聚沙成塔——促进小学生积累数学活动经验的思考与实践

数学活动经验是学生个人经验的重要组成部分，是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一。数学基本活动经验建立在感觉基础上，又是在活动过程中具体体现的，与形式化的数学知识相比，它没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，是动态的、隐性的和个人化的。在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应该让学生积累丰富而有效的数学活动经验。因此，课堂教学应该从学生的实际出发，为学生提供充分从事数学活动与交流的机会，帮助他们在探索、提升过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，同时积累解决问题和分析问题的基本经验，感悟数学的理性精神，形成创新能力。

一、个体探索，在经历中获得活动经验

学生是数学学习的主人，他们学习的过程是对外部信息进行选择、加工和处理，获得所需的知识的过程。数学课堂关注的是学生个体知识的生成，关注学生经过数学活动后获得哪些积极的活动经验，这是一种由内而外的生长过程，需要学生个体经历。“经历过程”不仅仅是让学生经历知识产生的过程，更是经历探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程，从而获得无法代替的、具有个性特点的基本数学活动经验。

１．实践操作——直接经验

动手操作能把抽象的知识变成看得见、讲得清，学生在实践中动手、动脑、动口，他们的多种感官参与了获取知识的全过程，获得的体验就会深刻、牢固。

如六年级上册“长方体的体积”一课教学中，笔者设计了这样的活动：用１２个棱长是１厘米的小正方体拼成一个长方体。对学生来说，他们拥有立体图形拼搭的具体操作经验，当他们接受任务后，就开始了操作。课堂上出现了不同的探索途径：有些学生利用小正方体摆一摆，不一会儿就有了几种不同的拼法；有些学生进行了１~２次操作后，改成边想象边记录的方法，也有了劳动成果；还有些学生根本不操作，用列图表的方式进行列举：

从学生个体探索现象可以看出，教师创设的活动是有效的，它调动了学生的知识储备，学生个体经历了活动的全过程。在这里，操作、推理、一一列举多种方式并存，有的具体、有的抽象，无论从哪个角度思考，学生都体会到了用相同的小正方体可以摆出不同的长方体，也形成了长方体体积计算的初步感知。在这里，活动不仅丰富了感觉、知觉的经验，而且也为相互之间的思维碰撞提供了丰富的资源，动手操作不仅仅是直观、形象的“手指运动”，更是丰富、生动的思维活动，这一过程中实现了操作经验与思考经验、策略性经验的有机融合，学生由此获得了丰富的数学活动经验。

２．推理分析——迁移经验

数学学习首先是个体为适应数学知识的发展变化而进行的一种活动。数学知识的学习依靠点滴累积，后一阶段的学习是建立在学生已有的知识和经验的基础之上的，是对前一阶段知识与经验的深化与发展。

例如，五年级下册“圆的面积”，学生用教科书后面提供的素材进行剪拼，成功把圆转化成了平行四边形，在对转化前后的图形进行对比时，学生发现了核心知识：转化前后，图形形状变了，但是面积不变；如果把圆等分的份数越多，那么拼成的平行四边形会越来越接近长方形；探索一个未知的数学知识时，可以把它转化成熟悉的知识。学生有了基本的研究方法和经验后，我又给了他们一个活动的机会：圆除了能转化成平行四边形外，你还能把它转化成其他熟悉的图形吗？第二天，学生拿来了他们的劳动成果：有转化成三角形的，也有转化成梯形的。

经历就是财富，有经历就有磨砺，有经历就有经验，有经历就有成长，有经历就有积累……然而经历只是提供给学生成长的舞台和沃土，教师还要帮助学生对在活动中积累的经验进行提升，生成新的经验，促进学生的活动经验从一个水平上升到更高水平，剥去活动的形式，到达活动的本质，给予学生的即是今后学习需要的基石。从一而有三，触类旁通，用活动累积起来的经验必将会影响即将形成的新经验。

二、集体智慧，在启迪中发展活动经验

每个学生都是鲜活的个体，他们在学习新知识时，个人拥有的知识经验、活动经验是不相同的，所以他们解决问题的方式也是不同的，他们会有自己的想法。因此，数学课堂上，教师要在活动中组织学生对活动本身和活动后的结果进行交流，充分发挥集体力量，从而丰富学生自身的经验。

１．失利经验——有利经验

课堂教学是师生动态生成的过程，学生的活动不可能常常一帆风顺，其中学生的失利经验就反映了学生的认知困惑，错误、挫折也是教学中重要的资源，是进一步开展教学的着力点。教师应该让学生充分交流、分析失利的原因，进而形成解决问题的策略。

例如，正方体表面积展开图的研究，这是立体图形教学的难点之一。我在教学这一内容时，组织学生利用方格纸进行设计，看看哪些能折成正方体。经过共同努力，很快一些作品陆续呈现，并一一在投影器上进行了展示。

成功的：

失败的：

教学并没有因为“失败”而终结，我又组织学生对“失败品”进行研究，怎样改动让它们也能成为“成功作品”呢？于是学生再次踏上了尝试之路，他们时而皱眉、时而停顿、时而微笑。突然，有一个兴奋的声音传来：“我有办法了，失败一次就能成功一次！”遮眼的迷雾由于这个消息烟消云散，学生纷纷根据这个提示反复折叠，发现了重叠的面，然后修改，继而成功。课堂里响起了此起彼落的声音：“失败一次就能成功一次！”

榜样的力量是无穷的，集体的智慧亦是无穷的。教师要善于捕捉来自学生的失利经验，因势利导地把它提升为有效的教学资源，并调整教学策略加以施教。从这个层面来说，学生的失利经验是有价值的。

２．他人经验——新的起点

学习是以个人的经验为基础，但是个人的认识和经验是有局限的，往往容易思考问题不全面，需要分享他人经验，表达自己的见解，关注个人对问题的解决与他人对问题解决策略上的整合，从而形成新的共识。

例如，在教学苏教版六年级上册“解决问题”时，呈现例题“鸡兔同笼，头有１０个，脚有２８只，鸡和兔各有几只？”学生独立解决，交流时出现了多种方法，有假设、有列举、有画图。其中画图的学生是这样想的：

①表示鸡，表示兔。２＋４＝６只（１只鸡和１只兔有６只脚）；４×６＝２４只（４鸡和４只兔一共有２４只脚）；剩下的４只脚可能是兔子的，但是这样的话总只数就只有９只，所以剩下的脚是２只鸡的，这样就得到兔子有４只，鸡有６只。

对于这个画图方法，其他学生交流后得到启发，给出了另外的方法：

②表示鸡，表示兔，如果２８只脚全是鸡的，那么鸡有１４只。

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这时可以用２只鸡换１只兔，头数就变成了１３只。这样连续换４次，头数就变成了１０只，也就是说兔子有４只，鸡有６只。

③表示鸡，表示兔，如果１０个头全是鸡，那么只有２０只脚，剩下的８只脚就用１只鸡换１只兔子。

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这样每换一次就会用掉２只脚，换了４次后剩下的脚就分完了，因此兔子有４只，鸡有６只。

著名作家萧伯纳说过：你有一个苹果，我有一个苹果，互相交换，两人各得一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，两人交换，每人各得两种思想。思想能影响思想，活动经验也能吸纳创新，派生出新的活动经验。本案例中学生就感受到思维形式的多样性，解题切入点的多重性。集体的智慧，让思维走得更远，让经由活动后累积的活动经验更为丰厚和重实。

三、追根溯源，在反思中沉淀活动经验

荷兰著名数学教育家费赖登塔尔教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”是的，课堂上的反思是学生对自己认知过程、认知结果的监控和体会，数学知识的理解，数学活动经验的提炼要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又必须依靠对思维过程的不断反思才能达到。

１．同化顺应——寻找本质

数学活动经验具有累积性，教师要善于利用活动经验中的“同化”和“顺应”效应，在知识之间建立联系，帮助学生建构数学模型，获取具有数学本质的数学活动经验，从而达到优化认知结构，提高数学素养的目的。

如六年级上册的“用８个１立方厘米的小正方体摆成一个正方体，表面涂色，把它切开后，说说这些小正方体的涂色情况”。由于小正方体个数少，学生通过观察实物，得出：８个小正方体涂色的都是３个面。在学生有了初步的直观的经验后，我提出了新的问题：“用２７个１立方厘米的小正方体摆成一个正方体，表面涂色，把它切开后，这些小正方体的涂色情况是怎样的？如果是６４个１立方厘米的小正方体摆成一个正方体，情况又是怎样的呢？”

学生解决第一个正方体用的是原有经验，对第二个正方体的研究应该属于活动经验的丰富阶段，而对第三个正方体涂色情况的分析则是活动经验的提升和内化阶段。３个正方体大小是不同的，但是它们三面涂色的个数却是相同的，其两面涂色和一面涂色的思考方法也是相同的。学生通过观察、分析、比较，发现了内在的相同的规律，通过反思学习过程，找到了解决问题的方法，往后他们如果遇到类似的问题，就能够轻松提取曾经积累的数学活动经验。

２．承上启下——问题解决

检验学生经过活动是否获得了活动经验，数学活动经验是否已经成为学生认识领域中不可或缺的一部分，必须从学生对问题的解决角度看效果。因此，课堂教学要立足对活动经验的审视，让学生利用获得的基本活动经验解释数学现象，进而实现问题的解决及数学活动经验的内化和提升。

例如，“表面积的变化”一课，我在课始引导学生用８个１立方厘米的小正方体摆成一个长方体，并比较它们的表面积。学生意识到：这些不同的长方体体积相同，原来的表面积相同，但是组成图形后表面积不同。课堂上学生经过探索、交流，他们发现了表面积变化的规律。随后，让他们说说课始的长方体表面积是如何变化的，分别减少的是那几个面的面积。这样的教学利用了学生通过刚刚获得的活动经验，寻找事物隐含的真理，从而提升学生的活动经验，体现了数学活动经验累积的价值。

每个学生都是生动活泼、富有思想的个体，教师要充分调动学生学习的潜能，采用多种方式丰富学生对内容的体验和理解，给予学生活动的时间和空间，使他们逐步积累动态或静态的活动经验。学生每一次活动后活动经验的获得，都是散落的沙石，教师要拥有一双“巧手”，帮助学生对这些活动经验进行分类、整理，最终使它们成为系统知识，这样“活动经验的根”才会长得深而有力，才能为学生后续的学习积蓄动力。

（责编　金　铃）