以“形”助明理以“理”促提升——以“分数除以整数”教学为例谈数形结合思想的应用

广东东莞市长安镇第二小学（５２３８５１）　钟　莉

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，其中“数”是“形”的抽象概括，“形”是“数”的直观表现。数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。”这里形象、生动地说明了“数”与“形”的关系，明确、深刻地揭示了数形结合思想的价值。下面以“分数除以整数”一课教学为例，谈谈如何合理、有效地应用数形结合思想开展教学，引导学生探究所学知识，使他们真正获得发展。

一、以“数”化“形”，在新知疑惑处尝试

小学生的抽象逻辑思维能力不强，遇到新学或较难的数学问题时，难免会出现疑惑、困顿。这时，如果能把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，将抽象的“数”转化为直观的“形”，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有效地帮助学生解决数学问题。

教学片断１：画图研究4/7÷２，大胆尝试算法。

例题：把一张纸的4/7平均分成２份，每份是这张纸的几分之几？

（学生列式为4/7÷２，一部分学生直接报出结果为2/7）

师：你们是怎样算出来的？

生１：我想，分数乘整数就是分子乘整数，分母不变，那4/7÷２就用分子４除以２，分母不变，得到2/7。

师：分数除以整数我们还没有学。除了计算，你还有没有其他方法获到结果？

（学生想到画图的方法，猜想算法，如下）

生２：从画法（１）中可以看出，4/7里面有４个1/7，平均分成２份，每份就有２个1/7，即2/7，所以用4÷2/7（分子除以整数，分母不变）就可以算出结果是2/7（如图Ａ）。

生３：从画法（２）中可以看出，最后涂色部分占整张纸的4/14，化简后为2/7。我发现把4/7平均分成２份，每份就是4/7的1/2，4/7的1/2可以用乘法4/7×1/2计算，所以4/7÷２＝4/7×1/2，结果也是2/7（如图Ｂ）。

……

对于2/7÷２这道新的分数除以整数的计算题，部分学生能凭直觉和前面所学分数乘整数的经验，猜出结果是4/7。然而，对“2/7是怎样算出来的”“为什么这样计算”等问题，学生的认识是混沌的。通过画图，还原题目的原始形态，既是研究分数问题的重要途径，又是尝试算法的直观依据。其中，画法（1）特别形象直观，一眼就可以看出每份有２个1/7。课堂教学中，教师借助多媒体课件，可以形象地演示画法（2）中把4/7平均分成２份的动态过程，直观呈现“每份是4/7的1/2”，并引导学生用已学的乘法来计算，为他们理解算理与掌握算法打下了扎实的基础。

二、以“形”明“理”，在探究交流中体验

“数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。”因此，在实际教学中，数形结合思想的感悟与数学活动经验的积累不能依赖教师简单的说教，而要通过创设适合的情境、设计恰当的问题和活动，让学生自己亲身经历数学知识的获取过程，使他们深刻感悟其中的数学思想。

教学片断２：结合图形计算4/7÷３和3/5÷４，明晰算理。

师：尝试用这两种算法计算4/7÷３。

生１：用第一种方法计算，分母不变，分子４除以３除不尽；用第二种方法计算，4/7÷３＝4/7×1/3＝4/21。

师：看来，第一种算法存在一定的局限性。那第二种算法对不对呢？

生２（出示右图）：可以画图检验。把一个长方形平均分成７份，取其中的４份涂色，就表示这个长方形的4/7；把4/7像这样横着再平均分成３份，取其中的１份涂色，这一份就是4/7的1/3，4/7的1/3可以用4/7×1/3来计算，从图中可以看出每份是这张纸的4/21。

师：画图研究3/5÷４，思考怎样计算，并说一说为什么这样计算。

生３（出示右图）：先在长方形中表示出它的3/5，再把3/5平均分成４份，取其中的１份涂色，通过画图发现这一份就是3/5的1/4，可以用乘法3/5×1/4计算，所以3/5÷４＝3/5×1/4＝3/20。从图中也可以看出，最后涂色的部分就是这张纸的3/20。

……

计算教学不是简单的技能训练，数的运算之间存在内在的联系与严密的逻辑性，学习数的运算就是发展学生逻辑思维能力的过程。因此，计算教学一定要达到“明算理，会计算”的双重目标，仅通过教师空洞的说理与枯燥的计算训练是达不到的。有了前面尝试用数形结合的方法研究计算4/7÷２的经验，在计算4/7÷３和3/6÷４这两道题时，学生主动找“形”来帮忙，利用画图来理解算式的含义，自主探索计算方法。通过动手画图、课件的动态演示，引导学生亲身经历探寻算理、算法的过程，为学生深入理解算理、切实掌握算法提供了有力支撑，使学生在探究交流中体验到利用数形结合解决问题的优势。

三、以“数”概“形”，在归纳推理中领悟

“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使学生更准确地把握“形”。特别是计算教学，必须引导学生从直观分析中抽象、概括出正确的结论，才能真正提高学生的计算水平，促进学生形象思维能力与逻辑思维能力的协调发展。

教学片断３：数形结合，归纳推理，总结一般方法。

（回顾探究过程，再次出示前面研究的三幅图，如下）

师：你能想象一幅图，再举一个这样的例子吗？如果把Ａ平均分成Ｂ份呢？

生１：每份就是Ａ的1/B，即Ａ÷Ｂ＝Ａ×1/B（Ｂ≠０）。

师：你发现了什么？

生２：除以一个整数（０除外）等于乘这个整数的倒数。

……

学生虽然经历了以“形”助“数”的研究过程，但还只停留在对具体、特殊实例的理解与认识上。上述教学，让学生在观察、比较、想象、推理、归纳等活动中，自主总结出分数除以整数的计算方法，结论Ａ÷Ｂ＝Ａ×1/B（Ｂ≠０）更是对前面直观形象的探究的抽象概括。至此，学生的学习已从研究具体算式上升为推广总结一般普遍的方法，实现了从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的跨越。

四、“数”“形”对应，在反思总结中提升

数学思想方法的感悟与活动经验的积累离不开总结反思的过程，宝贵的学习经验只有经过概括、内化、提升，才能有效成为学生数学学习与生命发展的内在支撑。因此，数学课堂中的归纳总结不仅要关注学生的基础知识、基本技能，还应引导学生积极反思、提炼学习过程中应用的方法，以提升对数学思想的认识，提高运用数学思想方法分析、解决问题的能力。

教学片断４：回顾学习过程，提升对思想方法的认识。

（师结合板书，引领学生回顾“举例→猜想→验证→归纳”的研究过程）

师：这节课，我们主要采用什么方法来研究分数除以整数的计算方法？

生：画图。

师：研究数的问题，可以找图形来帮忙，这种借助直观图形来理解算式含义的方法，是数学上非常重要的研究方法，叫数形结合。这节课，我们不仅发现了分数除以整数的计算方法，还亲身经历了有价值的学习过程，收获了数形结合等宝贵的数学思想方法。

……

整节课，教师大量运用几何直观，在探究算理的过程中，每道题都运用画图的方法来解决，每次计算都结合图形来明确算理，使学生对数形结合思想的认识依托于具体的实例研究。将“数”与“形”一一对应的板书，既可以帮助学生形象理解算理，牢记算法，提升计算能力，又是对本节课数形结合思想方法的直观再现，给学生形成了强烈的视觉记忆。课堂教学中，教师在引导学生总结知识的同时，通过更高层次的反思、抽象、概括，使学生将所学内化为自身的学习方法与经验。

总之，教师要善于挖掘数学知识里蕴藏的数形结合思想，设计有价值的探究活动，调动学生的多种感官，形成对数形结合思想的深刻感悟。久而久之，学生就会主动运用类似的经验积极应对新问题，逐步发展成为学生数学思维的方式，从而真正提高学生的数学素养，促进其长足发展。

（责编　杜　华）