转化思想在初中数学解题中的应用

王克安

(贵州省顶效经济开发区中学562400）

布卢姆在《教育目标分类学》明确指出,数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。如果学生在掌握双基的同时,接受了数学思想,学会了数学方法,就能激发学习数学兴趣,提高分析问题和解决问题的能力,并为以后的数学学习打下坚实的基础。

一、运用数与形之间的“转化”,化抽象为直观

数学解题的本质就是转化,即把生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题,把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,把高次问题转化为低次问题,把未知条件转化为已知条件,把一个综合问题转化为几个基本问题。因此学生学会的数学转化,既包含了数学特有的数、式、形的相互转换,又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题,然后分析问题,最终解决问题。下面我结合自己多年的教学实践,谈谈在初中数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。

例:已知一次函数y=x+m(m为常数)的图像与反比例函数y=(k≠0)的图像相交于点A(1,3)。

初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。《初中数学新课程标准》(以下简称《新课标》)在学习内容中要求:“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考。”如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题,可以通过图形将复杂或抽象的数量关系直观形象地翻译出来,探索出一条合理而乘势的解题途径,从而达到解决学生心中存在的困惑,培养学生的数学解题能力目的。

(1)求这两个函数的解析式及其图像的另一个交B的坐标。

(2)观察图像,写出使函数值y>y的自变量的取值范围。

二、把综合问题“转化”为基础问题,变复杂为简单

数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程,对于较难(繁)的问题,可以通过分析将问题转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题,再根据这几个小问题之间的相互联系,以局部知识的掌握为整体服务,从而找到解题的捷径。

例:正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG。

(1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)P是MG的中点,请直接写出点P的运动路线的长。

分析:本题通过以下几步转化:(1)把动点E转化为定点,一般学生见到动点就无从下手,找不到解题思路。只有将动点转化为定点,学生解题才能找到感觉,如何将动点转化为定点,就是我们常讲的“动中取静”。当点E在线段AB上运动,只可能存在三种情况:①点E与点A重合;②点E与点B重合;③点E在线段AB上,通过观察分析不管点E在什么位置,△EGF的面积y=EF×MG。(2)把线段EF转化用含x的代数式来表示;由M为AD中点,易证Rt△EAM≌Rt△FDM,得到EM=FM,在Rt△EAM中,由勾股定理得EM=,即EF=2。(3)把线段MG转化用含x的代数式来表示;作MN⊥BC,构造Rt△MNG∽Rt△EAM,由相似三角形对应边成比例,得到MG=2。综合上述三次转化即得到△EGF的面积为=×2×2=2x+2。

由第一步的“动中取静”的转化可知:点E由点A移动到B,所以自变量x的取值范围为0≤x≤2;只要在图中简单的画出点E分别在于A、B两点重合时,线段MG的中点P的位置,很容易得到线段MG的中点P运动的路线长为2。

分析:

①本题要求函数解析式,只要把点A(1,3)代入函数关系式(点转化为数),即解得m=2,k=3。

②要求两图像的另一交点B的坐标,只要解两个函数联立成的方程组,解得的另一组解(数转化为点),即得点B(-3,-1),此解题过程就是将数转化为形的过程(使学生直接感受到抽象的方程组解,就是在平面直角坐标系中两个图像的交点的坐标)。

③要写出函数值y>y的自变量的取值范围(若转化为解分式不等式,则超出初中数学知识范围),本题可通过把形转化为数来解决,即通过观察图像可知:所谓函数值y>y,即在平面直角坐标系中就是直线在双曲线上方部分,此时自变量x的取值范围为:-31。

三、把实际问题“转化”为数学模型,体会数学与现实生活的密切联系。

《新课标》在基本理念中指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明,数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”重视数学知识的应用,加强数学与实际的联系,是《新课标》强调的重点之一。在解决实际问题时,教师要重在分析,把实际问题转化为数学模型,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

例:某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=-10x+500。

(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?

(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)

分析:

(1)要解决“销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?”,也就是把实际问题转化二次函数的极值问题:即每月利润=每件产品利润×销售产品件数,得:w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500),通过整理转化为二次函数w=-10x+700x-10000,再由x=-,解得x=35,即当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润。

(2)要解决“每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元”,即转化为列一元二次方程解应用题问题,由题意得:(x-20)·(-10x+500)=2000,解这个方程得:x=30,x=40。所以要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元。

(3)要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题,则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w=-10x+700x-10000,a=-10<0,抛物线开口向下,∴当30≤x≤40时,w≥2000;又∵销售单价不得高于32元,∴当30≤x≤32时,w≥2000;设成本为P(元),由题意得:P=20(-10x+500)=-200x+10000,由一次函数性质k=-200<0时,P随x的增大而减小,∵30≤x≤32,∴x=32时,P=3600,要实现销售单价不得高于32元,每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元。

综上所述,转化思想贯穿在数学解题的始终,而转化思想具有灵活性和多样性的特点,没有统一的模式可遵循,需要依据问题提供的信息,利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法,所以学习和熟悉转化的思想,有意识地运用数学变换方法,去灵活地解决有关数学问题,将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。