教学应该要从知识的本质上解惑

文/陈光耀

【摘 要】排列组合是生活中常会用到的数学知识，也是高中数学的重要内容之一。排列组合的相关知识在基础教育阶段就陆陆续续地接触过一些，因为它对于提高学生们的思维能力，帮助学生们形成严密的思维习惯有着非常大的作用。排列组合无论是从思考方法上还是解题方法上，都显得比较特殊，它不但抽象、还比较灵活，同时又有很强的概念性。在解题过程中，如果思维不够严密，那么就容易犯“重”或“漏”的错误，要做到不重不漏，不但要掌握好该知识点，还要拥有严密的思维方式。

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关键词 高中数学；排列组合；解题思维

从这些年的高考试题中不难发现，有关排列组合方面的知识在理科试题中几乎是每年必考的部分，特别是与概率或概率分布相结合考查。解决这类问题，首先还是要加强对概念的理解，掌握知识之间的区别和联系，用正确的思维方法去分析问题，全面地考虑各种情况。在备考复习时，教师都会系统地对一些常考的知识点或题型进行专门的复习，比如说常见的相邻和不相邻，分配和不能排或必须排的问题。但从平常的测试和一些课后练习中，发现很多学生对这部分知识的掌握总感觉有困难，对知识点的理解和应用方面还存在比较大的困惑。出现这种问题的主要原因就是学生对该知识并没有获得本质上的理解，所以，帮助学生从本质上掌握知识是教学的重点，下面我将谈一些心得和体会。

一、教学过程设计概要

在教学中，注重知识的本质教学是提高学生综合能力的最根本方法。如果学生没有深入学习知识，只是掌握了一点简单形象化的知识，是很难应对各种灵活多变的问题形式的。因此，我在教学中主要是通过这样的方式进行教学的。如先通过一些生活中的实例来引起学生的注意，从整体上感知并理解排列及组合的概念。再进一步学会利用计数原理推导排列数公式和组合数公式。不是记住公式就是掌握了知识，要深刻理解并能运用到解决实际问题当中，才算是掌握了某个知识点。在学习了相关的概念和公式后，就可以尝试解决一些简单的实际问题。最后进行总结，总结所学的知识，总结推导的方法，总结思维的方向，总结解题的方法。在课堂上所讲的内容，都要再简略地进行总结。

在解决实际问题的时候，教师还可以引导学生归纳出一些常用的解题方法，比如说要先合理地进行分类，再进行分步，在解决含有约束条件的排列组合问题时，可以按元素的性质进行分类，再按事件的实际发展过程进行适当的分步，这样就容易做到“不重不漏”，克服了不重不漏，其他的问题都可以说是小问题了。又比如说在题目中出现了一些比较特殊的元素，那么这类元素就要先安排好，再处理其他的方面。教师在教学过程中要注重方法的传授，正确的思维方法能有效地降低出错率，要让学生从形式上理解方法该如何使用，从本质上理解为什么使用该种方法。

二、学生常见困惑的原因分析

在学生常见的一些错误和困惑当中，尤其又是以“重复”计数更为严重。对于这些问题，能仅仅是把原因归结为粗心吗？很多学生在面对自己的错误和困惑时，都不能找到真正的原因，只是简单地归结为自己太过粗心，这样并不能让学生找出真正的原因，导致了一个很严重的后果就是学生还会继续犯相同的错误，学生心里的困惑还是没用得到解决。从教学实践中以及学生的一些作业和测试的反馈中可知，学生出现“重复”的这种错误主要还是因为对计数的分步不合理，由于对知识方面还存在困惑，知识掌握还不够扎实，自然就很难用合理的分步去把整个事件搞清楚。

比如，5个不同的小球分到3个不同盒子，每个盒子至少一个，那么一共有多少种分法。在这道题中，很多学生是这样分步的：先在每个盒子中放入一个球，共有60种方法，再把剩下的两个球放到3个盒子中，共有9中方法，所以总共就是有540种方法。这种重复计数的方式非常普遍，也是教学中一个容易忽视的盲点，要解决这个问题，并不是多讲两道例题就可以的，而是要从本质上去理解知识。在这里，学生只是关心完成这件事情的相关的可行办法，而没有注意到这两步之间是否存在影响，还是相互独立的？其实，前面选出来的小球和后面选出来的小球组合在一起就形成了有意义的顺序，如果不分析和理解好这个顺序，那么出错就成了必然的了。

三、反思及方法

教学就是一个思维的碰撞和形成的过程，不同的学生会有不同的思维和角度，得出来的结论也不是完全一样的，对于各种不同的思维和看法，教师一定要重视，并提倡学生多交流合作。对于学生存在的一些困惑，可能教师也只是督促学生努力学习，尽快解决问题。其实出现这样的情况，教师首先是要及时地进行反思，对学生的错误和困惑进行反思，从各方面综合起来分析原因，帮助学生从困惑中走出来。比如教师在教学中可以回归到排列组合原理的本质，分布计数的原理就是把每一步的方法数相乘，如果问题比较复杂，也可以采用穷举法，虽然看起来有些机械和死板，但很多时候它却是解决排列组合问题中最有效的方法。

总的来说，对高中数学的教学不能停留在一些表面的理解和运用上，否则一旦遇到形式比较灵活的题目，就不能自如地运用相关知识进行解答了。所以，我认为在复习这部分知识的时候，还是要抓住知识的本质和原理，让学生获得对知识的本质理解，学会举一反三，消除学习中遇到的困惑。

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参考文献

[1]闫旭.数学教学中重视培养学生的数学素养.试题与研究：教学论坛,2013年10期

[2]徐文强，李秀青.浅谈如何让学生学好高中数学.试题与研究：教学论坛,2013年10期

[3]刘银清.浅谈高中数学教学心得和策略.教育界：基础教育研究,2013年7期

（作者单位：广东省台山市李谭更开纪念中学）