探析数学思想的培养——以极限思想为例

［关键词］极限思想；数学思想；培养

［中图分类号］　G623.5　　［文献标识码］　A　　［文章编号］　1007-9068（201７）17-0079-01

在数学学习中，当学生把贮藏在脑海里的公式、定理、定律、经典例题都忘却，剩下的便是精华——数学思想与直觉经验。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。下面，笔者以极限思想为例，从三个方面分析学生数学思想的培养。

一、以极限思想为“触发点”

小学数学课程涉及集合思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等基本思想。在小学阶段，极限思想的学习离不开无限思想的积累，教师应让学生通过相关数学知识的学习，适度体会“无限”，进而感受“极限”。为此，苏教版小学数学教材每一册都安排了相关内容，以丰富学生的认知。

通过对教材中涉及极限思想的内容的统计与分析，我们可以发现编者的意图——由浅入深、循序渐进。这种教学安排非常适合小学生：学生通过计数发现“自然数的个数是无穷的，不存在最大的数”；通过空间想象，清楚地意识到“直线和射线是无限延长的”；通过对基础数论知识的了解，深入理解“一个分数在值不变的情况下可以变换出无限种不同的形式”……这些知识虽然绕不开无限思想，但小学生基于原有的知识和经验，借助特定的学习情境，能对“无限”形成理性认知。

在教学过程中，教师要牢牢把握每个内容的触发点，帮助学生从无法想象的“无限”过渡到可以研究的“极限”。“圆的面积”就是一个典型的例子。学生将圆分成若干（偶数）等份，剪开后拼一拼，再经过想象和推理，认识到均分圆的份数越多，每份的面积越小，拼成的图形就越接近长方形。教师还借助几何画板软件，动态展示“切分越细，效果越逼真”的函数变化效果图。

二、感触极限思想的“爆发点”

利用极限切分改组后的圆形可以等同于一个长方形，推导出圆的面积公式，是因为例子带有直观性和客观性，学生可以充分利用形象思维理解知识，而遇到一些较抽象的问题时，学生则需在感性思维的基础上进行二次想象。教师可以设计“计算

…+

”这样的习题，引导学生在已有的表象储备上进行创造性想象，自主感悟“和为1”的原因。

极限思想是一个逐渐“加码”的过程，教师可先让学生从“有限”的运算开始想象：

……通过不断加码，最后由“有限”渐至“无限”，计算结果用代数式表示为

。不断往后加码时，m与m-1同时无限增大，它们之间的差值“1”相对于这种变化逐渐可以忽略不计。因此，m与m-1的商就会逐渐趋近于1，直至等于1。教学实践表明，学生的思维从“结果无限接近于1”向“结果就是1”转变的过程是艰难的，部分学生甚至认为“这是绝对不可能的”。这就需要教师找到思维的“爆发点”，帮助学生打破思维障碍。

诚然，学生出现思维障碍，即想不通关键点，是很正常的。这个关键点就是从无限思想到极限思想的认知跨越。为培养学生的数学思想，教材通过数形结合的方法，化抽象为具体，通过线段图帮助学生理解知识。

三、定位极限思想的“落脚点”

学生学习极限思想时之所以感到困难，是因为极限思想具有高度的抽象性。因此，数学教师要在课前研读教材，定位极限的“落脚点”，促使学生对极限思想的认知从模糊转变为清晰，即“刷出”极限的“存在感”。

例如，前面提到学生通过“加码”来理解和消化“结果等于1”，教师趁热打铁，设计了一个现场作业活动：让一位同学分一杯水（即单位“1”），把一杯水倒出一半，再由另一个同学倒出剩下的水的一半，以此类推，直到杯中的水倒完为止。在教学中让学生停下来动一动、想一想，可有效放缓思维速度，促使学生感悟极限思想无疑比单纯讲解题目更有效。

此外，运用风趣生动的讲解艺术也是一种培养学生数学思想的有效策略。课后，教师可以做一个总结：“你不敢想的地方不是极限，你无法操作的地方也不是极限，极限是你无法想象却又近在眼前、触手可及的地方。”