夯实基础厚积薄发——“三角形的面积”课堂教学的几点思考

浙江杭州市长青小学（310000）　华建锋

【缘起与思考】三角形的面积一课是继学习了平行四边形的面积之后的又一节几何概念课。三角形的面积计算公式及方法对于学生来说不是完全空白的，有相当一部分学生已经知道三角形的面积公式，但是真正理解公式的却凤毛麟角。

课前我在班内做过一个调查，我班学生３１人：已经知道三角形面积计算公式的有９人，对三角形面积公式有一定理解的只有３人；对课中所述的三个三角形，会进行面积计算的学生分别有２９、２３、２３人；标有底和高的等腰三角形，能够利用学过的知识来证明“三角形的面积＝底×高÷２”这个结论（答案）是正确的，有２４人（因为当时没有可供学生操作的材料，所以学生只想到一种方法“沿底边上的高剪开，通过旋转拼成一个长方形”，其他方法没有想到。这应该是学生一种真实思维水平的反映）。

这节课是通过复习平行四边形面积计算公式而引入的。教学中先出示三角形的面积公式，让学生明白知道了公式不是最终目的，更为重要的是知道公式是怎么来的，怎样证明这个公式是正确的，即本节课的价值定位不是“公式应用”，而是三角形面积的“公式推导”。所以本节课教学的重点不是让学生会进行三角形面积的计算，而是使学生理解并掌握三角形面积计算公式的推导过程，获得基本的数学活动经验并渗透转化的思想，培养学生合作、积极动脑思考的良好学习习惯，特别是发展学生的空间观念和思维能力。

至此，本课有三点引发了我的思考。

思考１：如何把握新知的附着点，突出三角形面积计算公式的本质及其知识结构的连贯性和延伸性？

小学生学习三角形面积计算公式，形成抽象的数学概念并发展空间观念，绝不是一次完成的，而是要经历复杂的认识过程。教学中要让学生在自己原有认知的基础上，通过有效空间想象的支撑，从而揭示数学概念的本质属性进而发展空间观念。

教学中要充分考虑知识的形成线索和学生的认知线索，以突出知识结构的连贯性和延伸性。从数学本质来看，三角形面积计算公式是平行四边形面积公式的特殊形式，当平行四边形的其中一条底长度逐渐变短直至变为０时，平行四边形就成了三角形；三角形面积公式的探究过程，主要是通过转化的数学思想方法，让学生去体悟三角形面积公式的习得过程，在建构概念的过程中获得数学思想方法和数学活动经验的积累。

思考２：推导三角形面积计算公式的“两种策略”孰轻孰重还是两者兼顾？

推导三角形的面积计算公式不外乎是两种基本策略：一种是“剪拼法”，即将一个三角形沿中位线剪切并通过旋转拼成一个平行四边形（如图１所示），或者沿高线中点并垂直于高剪开后旋转拼成一个长方形（如图３所示）；另一种是“拼组法”，即将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。对于以上两种策略，在教学中肯定只能侧重一种，将另一种作为补充，以丰富学生对概念的建构。那么到底选择哪一种呢？我认为当以拼组法为重，原因有二：其一，学生对三角形剪拼成平行四边形知识储备还不足，因为中位线的概念尚未建立；其二，之前学习平行四边形的面积采用的是割补法，沿平行四边形的高剪开后将两部分拼成一个长方形，从而推导出平行四边形的面积计算公式，之后将要学习推导梯形面积计算公式，既可以将一个梯形剪成一个三角形和一个平行四边形，又可以将一个梯形剪拼成一个三角形或平行四边形，还可以用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。诚然，“拼组法”应当成为本节课的教学重点。（图４－图７）

图１、２、３的三角形面积＝平行四边形（或长方形）面积。

（１）三角形面积＝底×（高÷２）＝底×高÷２；

（２）三角形面积＝（底÷２）×高＝底×高÷２；

（３）三角形面积＝底×（高÷２）＝底×高÷２。

归纳得出：三角形面积＝底×高÷２。

思考３：研究三角形面积计算公式的本质内涵在关注基本活动经验时，是否需要把握操作的递进关系？

小学生学习的是“经验几何”，揭示几何模型需要学生在丰富的感性积累和具备了相当抽象思维能力的基础上才能逐步完成。本课学习的目的不再是为那些显性的“陈述性知识（什么是三角形面积）和程序性知识（三角形面积＝底×高÷２）”而学习，而更关注学生运用已有的知识自主建构的策略性知识（三角形面积和已有图形面积之间的联系并如何建立联系）的体悟和感受。

平面图形面积计算公式推导往往内容相近且思想方法相同。就平行四边形面积计算而言，主要是唤醒学生先前的操作活动经验（尤其是剪拼）并突出转化的基本数学思想方法；三角形面积计算，主要是把平行四边形面积公式推导中的经验进行推广并让学生经历不同层次的剪拼活动（主要是拼组），并突出归纳推理的思维过程；梯形面积计算，可以强调从多角度探究平面图形的面积（既可以是剪切也可以是拼组），积累基本操作活动经验，并突出转化方法的多样化。总之，教师必须深入挖掘教材体系的纵横联系，以期学生在基本活动经验的积累方面获得更多的体验和感受。

【教学实践心路】

环节一：复习引入，初步建构三角形面积计算方法

１．回顾平行四边形面积公式推导过程。

（１）平行四边形的面积是怎样计算的？（板书：平行四边形的面积＝底×高）

（２）平行四边形的面积计算公式我们是怎样推导出来的？

生：将平行四边形剪拼成长方形……（课件演示剪拼过程）

（３）你为什么要把平行四边形变成长方形？实际上我们是应用了数学上的一种什么思想？（板书：转化）

（４）转化之前的平行四边形和转化之后的长方形有什么联系？什么变了？什么没有变？

２．师：看到这个平行四边形，老师想到了与这个平行四边形有关的几个三角形，同学们能猜出老师心里想的三角形的样子长什么模样吗？哪位同学上来指给大家看一看？

学生汇报后课件出示与原来平行四边形等底等高的等腰三角形、锐角三角形、钝角三角形。

师（指图讲述）：现在你知道三角形的面积计算方法吗？

生1：三角形的面积＝底×高÷２。（板书：三角形的面积＝底×高÷２）

师：这一节课老师就和大家一起来研究三角形的面积。（揭示课题）三角形的面积与哪些因素有关？

生2：与底和高有关。

师：你能选择其中一个三角形来证明三角形面积可以用“底×高÷２”来计算吗？

生3：我选择了等腰三角形沿底边上的高剪开，然后拼成一个长方形，长方形的底是原来三角形底的一半，长方形的宽等于原来三角形的高，所以三角形的面积＝底×高÷２。

师（追问）：除了剪拼成长方形还能拼成其他图形吗？

生3：还可以拼成一个平行四边形。

师：你能剪拼给大家看一看吗？（如图８）

师：其他的三角形也能这样剪拼吗？（学生一时答不上来）为什么等腰三角形剪拼能成功，而一般三角形剪拼却不一定成功？

生4：等腰三角形沿高剪开以后是两个完全一样的直角三角形，而一般三角形沿高剪开以后是两个不一样的三角形。

【设计意图：三角形面积与等底等高的平行四边形面积有关，所以本课从复习平行四边形面积引入，以唤醒学生的认知基础。另外等腰三角形（属于常态标准材料）沿高剪开以后是两个完全一样的直角三角形，而一般三角形沿高剪开以后是两个不一样的三角形。体会：要能剪成两个完全一样的三角形才能用剪拼进行转化，否则不能转化。同时也让学生体会到两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。这一点也就是三角形面积公式推导中为什么使用拼组的方法更具普适性的原因所在。在平行四边形的面积一课中，学生已经初步体验了运用化归思想方法来解决问题的方法和策略，即通过剪拼将平行四边形转化成长方形。因而在学习三角形面积时应该首先想到的转化方法是剪拼。但事实上三角形的面积公式推导通过剪拼来转化并不是最理想的方法，教材中也是利用拼组的方法——用两个完全一样的三角形拼组成一个平行四边形，相对来说解释和理解都相对容易，但是拼组的方法不一定就能如教师预设和期望的那样能顺利地在课堂教学中展现出来。所以课堂教学中还是要从学习的常规思维基础出发，即剪拼的方法出发，为后续教学所用。】

环节二：解构三角形面积计算方法

１．学习探究：老师给你提供一些学习材料（信封中有完全一样的锐角三角形、完全一样的直角三角形、完全一样的钝角三角形，还有等底不等高的三角形、等高不等底的三角形等），利用这些材料想办法验证三角形的面积计算公式，并把自己的想法在小组内交流。

２．学生操作，教师巡视指导。

３．汇报交流。

师：同学们，你们都研究出什么了吗？谁愿意与大家分享一下你们研究的成果？请停下手中的操作，听一听其他同学所想的和你的一样吗？

预设１：（根据学生的汇报依次在黑板上贴上图片）

预设２：（若学生在拼的时候没有强调两个完全一样的三角形来拼，则教师作如下引导）

师：同学们真的很会动脑筋，不过老师听了你们的想法之后，也想试一试。请看，老师这也有两个三角形（出示两个不一样的三角形），该如何来拼呢？

师：为什么同学们选取的两个三角形能拼成平行四边形（长方形）？而老师选取的两个三角形却不能拼成平行四边形（长方形）呢？

师：原来同学们是选取两个完全一样的三角形来拼的，那怎么证明这两个三角形就是完全一样的三角形呢？

生：把两个三角形重叠在一起进行比较。（重叠法）

４．总结操作成果

师：通过实验，你们发现了什么？

引导学生得出：只要是两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形。

师：谁能说说，每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

生：拼成的平行四边形是三角形面积的二倍。每个三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半。

５．归纳公式

师：同学们，我们以上的探索过程就是数学家们曾经走过的历程，这一过程中用了数学的哪一种思想方法？这些方法实际上都是把今天所要研究的不会求面积的三角形先转化成什么图形？

师：请同学们观察黑板上的转化过程，无论什么样的三角形，只要是两个完全一样的三角形，都可以拼成一个平行四边形，谁能说说，每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系？现在，你能得到三角形面积的计算公式吗？（根据学生回答板书：三角形的面积＝底×高÷２）

师：底×高表示什么？为什么要除以２？

师：如果用Ｓ表示三角形面积，用a和ｈ分别表示三角形的底和高，你能用字母写出三角形的面积公式吗？（结合学生回答板书：Ｓ＝ａｈ÷２）

【设计意图：本环节不仅使学生找到了新旧知识的连接点与转化方式，而且使学生正确掌握操作方法，形成操作技能，从学生的已有经验和知识背景出发引出新课学习的重点。

数学课程标准下的教材编写有两条线：一条是明线即数学基础知识和基本技能，是有形的线索；另一条是暗线即数学思想方法，是无形的线索。这样编排教材的目的是为了突出数学思想方法的教学。化归思想是小学数学最重要、最基本的思想之一。转化与化归是把未知的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至简单的问题。转化与化归思想在数学学习中无处不在，教学中要不断培养和训练学生自觉的转化意识，长期训练将有利于强化学生在解决数学问题中的应变能力，提高学生的思维能力和技能、技巧。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。简单地说，解题就是把要解的题转化为已经解过的题。

教学数学思想方法不像教学数学知识那样能在短期内初见成效，它必须经历一个长期的认识过程，才能被学生所体悟、理解和自觉运用。化归思想是解决数学问题常用的思想方法。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想，是数学思想的灵魂和精髓。

本环节就是以“化归”思想为理论武器，实现了长方形、正方形、平行四边形、三角形的面积计算公式间的同化，从而构建和完善了学生的认知结构。后续的学习中还将和梯形、圆形面积计算公式进行同化，帮助学生建立完整的平面图形求面积公式。

经过长期的强化训练和学生的感悟，学生也就自觉地养成了运用“化归”思想去探究、解决实际问题的思维品质，把数学知识的学习与数学思想方法的学习有机融合。本课教学的目的不是让学生掌握三角形的面积计算公式，而是让学生在学会了数学知识的同时能深刻领会其知识背后的思想方法，同时促进学生数学知识的学习。】

环节三：二次建构与拓展三角形面积计算方法

师：你们知道吗？今天我们一起动手推导、验证出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，热爱数学的人们不停地思考，还研究出了其他的方法，我们一起来看一看。（多媒体演示“割补法”）先作底边上的高和中位线，沿高的一半旋转１８０度拼成一个平行四边形。

师：你看懂了吗？能解释给大家听听吗？

师：我国古代数学家固然伟大，但是老师觉得你们也很了不起！咱们不也找到三角形面积的计算方法了吗？把热烈的掌声送给咱们自己！

【设计意图：经验，并非总是亲历所得。对数学活动经验的获得，一般有两种途径，一种是基本活动经验由学生亲历所得，它是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式；另一种是基本活动经验，是指学生间接经历了活动过程而获得的经验。以上教学过程中适时运用现代教育技术，给学生提供和创造像“观察性经验”一类的替代性经验，让学生在观察、模仿、想象这些替代性经验中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验，促进学生获得广泛的丰富的数学活动经验。】

环节四：重构与提升三角形面积计算方法和意义

师：这一节课同学们通过探究推导出了三角形的面积计算公式，课后可以继续探究，看看还能探究出哪些方法？下面我们就用相关知识解决一些实际问题。

计算下面三角形的面积：

（１）计算三角形的面积你需要知道哪些条件？

（２）出示相关数据：分别计算出它们的面积是多少平方厘米。

（３）交流：计算出三角形的面积后还有问题要提吗？

若学生没有问题，则教师提问：

（1）４５×１６表示什么意思？能在你所说的图形上指一指吗？

（2）老师也想了一个平行四边形，是这样的（课件演示），可以吗？

（3）为什么计算这个三角形的面积还要除以２呢？

（4）求第二个三角形的面积时，如果要以５厘米为底，那么它的高在哪里呢？你会求吗？

【设计意图：本环节遵循“前有铺垫、中有突破、后有提升”的教学原则，融例题和知识教学为一体，例题教学的目的不是为了公式的应用，而是要挖掘知识背后更深层次的知识，引导学生从“三角形面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形面积的一半”中解构出来，并重新建构：三角形面积是“等底等高平行四边形面积的一半”。至此学生所建构的三角形面积计算公式才是丰满的。】

【教后思考】

思考１：怎样避免数学思想方法教学在同一水平上徘徊？

数学知识总是有它固有的结构和逻辑体系的，平面图形面积计算公式的建构从某种意义上来说是同源的，也是一脉相承的；在教学中应该关注其发展性、延伸性和传承性。教师在进行教学设计时，要进行教学前端分析即教学起点分析，它应包含两个层面：教材层面——数学知识及知识之间的内在逻辑联系；学生层面——学生原认知基础。

三角形面积计算是在学生已经掌握平行四边形面积计算并认识三角形特征的基础上进行教学的，所以，必须以平行四边形的面积计算以及三角形的底和高相对应的知识为基础，使“三角形面积计算”这一新知识纳入学生原有的知识体系中，运用迁移和转化的思考方法，通过“动手操作，合作探究”等教学活动，使学生切实理解和掌握三角形面积计算公式，同时加深平面图形之间内在联系的认识，为后面推导梯形的面积公式做好铺垫。

本课教学过程中运用了先立后破、由破再立的策略。立——等腰三角形的剪拼，发现等腰三角形沿高剪开可以拼成长方形或平行四边形，得出等腰三角形可以通过剪拼来实现转化；破——不是所有的三角形都能进行剪拼，让学生进行一般三角形（非标准常态材料，如锐角三角形和钝角三角形）剪拼实验，发现一般三角形沿高剪开难以实现转化；再立——任何两个完全一样的三角形都能拼成平行四边形。进而将等腰三角形和一般三角形进行对比，找到将一般三角形进行转化的另一种方法——拼组。至此，学生在矛盾冲突的过程中掌握了知识，发展了空间观念，完善了对化归思想的认识。总之数学思想的积淀要逐级递进、螺旋上升。

思考２：学生是重复操作还是层层深入？

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。课程标准明确指出：教学“图形与几何”应该帮助学生建立空间观念，让学生经历借助图形思考问题的过程，初步培养学生的几何直观与推理能力。

希尔伯特说：几何图形是一种数学符号，是直观空间帮助记忆的符号，几何思维与算术思维是一致的，数、形不能割裂。在知识建构阶段更多地采用实物操作，操作要到位，不能流于形式，让操作与思维联系起来，让操作成为培养学生创新意识的源泉。让新知识在学生操作中产生，技能在操作中熟练，方法在操作中创生，创新意识在操作中萌发。在知识解构、重构阶段更多地采用表象操作和思维操作，让学生在回忆、想象、分析、综合等一系列的思维活动中，进行智慧火花的碰撞，特别是让学生在借助口头语言表达自己想法的同时，能够将表象的整理、加工、归纳的思维过程进行综合，完成从感性到理性的完整认识，同时提升思维水平。总之，从图形观察到空间想象，动态研究几何与图形将会引发学生更深入的数学思考。

思考３：对知识的理解是停留在工具性理解层面还是要强化关系性理解？

对数学知识的理解有两种模式：一种是“工具性理解”，还有一种是“关系性理解”。工具性理解是对数学知识、数学对象的表层理解，是对一个规则及所指定的每一个步骤是什么的理解，“只知其然，不知其所以然”，“只管公式，不管理由”，“只知道做什么，不知道为什么要这样做”；关系性理解是对数学知识、数学对象的本质的理解和把握，还需加上符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径及规则本身有效的逻辑依据等，“不仅知道要做什么，而且知道理由”，“不仅知其然而且知其所以然”。关系性理解的学习不仅可以激发学生的认知内驱力，同时也能有效地引领学生探索未知的数学关系，形成完整的知识结构。本课教学中事先向学生交代三角形的面积计算公式，然后引导学生从“三角形面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形面积的一半”中解构出来，并重新建构为三角形面积是“等底等高平行四边形面积的一半”。沿着“建构——解构——重构”的路径帮助学生形成完整的知识结构，并把学生对三角形面积计算公式从工具性理解引向纵深的关系性理解。

思考４：练习设计是要关注技能训练还是更多地突出思维提升？

练习设计不求华丽但求内涵丰富，在练习中要更加突出空间想象的思维训练，包括同一思维水平的横向运用、纵向运用。皮亚杰指出：学生获得数学知识需要经历从具体操作到表象操作，再到形式操作的过程。本节课教师没有安排过多的单一的技能操练，而是设计了一组前后相生的问题：第一层基本练习，旨在巩固、熟练公式；第二层设计实践应用，使学生对三角形面积和等底等高平行四边形的面积之间的关系加深理解；第三个层次，主要训练学生思维的灵活性与逆向思维能力，掌握怎样选择底和高，已知面积怎样求高。在这组练习中教师不只关注答案是什么，更要关注运用，如果教学中过多关注技能而对思维操作训练没有进行深加工，学生很难在课外再进行深入体验，而技能的训练还可以在课外和后续学习中进一步得以落实。

（责编　金　铃）