妙用《几何画板》 “直观”数学课堂

王 辉

职高学生普遍存在基础知识不扎实、自信心不足、性格散漫、厌学等问题，导致自暴自弃，情绪低落，对学习丧失信心，但对一些自己感兴趣的事情，参与意识极强，也表现出很强的好胜心。如何投其所好，以看得见、摸得着的事例来激发他们的学习兴趣，提高他们的参与意识，引导他们正确地对待学习呢？

《几何画板》绘制的图形非常直观，它能构造出各种各样的几何图形，将一个“活”的几何图形展现在学生面前，使学生一目了然，具有一般的实物教具难以达到的妙用。因此，巧妙地运用《几何画板》可以使原本呆板的数学课堂变得有趣，形成生动、活泼的课堂教学氛围。同时，还可以通过对直观图形的观察提高学生的空间观念、空间想象力和抽象思维能力；学生自己动手操作时，更可以提升他们对图形的理解及绘图能力。本文试图通过若干教学实例对如何运用《几何画板》激活数学课堂谈一点看法。

立足直观 制造悬念

需求是人的一切行为的原动力。要激发学生的学习动机就要从激发学生的学习需求入手。如果教师能准确抓住学生的心理特点，精心设计悬念，就能激发起学生的学习动机。

例如，在讲述椭圆定义的时候，我先让学生回想日常生活中所出现的椭圆，并启发他们思考怎样才能形成椭圆，接着利用《几何画板》，向学生提供形象的动态画面（如图1）。

说明出现这个图形的因素是： PF 1 + PF 2 =定长。接着展示如下两个动画（如图2、图3）。

学生通过观察、思考，归纳出要形成椭圆，定长是有条件的，即PF 1 + PF 2 > F1F 2 。通过这样的设计，运用直观的图像，在给学生造成悬念的同时，又可以使其在图形的形成过程中得出结论。明确了原先的迷惑，增强了学生学习的兴趣。这时教师的角色不再是学生的保姆，学生也不再是接受知识的容器，更不再是目睹教师口干舌燥的“观众”，而是积极参与探索的“主角”。

形象直观 启发引导

心理学研究表明，变动的事物、图形易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的印象。数学课堂教学中如果能准确、动态地展现几何图形，揭示几何中的变化规律，对学生学好数学有着十分重要的意义。

例如，在讲述棱锥的体积公式前，我先让学生回顾三角形面积公式及导出方法，接着利用《几何画板》向学生提供形象的动态画面（如图4），同学生一起回顾推导过程：（1）将三角形补成平行四边形，从而把三角形的面积转化成平行四边形面积；（2）将平行四边形又割补成矩形，从而将问题转化为求矩形的面积。

在观察画面后，让学生明确“在解决数学问题过程中，我们经常化陌生为熟悉，化求知为已知”的化归思想方法。接下来，我便提出问题：能否用类似的方法来求解三棱锥的体积呢？给学生以启发，激发学生的求知欲。这时，可以在屏幕上显示三棱锥的体积由三棱柱体积转化的割补过程（如图5），从棱柱A′B′C′－ABC 分割出来三个锥体C －A′AB ，C －A′B′B ，A －B′C′C ，让它们的顶点和面积相等的两个底面绘以同一色彩。随着“合并—移开—合并”的反复动作，不难得出三个锥体的体积是相等的，从而使学生自然而然地得出所要论证的结论，让他们产生成就感，学习兴趣盎然。

运用画板的测量计算和动画功能，计算出两个截面面积并记录，发现两截面面积处处相等，由祖暅原理可知，半球的体积与几何体的体积是相等的。引导学生进一步观察：

（1）当把一个半径为R的半球和一个底面半径和高均为R的圆锥放入一个底面半径和高都为R的圆柱内时，必有： πR3 3

（2）设底面所在的平面为α面，半球的球心为O，平面β//平面α，截得半球上的截面圆O1半径为r，OO1 =L ，则S截面圆= π r2=πR2－πL 2（如图7）。

构造直观 展现思维

数学理论的表述往往是抽象的，而图形则以其生动、直观的形象展现于人们面前，以帮助其理解、记忆抽象的数学内容。数学课堂教学的成败在于能否充分展现数学的思维过程，并且让这种过程能为学生所理解、接受。《几何画板》能够使静态变为动态、抽象变为具象，有利于抽象思维能力的培养。

例如，在讲授“球的体积公式”前，可以运用《几何画板》给学生做一个演示实验。把一个半径为R的半球和一个底面半径和高均为R的圆锥放入一个底面半径和高都为R的圆柱内（如图6）。此时，柱体内扣除掉圆锥部分的几何体，当用一个平行于底面的平面去截时，半球的截面面积和几何体的截面面积（圆环）会怎么样呢？

（3）将半球、圆锥放入圆柱后，用平面β去截，扣除掉圆锥的截面圆，剩下的部分，即将底面半径和高均为R的圆柱挖去一个底面和高均为R的圆锥，圆柱体内被平面β所截得的一个圆环，其内圆半径即为L，也就是：S圆环= πR2－πL 2。这样就有：S截面圆=S圆环 。由于β面是平行于α面的任意平面，所以，半球的体积与该几何体的体积相等，即V πR3= πR3 球2 =πR3－3 31 1 2 ，从而可以得出球的体积为：V 球= 34πR3。

从上面可以看出，运用《几何画板》进行课堂教学的神奇能力，是其他方式无法取代的。在课堂教学中，我们通过“实验”让学生观察理解、探索研究、发现问题的规律，给学生以一个建构知识、展开思维活动的空间，让每一位学生都参与到发现、探索的过程中，进而理解知识产生和发展的过程，形成自己的经验，达到让学生“做数学”的目的，这才是数学课堂的真谛。

运动直观 揭示规律

在立体几何中，如何对学生传授数形结合的思想方法以及运用数形结合的思想进行解题，是一个难点。而运用《几何画板》则可以使图形“动”起来，让学生观察到数与形的联系，在动中找静，使形与数有机结合，突破难点。

例如，在讲授翻折问题时，有许多学生不知该如何画图，即便画出了直观图，但图形却又缺乏空间感，更有学生不知该如何在二维平面内去表现空间三维图形以方便解题。究其原因，是由于在静态的黑板上无法表现图形的翻折过程，而且在翻折过程中的变化关系和不变关系不能动态而且准确地表现出来。因此，学生在学习过程中也只能依靠想象，这就给他们的学习造成了一定的困难，往往还会使部分学生失去学习兴趣。

有这样一道题：将一个长和宽分别是10和8的矩形ABCD沿一条对角线AC折成一个直二面角，求BC的长。我们可以在《几何画板》中建立起一个平面直角坐标系，把平面图形放到该坐标系中，同时，构造出可自由转动的三维直角坐标系，然后对平面图形进行翻折并让它依托到三维坐标系中。这样，经过预先制作好的 “水平位置”“平面位置”“正面位置”“翻折变化”“复原变化”等按钮进行空间图形的变化、旋转，使学生充分感受到折叠图形在空间中的各种位置关系，让他们将数量与图形结合起来，从而清楚地看到在翻折过程中哪些是不变量，哪些是变量。这对培养学生的空间想象能力及解题思路的形成无疑是有帮助的（如图8）。

显然，在课堂教学中运用《几何画板》展现出在二维平面内将平面图形变化为空间立体图形以及翻折的全过程，揭示出图形与数量间的变化规律是有着明显的优势的。

突破直观 提高能力

在数学课堂中，有许多知识是与图形、图像分不开的，但不管是借助于直观模型还是徒手描绘，最终必然要回到抽象思维中来。这就需要靠学生自己作图并进行分析。这对知识点的积累和应用都有比较高的要求，有的学生完成起来会觉得困难重重。在《几何画板》上作图，可以直观体现图像中点、线、面，图形中图、数之间的联系，缩短了学生知识积累的时间，提高了效率，增进了能力。

例如，在讲述到空间四边形时，由于刚学习立体几何内容不久，学生的空间想象能力不强，所以总分不清空间四边形与平面四边形有何区别。这时我们可以在《几何画板》中画一个四边形，用鼠标拖动让它旋转，从不同的角度观察，找出空间四边形与平面四边形的区别，并选择出在什么情况下画出的图形立体感最强（如图9）。

对于数学学科来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实。但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。正如苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”《几何画板》正是以其强大的图形和图像功能、方便的动画功能，将抽象的思维视觉化的理想工具。运用《几何画板》更能在较短的时间内丰富学生的知识积累， 培养学生的想象能力、思维能力和创新能力。同时，《几何画板》也为数学教师的备课增添了新的含义，作为数学教师，学好、用好《几何画板》也是新时期对我们提出的新要求。