高考函数问题的题型与解题方法

文/李 嘉

一、函数的概念型问题

本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对。应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导。其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。

(一)深化对函数概念的认识

例1.下列函数中，不存在反函数的是（ ）

分析：处理本题有多种思路。此题作为选择题可采用估算的方法。对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)。依据概念，则易得出D中函数不存在反函数，于是决定本题选D。

（二）系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法

例2.已知函数f(x)定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：

分析：x的函数f(x2)是由u=x2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量。由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x2＜2。求x的取值范围。

二、考查函数的性质型问题

1.对函数单调性和奇偶性定义的理解

例3.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　（ ）

A.1　B.2 C.3 D.4

分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误。

奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确。

若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A。

三、函数综合应用

1.准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识

例4.已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是。（）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1不属于F时没有交点，所以选C。

2.掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的。

例5.方程lgx+x=3的解所在区间为（　）

A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D。至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C。

（作者单位：江西省吉安市永新县禾川中学）