨的不是稍纵即逝的知识，不是服务于某种具体物质需要的问题，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误的概念，借以达到正确的结论。

　　为了纯形式地较深入地研究并把握数学中的各种关系，有必要把物的某些性质排除在外，数学需要而且必须采用抽象的过程达到其认识目的。

　　随着人类对数学对象认识的过程的不断深入，数学的抽象程度也在不断提高。抽象化越来越成为数学的重要特点。数学的抽象化作为数学认识的出发点，是一种历史的自然过程，因此应该视为数学成为一门科学的起点。客观世界中的一切对象之间都以各种方式相互联系和相互作用者。其中既有本质的、必然的、永久的东西，也有非本质的、偶然的、暂时的东西。为了达到认识世界的目的，有必要对现实对象的属性进行分析，排除次要成分，以纯粹的形式来观察现实，这样一个过程就是抽象。所谓抽象，从广泛的意义看，就是以某一特定角度看待对象的过程，在这一过程中可以忽视对象的其他性质。因此，抽象意味着抽取或分离。在数学中，可以把重要性质筛选出来的思维过程，称为抽象化。数学中的最普遍的抽象化手段，有等置抽象、分析的或孤立化的抽象、构成数学的无限概念时不可缺乏的实现可能性的抽象等。其中最基本的是等置抽象的方法，亦称一般化的抽象。等置抽象，有时也称为根据抽象得到的定义或对象共同性质的抽象。在古希腊，欧道克斯、欧几里得在不能确定一个几何学中比的直接意义时，就依赖了等置抽象的方法。徐利治教授在《数学方法论选讲》一书中，对数学中的抽象进行了论述，提出了数学抽象度的一般概念，并论述了抽象度分析法。徐利治教授进行这一研究的价值在于他把对抽象性与抽象过程的研究初步地赋予了数学量化的意义。

　　2000多年前，欧几里得的《几何原本》诞生了。这部不朽的数学著作确立了几何学的确实性。自那时起，任何一种认识论都要谈到数学的这种确实性。这种认识论可追溯至欧几里得之前，柏拉图就认为希腊几何学的确实性来自数学对象永恒不变的完美性。虽然欧几里得几何学提供了数学确实性的范例，但数学的确实性并不仅仅局限于几何学。法国数学家笛卡尔就是把几何图形看成动点的轨迹，用数对作为动点的坐标表示后，才建立了解析几何学的。几何学研究由此被纳入代数学的范畴，代数方法显示出其普遍的意义。笛卡尔认为确立一门科学的演绎结构是在分析或发现之后的任务。人们首先要把整体分解为正确的要素，然后从中推演出真理来。他在《方法谈》中写道，第一规则，是绝不把任何事物当作真的加以接受，除非我认识到它是显然如此的。第二是把我遇到的每一种困难的事物尽可能地划分成许多部分，每一部分都较容易解答。第三是从最简单的和最易于理解的事物出发，循序渐进地达到更复杂的知识。笛卡尔是把他的方法当作数学和科学发现的钥匙提出来的。笛卡尔相信，仿效数学发现中的成功方法将会导致其他领域的成功发现。而数学是惟一使笛卡尔真正感到满意的学科，因为它的证明具有确实性。笛卡尔知道，知识也是从经验通过推导和从经验通过归纳而推出来的。但笛卡尔相信从一个可靠的出发点进行演绎。他指出，经验从高度复杂的对象开始，因此从它们进行推理很容易产生错误，但演绎只要以普通的智力加以运用，就不可能发生错误。笛卡尔指出：“这清楚地说明了，算术和几何为什么远比其他科学确实。前者只处理那么纯粹而又那么简单的对象，以致它们根本不需要作经验使之变得不确实的那些假定，而它们完全在于理性地归纳与推论。”数学结论的确实性的一个突出特点就是无人对数学结论产生异议。伏尔泰就写道几何学不存在流派，人们不说它是欧几里得的或阿基米德。然而，非欧几何的诞生开始动摇关于数学的形而上学的观点。康德曾用数学的确实性试图表明形而上学是可能存在的。如果存在形而上学，那它就是独立于经验的。那么，数学的确实性是怎样一种定义呢？很明显，柏拉图关于世界是真实的数学实在的一个不完全的模型的看法已不再适合。在数学家看来，由于在系统中没有给原始术语指派意义，因而几何学中仅有这样一些恰当的问题，它们是关于从不予解释的公理到不予解释的定理的逻辑可推导性。这样一来，任何一门几何都是确实的，不过是在某种退化意义上的确实性，即避免与客观真理进行检验的意义上。有些数学家主张数学公理的选择是理智的自由选择，而不是受经验限制的选择。爱因斯坦曾表达过相当令人费解的观点：“只要数学的定律涉及实在，它们就不是确定的；只要它们是确定的，它们就不涉及存在。”现在，人们越来越倾向于认为，数学理论是在为一个经验实体提供一组不同的可选择的模型。这是笛卡尔、黎曼这些数学巨人伟大数学思想的复兴。数学通过对模型的揭示与研究，为我们展示了奥秘无穷并有着内在规律的宇宙的秩序与运作。当代数学已不仅仅是代数与几何，而是一门丰富多彩的内容广泛的学科。当代数学所处理的是科学中的数据、测量、观测资料，是推断、演绎、证明，是自然现象、人类行为、社会系统的数学模型。在当代，数学的确实性的意义已经变为模式的意义，而模式是组成世界的基本结构。数学就是为模式的识别、分类和利用建立起来的一套规范的开放的变化的思想体系。数学是理解和认识世界强有力的普遍的思维方式，数学是信息处理的有效手段。