几何教学中关于“a=b”型结论的
2022-06-08
证明线段倍半关系是常见的几何证明.而在初中阶段关于线段倍半关系直接运用的定理有：三角形的中位线定理以及“直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”“直角三角形斜中线定理”等，笔者就初三学生一次单元测试中的两道题目，试图对“线段倍半关系”进行简单探析.
案例1：如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BC、BD于点E、F，AC、BD相交于点O. 求证：OF= CE.
1. 直接利用三角形中位线定理证明
证明：过点O做OG∥CE，交AE于点G
∵AO=OC， OG∥CE
∴OG是△ACE的中位线
∴OG= CE
又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
评价：学生在学习了三角形中位线定理后，结合此题中的“O点是AC的中点”这个条件，最容易想到构造△AEC的中位线OG，转化为证明线段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比证明
证明：∵∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°
∴△AOF∽△ABE
∴ = = ①
又∵∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°
∴△ABF∽△ACE
∴ = = ②
∵BF=BE
∴①×②得 = ，即OF= CE
评价：“a= b”型结论的等价结论是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键.
3. 利用线段和差b=a+a证明
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD
∵∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理：BF=BE
∵OF=DF-DO，OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即：OF=CE
评价：“a= b”型结论的等价结论还可以是“b=a+a”，利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出.
案例2：已知： 等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证：AE=2BF.
思路分析：由于此题条件中没有明显的中点条件，因此利用三角形的中位线定理证明比较困难，能否想到利用相似三角形的相似比来证明呢？图中△BFE与△ACE显然相似，但BF是△BFE的直角边，而AE是△ACE的斜边，明显不对应，于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形，这样就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比证明
证明：过F点做FM∥CA交BC于L点，交AB于M点.
∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
∵FM∥AC，MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∵∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°
∴△BFL∽△AEC
∴ = = ，即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中线定理证明
证明：做AE的中点M，连接CM.以AB为直径做圆O，则F、C、A、B四点共圆.
∵∠ACB=90°，MA=ME
∴CM= = = AE
∵∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∵∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
评价：利用AE是直角ΔACE的斜边，联想到斜中线定理，转化为证明线段BF=CM即可.
3. 利用折半方法证明
证明：做AE的中垂线交AB于G，交AE于M，连接EG.
∵MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∵∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∵∠EBG=45°
∴EB=EG
∵∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∵∠F=∠EGM=90°
∴△BFE≌△EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
评价：把较长的线段AE折半，转化为证明线段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法证明
证明：延长BF、AC交于H点.
∵∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF
∴△ABF≌△AHF
∴FB=FH，即BH=2BF
∵∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°
∴△BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
评价：此种方法采用的是间接加倍方法，若直接加倍，则“延长BF到H点，使BH=2BF”，此时就要证明A、C、H三点共线，非常棘手，所以用间接加倍方法更有利.
教学启示
1. 解题教学时应重视常规解题方法的教学
教师在几何课证明教学时，应着重于对常规思维方法的分析，努力帮助学生找到最容易想到的、最容易掌握的解题方法，以使学生能突破原有的思维障碍，使教学建立在学生通过一定努力就可能达到的智力发展水平上，并据此确定知识与方法的广度、深度.案例1中利用三角形中位线定理来证明，而案例2则采用加倍或折半的方法更适合学生.
2. 不断渗透等价转化等数学思想，培养学生创新思维
著名数学家和数学教育学家波利亚曾说：“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展.”把求解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，是数学解题中基本的思想方法之一，即转化的数学思想方法.案例1、2中把“a= b”型结论转化为“ = ”或者把“a= b”型结论转化成“b=a+a”，都是如此.
重视常规性解题方法并不是完全否定创新型解法，教师应在使学生扎实掌握好双基的基础上，鼓励学生大胆尝试、勇于创新，不断探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比来证明和利用b=a+a方法来证明都是学生在单元测试中少数学生的创新解法，案例2中的方法1和方法2也是如此.教师在引导学生与同伴分享不同解题方法后，还需对不同解法进行分析、比较、归纳，以帮助学生选择适合于自己思维水平的方法，进而纳入自己已有的认知系统，以便能形成自我分析问题、解决问题的能力.
案例1：如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BC、BD于点E、F，AC、BD相交于点O. 求证：OF= CE.
1. 直接利用三角形中位线定理证明
证明：过点O做OG∥CE，交AE于点G
∵AO=OC， OG∥CE
∴OG是△ACE的中位线
∴OG= CE
又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
评价：学生在学习了三角形中位线定理后，结合此题中的“O点是AC的中点”这个条件，最容易想到构造△AEC的中位线OG，转化为证明线段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比证明
证明：∵∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°
∴△AOF∽△ABE
∴ = = ①
又∵∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°
∴△ABF∽△ACE
∴ = = ②
∵BF=BE
∴①×②得 = ，即OF= CE
评价：“a= b”型结论的等价结论是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键.
3. 利用线段和差b=a+a证明
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD
∵∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理：BF=BE
∵OF=DF-DO，OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即：OF=CE
评价：“a= b”型结论的等价结论还可以是“b=a+a”，利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出.
案例2：已知： 等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证：AE=2BF.
思路分析：由于此题条件中没有明显的中点条件，因此利用三角形的中位线定理证明比较困难，能否想到利用相似三角形的相似比来证明呢？图中△BFE与△ACE显然相似，但BF是△BFE的直角边，而AE是△ACE的斜边，明显不对应，于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形，这样就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比证明
证明：过F点做FM∥CA交BC于L点，交AB于M点.
∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
∵FM∥AC，MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∵∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°
∴△BFL∽△AEC
∴ = = ，即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中线定理证明
证明：做AE的中点M，连接CM.以AB为直径做圆O，则F、C、A、B四点共圆.
∵∠ACB=90°，MA=ME
∴CM= = = AE
∵∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∵∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
评价：利用AE是直角ΔACE的斜边，联想到斜中线定理，转化为证明线段BF=CM即可.
3. 利用折半方法证明
证明：做AE的中垂线交AB于G，交AE于M，连接EG.
∵MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∵∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∵∠EBG=45°
∴EB=EG
∵∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∵∠F=∠EGM=90°
∴△BFE≌△EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
评价：把较长的线段AE折半，转化为证明线段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法证明
证明：延长BF、AC交于H点.
∵∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF
∴△ABF≌△AHF
∴FB=FH，即BH=2BF
∵∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°
∴△BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
评价：此种方法采用的是间接加倍方法，若直接加倍，则“延长BF到H点，使BH=2BF”，此时就要证明A、C、H三点共线，非常棘手，所以用间接加倍方法更有利.
教学启示
1. 解题教学时应重视常规解题方法的教学
教师在几何课证明教学时，应着重于对常规思维方法的分析，努力帮助学生找到最容易想到的、最容易掌握的解题方法，以使学生能突破原有的思维障碍，使教学建立在学生通过一定努力就可能达到的智力发展水平上，并据此确定知识与方法的广度、深度.案例1中利用三角形中位线定理来证明，而案例2则采用加倍或折半的方法更适合学生.
2. 不断渗透等价转化等数学思想，培养学生创新思维
著名数学家和数学教育学家波利亚曾说：“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展.”把求解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，是数学解题中基本的思想方法之一，即转化的数学思想方法.案例1、2中把“a= b”型结论转化为“ = ”或者把“a= b”型结论转化成“b=a+a”，都是如此.
重视常规性解题方法并不是完全否定创新型解法，教师应在使学生扎实掌握好双基的基础上，鼓励学生大胆尝试、勇于创新，不断探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比来证明和利用b=a+a方法来证明都是学生在单元测试中少数学生的创新解法，案例2中的方法1和方法2也是如此.教师在引导学生与同伴分享不同解题方法后，还需对不同解法进行分析、比较、归纳，以帮助学生选择适合于自己思维水平的方法，进而纳入自己已有的认知系统，以便能形成自我分析问题、解决问题的能力.