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妙思巧解,演绎数学魅力

2022-06-08

江苏灌南县实验小学(222500) 朱延春

培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,是数学教学的目标之一。现结合“巧妙解题”的教学实录,介绍一下我是如何在解决问题的过程中,加强思维策略的指导,提升学生解决问题的策略水平的。

一、猜想——验证

自然科学,特别是数学中的新发现大都是从猜想开始的,这些猜想经过大量的时间检验,再经过严密的论证推理,才获得最终的定理、定论。在数学研究里,先猜想后证明,几乎是一条规律。教师在组织教学时,要考虑如何创设情境,为学生再发现创造必要条件。

【例1】小白兔非常爱吃青菜,兔妈妈决定在它们家门前的空地上用篱笆围一块长方形菜地,自己种菜。要想种的青菜多,围成的菜地面积就要尽量大,但自家篱笆的长度只有28米,菜地的长和宽各等于多少时,面积才能最大呢?

1.猜想——激活灵感

师:同学们,你有办法使围成的菜地面积最大吗?

生1:若长方形的长为a米,宽为b米,周长是2a+2b=28米,那么长与宽的和就是a+b=14米,长方形的面积公式是“长×宽”,我们只要求出a×b的最大积就行了。

生2:因为正方形是特殊的长方形,我们可以直接猜想“当a=b时,也就是a=b=7。a×b取得最大值”。

生3:假设a×b的最大值为7×7=49,那么长方形的最大面积为49平方米。

2.验证——得出结论

师:大家的猜想非常有道理,但究竟对不对呢?拿出纸和笔来检验一下,怎么样?

同桌交流:把长方形的长和宽变化时面积的变化情况用表格的形式表示出来:

长方形边长与面积变化规律表

生:耶!我们的猜想是正确的。

在教学中,教师要让学生在“猜想——验证”活动中感受、领悟、理解和掌握数学的思想方法,培养学生勤于思考、勇于提出猜想,并对猜想进行检验的学习态度,形成独特的个人见解,产生创新灵感。

二、探究——归纳

【例2】把、、、化成小数(除不尽的保留三位小数)。

学生顺利地把这些分数化为小数后,颇有大功告成之态。见时机成熟,我故意说:“同样是分数,为什么有的能化成有限小数,而有的却不能呢?”一石激起千重浪,学生在新问题面前个个凝神思索。这时,我启发学生仔细观察这几个分数有什么相同的地方。学生发现它们的分子都是7,我说:“对呀!为什么分子相同的有的能化成有限小数,而有的却不能呢?”把学生的思考引到对分母的观察与思考中去。他们终于发现:一个分数能否化成有限小数,跟它们的分母有关,与它们的分子无关。接着请学生将这些分数按照能否化成有限小数分成两类,比较它们的分母有什么不同。引导学生初步归纳出:一个分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数,如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。

在课堂上,使学生主动地投入到知识的发生、形成、发展、运用的过程中去,切实把他们推向思考问题的最前沿,这是课堂教学中激活学生思维的重要途径。

三、数形——结合

“数”和“形”是数学中最基本的两大概念。在教学中,要有目的地帮助学生把抽象的概念、复杂的数量关系与几何图形联系起来考虑,为发展学生的直觉思维创造条件,能使题意形象具体,一目了然,从而较快地找到解题的途径。

【例3】王大伯今年收获了2.4吨苹果,其中一半以上达到一级质量标准,其余达到二级质量标准。如果分等级出售,一级苹果每千克为2.4元,二级苹果每千克为1.6元;如果不分等级出售,每千克为1.8元。请你用计算器算一算,怎样出售比较合适?

解:根据题意画长方形示意图。

从长方形图可见:不分等级出售,总收入为长方形ABCD的面积值。分等级出售,总收入为长方形AEFG和长方形EBJL面积和的值。需要比较长方形DHFG与长方形JLHC面积的大小,由于FH>HL,DH>HC,所以SDHFG>SJLHC。所以,分等级出售总收入更多,分等级出售更合算。

数学的思想方法是数学学科的精髓。日本著名数学家米山国藏认为:作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学的思想、研究方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使他们受益终身。”在课堂教学中,教师要积极而又审时度势地把学生引向他们的“最近发展区”,给学生充分的独立自主学习和探究操作的活动空间,让学生在主动参与探究的过程中激活创新思维。

(责编 金 铃)

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