巧用“串题”提高初中几何复习课效率
2022-06-08
[摘 要] 常规的章节复习课往往是对本章知识和方法的简单归纳和整理，这样对学生能力的提高作用不是十分明显，我们尝试在通过引导学生对照课本目录进行知识与方法的梳理过后，通过一定的线索，把已经解决的一些问题进行方法的提炼和提升，给学生以拓展的空间，通过对几何计数问题的解决，再次介绍我们所倡导的“串题”的思想方法供各位同仁探讨.
[关键词] 计数；串题；几何复习课
2011版的《课程标准》明确提出，数学教学要关注“四基”，而“四基”是指：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 而其中的数学“基本思想”是关于数学科学最为根本的要旨，是数学研究的基础，也是数学教学的核心所在.
初中几何复习课不仅要复习知识点，帮助学生形成系统、清晰的知识网络，更重要的是使学生在学习过程中主动理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，引起思维欲望，养成积极、主动、独立的思考习惯，从而有效地促进学生在情感、态度、价值观等方面的全面发展. 而目前我们的几何复习课普遍存在“重知识，轻能力；重模仿，轻思考”的现象，因而严重制约了学生的思维发展，造成学生学习兴趣不足，复习效率低下的严重后果.
爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上的技巧而已.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造力和想象力.”学习不再是“记忆”知识，而是利用已有的知识去提出更多的、更新的问题，并在问题解决中改进原有知识的认知结构.
笔者通过多年的实践尝试，发现巧用“串题”，可以有效地提高初中几何复习课的效率.
“串题”及其理论依据
所谓“串题”，是指将一组题目集中在一起来处理，是笔者在1993年率先提出来的一种变题训练（见文3），而这组题目集中的原则是：①图形结构在本质上有类似的地方或在解决方法上有类似之处；②难度逐渐增大，所需知识或者解决的技巧要求逐渐增多，但解决问题的本质方法是一样的（相当于“一解多题”），而且前面的题目的解决，往往对后面的题目的解决具有启发作用；③尽可能以课本例题、习题为起始题目进行演变.
美国哈佛大学教授加德纳提出的“多元智力理论”（MultipleIntelligences）创建了“以问题为导向的教学策略”，为创新精神与实践能力的培养提供了重要的思路和实施的方法. 应用多元智能理论进行教学，既可以开发学生的多元智能，又可以实现他的个性化发展，不仅可以使教学生动化，而且有利于教学个性化. 而在几何复习课上运用“串题”，可以充分体现以问题为导向的教学策略，学生通过一系列的问题串，层层深入地对问题展开思考，放飞他们的思维，并在思考中不断强化对所学内容的理解，更重要的是在这个过程中，学生的思维能力和创新能力可以得到最大限度的提升.
教学过程与点评
环节1：翻到课本目录第2页，思考：这个单元学了些什么？（略）
环节2：思考：这个单元有哪些重要的思想方法和补充？（略）
环节3：巧用“串题”解决几何计数问题（重点）.
问题1 （1）一直线上有4个点，以这些点为端点的线段有多少条？（此题为前面做过的作业，学生通过数数的方法得到6条，在引导学生回忆的基础上抛出第（2）问）
（2）如图1，一直线上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条？
分析 第（2）问已经没有办法把所有线段写出来再数了，逼着我们必须寻求突破，重新审视第（1）问. 除了写出来一条一条地数以外，还有没有其他办法？于是得到本题一般性解法：每条线段有两个端点，解决的突破口就在这里. 因为每个点可以和另外的一个点组成一条线段，这样，每个点都可以和另外n-1个点中的每一个组成一条线段，但对于一条线段来说，可以分别从两个端点来计算，故结果要除去重复计算的，应该是n（n-1）.与此类似，平面上有n个点，以这些点为端点的线段也是有n（n-1）条.
问题2 如图2，平面上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条？
问题3 如图3，这里一共有多少个角（这里的角是指小于或等于∠AOA的角）？
分析 其实，问题1与问题2、问题3实际上是同一个问题，答案都是n（n-1），只是“化直为曲”而已. 学生在理解透问题1的基础上，问题2和问题3就不难理解了.
问题4 如图4，n边形的对角线有多少条？
分析 问题4与前面三个问题都是同类型问题，思想方法一样，只是稍稍变换了一下背景，因为任何一点不能与它本身以及相邻两点构成对角线，所以本题的答案变成n（n-3）. 如果学生能看出本题与前面的思想方法一致的话，那么本题同样也不难解决.
事实上，上述几个问题同属一个数学模型：一般地，如果有n个元素（我们所研究的对象），每两个元素之间构成一次联系，那么共有多少次联系？在我们的学习和生活中还有很多数学问题和实际问题都属于这一数学模型：如“在同一平面内，n条直线相交，最多有多少个交点”“多人之间的两两握手（或互通电话）问题”“球类比赛中单循环赛场次问题”，等等，都属于这个数学模型. 在初一几何教学的时候，我们可以适当地开始渗透给学生这种“建模”的思想，然后随着学习的深入，再逐步强化和拓展、延伸.
问题5 平面上有n个点，可以确定多少条直线？（课后思考作业）
分析 该问题其实是没有答案的，但如果没有非常认真进行审题的话，这道题就很容易变成有固定答案的题目，思想方法与前面一致，学生很自然而然通过类比得出n（n-1）这个结论，包括教师本身也容易做错. 如果原题目是问“平面上n个点，最多可以确定多少条直线？”那么答案就是n（n-1）；但假若没有这个限制条件的话，则就要分类，而这道题的分类是无穷无尽的. 出这道题的目的旨在让学生学会用心审题并要养成缜密的思维习惯，不要理所当然. 在学习了平行线部分的三线八角后，我们还可以再次在复习前面的内容的基础上抛出以下问题让学生解决（既达到复习巩固的目的，又可以让学生体会这种解决问题的方式的奇特效应）：
问题6 我们知道，两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角，请问：在平面上n条直线两两相交，无三线共点，可以形成多少对同位角？
分析 这题看似很难做，部分同学想归纳出来，发现n=3时是12，n=4时是48，没有办法数，更不好找规律. 其实，如果我们注意同位角的定义所指：“两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角”，我们只要能够把这些直线这样分开，分成一个个的“两条直线被第三条直线所截”这样的三线小组，问题就迎刃而解了：每条直线与另外的n-1条直线中的任意一条都可以形成一个两条直线组合，剩下的（n-2）条中的每一条都可以来截这个两条直线的组合. 而这样的两条直线组合有n（n-1）个，总的就有这样的三线组合n（n-1）（n-2）个，同位角就有4×n（n-1）·（n-2）=2n（n-1）（n-2）个. 用这种思考方式，我们很容易得到，n条直线交于一点共有n（n-1）对对顶角.
给初一学生讲解有关几何计数问题往往令许多教师为难，觉得不好讲，学生也不好接受. 著名数学家、首届国家级数学名师李尚志先生在他的《数学的神韵》中所说：“人们确实认为数学是烦琐的、复杂的. 数学当然有算法，算法也许是烦琐的，具体过程更是烦琐. 但是，指挥这些算法的想法一定是简单的，这才是最有威力的.”
上面罗列的6个问题，其实思想方法都是相同或类似的，学生只要掌握了问题1的思想方法，接下来那些虽然看上去难度很大，或许很多初三的学生都完成不了的问题，也不见得有多么深不可测、高不可攀了. 因此，数学的几何复习课，一定要彻底讲清楚思想方法，然后再通过“串题”把相关的内容连接起来，组成一系列的问题串，一来可以进一步熟悉本单元需要学生掌握的数学知识和思想方法；二来也加强了本单元与其他知识的联结，让学生的知识网络更广泛、更清晰；三来，以往的复习课容易让学生觉得沉闷缺乏新意，但现在的“串题”却能让学生兴趣盎然，整节课的思维都能保持在高度活跃的状态之下. 因此，在几何复习课上，巧用“串题”的确能有效提高课堂效率.
总之，本堂课打破了“以讲为主”的束缚，真正地做到“把课堂还给学生”，确立了学生在课堂教学活动中的主体地位，通过学生自己独立的思考，阐述自己的思想和观点，发现问题、提出问题并解决问题，使学生形成了良好的思维品质，提高了思维水平，发展了思维能力.通过“串题”串出的一系列问题串，培养学生良好的思考习惯和初步的辩证唯物主义观点，更好地理解、欣赏数学的美学价值，培养了学生的创新精神和独立解决问题的能力.
[关键词] 计数；串题；几何复习课
2011版的《课程标准》明确提出，数学教学要关注“四基”，而“四基”是指：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 而其中的数学“基本思想”是关于数学科学最为根本的要旨，是数学研究的基础，也是数学教学的核心所在.
初中几何复习课不仅要复习知识点，帮助学生形成系统、清晰的知识网络，更重要的是使学生在学习过程中主动理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，引起思维欲望，养成积极、主动、独立的思考习惯，从而有效地促进学生在情感、态度、价值观等方面的全面发展. 而目前我们的几何复习课普遍存在“重知识，轻能力；重模仿，轻思考”的现象，因而严重制约了学生的思维发展，造成学生学习兴趣不足，复习效率低下的严重后果.
爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上的技巧而已.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造力和想象力.”学习不再是“记忆”知识，而是利用已有的知识去提出更多的、更新的问题，并在问题解决中改进原有知识的认知结构.
笔者通过多年的实践尝试，发现巧用“串题”，可以有效地提高初中几何复习课的效率.
“串题”及其理论依据
所谓“串题”，是指将一组题目集中在一起来处理，是笔者在1993年率先提出来的一种变题训练（见文3），而这组题目集中的原则是：①图形结构在本质上有类似的地方或在解决方法上有类似之处；②难度逐渐增大，所需知识或者解决的技巧要求逐渐增多，但解决问题的本质方法是一样的（相当于“一解多题”），而且前面的题目的解决，往往对后面的题目的解决具有启发作用；③尽可能以课本例题、习题为起始题目进行演变.
美国哈佛大学教授加德纳提出的“多元智力理论”（MultipleIntelligences）创建了“以问题为导向的教学策略”，为创新精神与实践能力的培养提供了重要的思路和实施的方法. 应用多元智能理论进行教学，既可以开发学生的多元智能，又可以实现他的个性化发展，不仅可以使教学生动化，而且有利于教学个性化. 而在几何复习课上运用“串题”，可以充分体现以问题为导向的教学策略，学生通过一系列的问题串，层层深入地对问题展开思考，放飞他们的思维，并在思考中不断强化对所学内容的理解，更重要的是在这个过程中，学生的思维能力和创新能力可以得到最大限度的提升.
教学过程与点评
环节1：翻到课本目录第2页，思考：这个单元学了些什么？（略）
环节2：思考：这个单元有哪些重要的思想方法和补充？（略）
环节3：巧用“串题”解决几何计数问题（重点）.
问题1 （1）一直线上有4个点，以这些点为端点的线段有多少条？（此题为前面做过的作业，学生通过数数的方法得到6条，在引导学生回忆的基础上抛出第（2）问）
（2）如图1，一直线上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条？
分析 第（2）问已经没有办法把所有线段写出来再数了，逼着我们必须寻求突破，重新审视第（1）问. 除了写出来一条一条地数以外，还有没有其他办法？于是得到本题一般性解法：每条线段有两个端点，解决的突破口就在这里. 因为每个点可以和另外的一个点组成一条线段，这样，每个点都可以和另外n-1个点中的每一个组成一条线段，但对于一条线段来说，可以分别从两个端点来计算，故结果要除去重复计算的，应该是n（n-1）.与此类似，平面上有n个点，以这些点为端点的线段也是有n（n-1）条.
问题2 如图2，平面上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条？
问题3 如图3，这里一共有多少个角（这里的角是指小于或等于∠AOA的角）？
分析 其实，问题1与问题2、问题3实际上是同一个问题，答案都是n（n-1），只是“化直为曲”而已. 学生在理解透问题1的基础上，问题2和问题3就不难理解了.
问题4 如图4，n边形的对角线有多少条？
分析 问题4与前面三个问题都是同类型问题，思想方法一样，只是稍稍变换了一下背景，因为任何一点不能与它本身以及相邻两点构成对角线，所以本题的答案变成n（n-3）. 如果学生能看出本题与前面的思想方法一致的话，那么本题同样也不难解决.
事实上，上述几个问题同属一个数学模型：一般地，如果有n个元素（我们所研究的对象），每两个元素之间构成一次联系，那么共有多少次联系？在我们的学习和生活中还有很多数学问题和实际问题都属于这一数学模型：如“在同一平面内，n条直线相交，最多有多少个交点”“多人之间的两两握手（或互通电话）问题”“球类比赛中单循环赛场次问题”，等等，都属于这个数学模型. 在初一几何教学的时候，我们可以适当地开始渗透给学生这种“建模”的思想，然后随着学习的深入，再逐步强化和拓展、延伸.
问题5 平面上有n个点，可以确定多少条直线？（课后思考作业）
分析 该问题其实是没有答案的，但如果没有非常认真进行审题的话，这道题就很容易变成有固定答案的题目，思想方法与前面一致，学生很自然而然通过类比得出n（n-1）这个结论，包括教师本身也容易做错. 如果原题目是问“平面上n个点，最多可以确定多少条直线？”那么答案就是n（n-1）；但假若没有这个限制条件的话，则就要分类，而这道题的分类是无穷无尽的. 出这道题的目的旨在让学生学会用心审题并要养成缜密的思维习惯，不要理所当然. 在学习了平行线部分的三线八角后，我们还可以再次在复习前面的内容的基础上抛出以下问题让学生解决（既达到复习巩固的目的，又可以让学生体会这种解决问题的方式的奇特效应）：
问题6 我们知道，两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角，请问：在平面上n条直线两两相交，无三线共点，可以形成多少对同位角？
分析 这题看似很难做，部分同学想归纳出来，发现n=3时是12，n=4时是48，没有办法数，更不好找规律. 其实，如果我们注意同位角的定义所指：“两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角”，我们只要能够把这些直线这样分开，分成一个个的“两条直线被第三条直线所截”这样的三线小组，问题就迎刃而解了：每条直线与另外的n-1条直线中的任意一条都可以形成一个两条直线组合，剩下的（n-2）条中的每一条都可以来截这个两条直线的组合. 而这样的两条直线组合有n（n-1）个，总的就有这样的三线组合n（n-1）（n-2）个，同位角就有4×n（n-1）·（n-2）=2n（n-1）（n-2）个. 用这种思考方式，我们很容易得到，n条直线交于一点共有n（n-1）对对顶角.
给初一学生讲解有关几何计数问题往往令许多教师为难，觉得不好讲，学生也不好接受. 著名数学家、首届国家级数学名师李尚志先生在他的《数学的神韵》中所说：“人们确实认为数学是烦琐的、复杂的. 数学当然有算法，算法也许是烦琐的，具体过程更是烦琐. 但是，指挥这些算法的想法一定是简单的，这才是最有威力的.”
上面罗列的6个问题，其实思想方法都是相同或类似的，学生只要掌握了问题1的思想方法，接下来那些虽然看上去难度很大，或许很多初三的学生都完成不了的问题，也不见得有多么深不可测、高不可攀了. 因此，数学的几何复习课，一定要彻底讲清楚思想方法，然后再通过“串题”把相关的内容连接起来，组成一系列的问题串，一来可以进一步熟悉本单元需要学生掌握的数学知识和思想方法；二来也加强了本单元与其他知识的联结，让学生的知识网络更广泛、更清晰；三来，以往的复习课容易让学生觉得沉闷缺乏新意，但现在的“串题”却能让学生兴趣盎然，整节课的思维都能保持在高度活跃的状态之下. 因此，在几何复习课上，巧用“串题”的确能有效提高课堂效率.
总之，本堂课打破了“以讲为主”的束缚，真正地做到“把课堂还给学生”，确立了学生在课堂教学活动中的主体地位，通过学生自己独立的思考，阐述自己的思想和观点，发现问题、提出问题并解决问题，使学生形成了良好的思维品质，提高了思维水平，发展了思维能力.通过“串题”串出的一系列问题串，培养学生良好的思考习惯和初步的辩证唯物主义观点，更好地理解、欣赏数学的美学价值，培养了学生的创新精神和独立解决问题的能力.