探讨新课改下的数学理解

◇四川文理学院数学与财经学院 李红梅

摘要：新课程改革下的数学理解不仅追求数学知识与技能，而且重视对数学思想方法、数学活动经验、数学情感、数学文化的追求。文章基于解释学，探讨了新课标下数学理解的内涵、基本特征，以及促进数学理解的数学教学的几种方法和途径。

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关键词 ：数学理解；数学文化；解释学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）21-0041-02

基金项目：本文系四川文理学院教育教学改革研究项目——基于课改理念的数学专业选修课程建设与教学研究（项目编号：2013JY45）的阶段性成果。

一、问题提出

义务教育阶段的数学课程强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。《普通高中数学课程标准》在教学建议中指出：“教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能”。具有数学素养的主要表现是：“在学习数学知识和技能的过程中能够理解数学所蕴含的精神、思想、观念和意义等；能够灵活地运用数学的思想方法、发扬数学研究中的科学精神；能够认识和欣赏数学的美。”可见，数学理解是数学教育的一个核心内容，一个基本形式，一个重要目标。

二、数学文化

在更广域下理解，数学是一种知识体系，一种科学语言、一种技术、一种思想方法体系、一种理性思维范式、一种理性美的精神空间，其间充满了想象、创造，可以说数学反映了人的理想和思想解放的程度。著名数学史家M.克莱因在《西方文化中的数学》中写道：“数学是一种精神，一种理性的精神……亦正是这种精神……试图回答有关人类自身存在提出的问题”。可以说，数学教育是数学文化的教育，从数学文化的角度对数学进行理解是更完善的。

三、理解

《辞海》中的“理解”，即“了解、领会，是通过事物间的联系的揭露而认识新事物的过程”。 认知心理学认为：“理解实质上就是一个学习者以信息的传递、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理特征”。哲学解释学中对“理解”有两种观点：一种观点认为理解是一种认知方式，是主体认识客体的途径和手段，是人们获取知识的心理工具；另一种观点认为理解是人存在的基本方式。

四、数学理解

在数学学习中，数学理解不是一种或有或无的现象，而是一种必然现象。这种必然的数学理解现象中有正确的理解，也有误解。

1.内涵。Hiebert和Carpenter认为：“一个数学的概念或方法或事实被理解了，那么它就会成为个人内部网络的一个部分”。“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么就说明是理解了”。“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解”。在数学教育现实中，大部分数学理解都受到实用主义和工具主义价值观的严重影响，停留在技艺、数术的层面，尤其是“经世致用”的传统观念，没有达到哲学和文化的深度，是一种不完整的数学理解。

数学理解的对象不应仅是数学知识，而应该是数学文化，主体是数学共同体。数学理解是在相应文化环境下的创造性活动，亦或数学共同体特有的“生活方式”，包括数学知识、数学思想方法、数学语言、数学精神、数学思维等文化内容。数学理解是从对数学的感知与数学经验到数学直觉、猜想、类比、归纳、想象、灵感、运算、推理、应用等，达到数学领悟、审美、创造，在此基础上理解自己的数学，进而理解自己、理解世界；既是获取数学知识的认知方式，也是数学学习者学习过程中的存在方式。

2.特征。基于哲学解释学和认知心理学分析，数学理解具有个体性、客观性、情境性、过程性、缄默性、创造性及超越性等基本特征。

（1）个体性。数学理解不是一种完全客观性的理解，而要受学习者心理状态、情感、价值取向等因素的影响。由于历史、传统及语言等的影响，人们生活的环境（家庭、社会、地理、政治、经济等方面）不同和智力差异，在与不同的环境接触中形成具有时代性和文化性的经验结构。学习者在数学理解的过程中不是对书本原意完全符合性的解释，而是将自己的视野与书本、同学及教师的视野通过相互交流、对话达成视野融合，形成自己独特的数学理解。

（2）情境性。数学文化是一种宏观的、特殊的情境，存在于数学共同体的活动情境，学习者需要参与真实和模拟的数学实践活动促进数学理解。数学既表现为符号系统，又表现为意义。数学的意义存在于实践和情境的协商中。数学概念、定理及法则必具有情境性，又是在数学共同体的真实活动和运用中而得以不断发展、完善的，如“函数”的概念，对称的涵义，等等。“对称”概念产生于几何，意义表现为位置上的“平等”；“对称”在代数中发展为“对等”关系，进而发展为一种均衡过程、均衡行为、均衡形式、均衡状态、均衡生态、均衡化的思维方法。

（3）过程性。数学理解中不仅要知道数学知识本身是怎样的，还要知道数学知识为什么是这样的，要知道数学知识的最终形式，更要知道数学知识的发生、发展过程，让知识在头脑里以一种动态的、相互联系的、发展的、辩证的、整体的结构关系形式存在。数学过程性知识是一种内隐的、动态的知识，因为它内隐于学习材料之中，内隐于学习的整个过程之中。更重要的是，数学的思想、精神、思维都不能在符号形式的最终状态中得到理解，学习者必须在数学的发生、发展的过程中理解。

（4）缄默性。数学的特点决定了数学学习、解决数学问题、数学研究及数学教学都有很强的技巧性，这种技巧是书本上没有的，数学教师本人也不能清晰地表达出来。数学的观念、精神、思维方式等内隐的行为模式不易被捕捉、模仿、反思，是潜移默化地对学习者产生影响。这种缄默的数学知识对数学教师是存于内心的、个体化的，介于知与不知之间，仅用语言是难于言传的，需要通过数学地解决问题的示范过程来进行传播。在解决问题的过程中，想象和直觉是同时起作用的，缄默的感觉到解决某个问题的着眼点、潜在资源或线索在何处，并发动想象去追寻，从而形成解决思路，设计出解决方案，这在波利亚的《怎样解题表》中有非常明显的表现。

（5）超越性。在数学理解的过程中，我们在理解数学，也在理解自我、反思自我、超越自我、丰富自我。数学知识的传递是显性的，学习者的社会适应性形成、个性发展乃至具有数学思想、数学观念、数学精神、数学态度及数学思维特点人格特质的形成却是隐性的，是超越学科本位的，这也是数学素质教育中数学素养培育的内容。

五、基本方法与途径

数学理解旨在帮助学习者解决问题、交流、推理和创设连接。

1.基本方法。

（1）分析。分析是一种复杂层次的数学思维，包括解释、剖析和数学论证。数学理解中的分析分为逻辑分析和非逻辑分析。对数学进行全面、深入地理解，对非逻辑分析，如联想、猜想、情感、思想等的分析是不容忽视的。数学中合情推理分析一直都是数学家们研究过程中的重要思维方式，在数学新课标的倡导下，数学教育中也开始重视。

（2）比较。将已认识的事物与新事物进行类比、比较，发现其异同是一种基本的理解方法。数学理解过程中进行知识产生、应用的场合和条件的比较，知识形式的比较，不断梳理所学知识，体悟数学知识间的关系，构建数学知识网络，领悟数学知识背后的思想、精神、观念等，形成比较的学习习惯，在相互联系中理解数学。

（3）联系。数学理解中的联系包括横向联系、纵向联系和交叉联系。数学文化涉及多门学科，如数学、哲学、物理学、生物学、经济学、医学、历史（不仅是数学史）、文化学等。数学领域内的联系，如分数加法与自然数加法的横向联系，异分母分数加法与同分母分数加法的纵向联系。跨领域的联系，如数学与物理的联系（如导数在物理学中的变化率意义，在几何中的切线斜率的意义），各学科信息的整合。

（4）抽象。数学从一开始就是抽象的，如：自然数概念就是对离散对象进行量化过程中抽象得来的，字母代数就是在数概念的基础上抽象的结果，对称概念抽象自几何。数学是通过相对独立的“模式”的建构，并以此为直接对象从事研究。再如，没有抽象就不能理解二次函数的图像能刻画抛物运动的轨迹，不能深刻理解车轮形状与稳固性之间的关系。

（5）概括。运用符号对数学概念、定理、定义和法则进行概括是数学的一种重要方法。由经验概括而得到的数学公式、法则等结论，因其直观和容易验证而被人们广泛接受。有了概括才能很好的理解椭圆、抛物线与双曲线都是圆锥曲线，只是其离心率不同。

2.基本途径。

（1）基于书本阅读。美国数学科学教育局（MSEB）在《站在巨人的肩膀上》中提到：“数学是一门探索性的科学，它寻求对各种模式的理解……为了使孩子在数学上成长起来，必须向他们展示丰富的、大量的适合他们生活的模式，通过这些模式，他们能够看到多样、规则和相互联系”。教学过程中根据教材提供的线索，为学生提供实物、模型、图、表、科普读物等丰富的学习资料，使他们获得学习新知识所需要的具体经验，通过思维构成理解，自我阐述概念。如，给学生提供相关知识的数学史料，让学生通过移情作用，在体会数学家的思想、情感的基础上达到对数学的领会。

（2）数学活动。“活动是个人体验的源泉，是语言表征、情节表征、动作表征的源泉”。陈琼认为，“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征……”数学活动有外部操作性活动，更多的是内部的思维性活动。数学理解的起步往往依赖于含有具体材料、图形、符号等的数学活动，为学生提供或让学生自己制作实物、模型、教具等操作性的活动，通过观察、测量、拼接等形成感性认识。说数学是指用自己的语言叙述数学知识，内容包括数学概念、命题、公式、原理、办法和解题过程。做数学包括侧量、绘图、实验、计算、推理、解题（常规题与非常规题、模拟题与真实问题）、构造模型解决问题、解放思想创造数学理论等。数学理解不是靠被告知，而应该是参与，即参与实践、对话、活动，从中体验知识的产生、发展、形式、应用，体悟数学的思想、精神、态度、思维等。让学生通过观察、实验、推理等发现对象的某些特征或与其他对象的区别与联系。在活动中注重知识的相关化、融合化、广域化，要强调反思，思考新旧知识联系，思考做了什么，为什么这么做，这样做是否合理，还可以怎么做等。

此外，还应重视学生的已有经验结构，创设易产生情感共鸣的情境；提倡合作学习；注重数学表达、交流；注意调动积极的情感；螺旋式安排学习任务；给学生反思的机会和时间等。

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（编辑：杨迪）