巧妙设元，构建函数求解最值问题

文/张玉婷

最值问题是各级各类考试的热点问题，对于最值问题的求解方法与技巧也有许多种，然而其中最为重要也是最为本质的一种方法无疑是利用函数知识求解最值问题。而利用函数知识求解最值问题的关键又在于构造出一个基本初等函数，再利用该函数的相应的性质求解问题。本文主要探讨如何通过换元的数学思想与方法，将一个求解最值的问题，转化一个关于函数的值域或最值问题，从而使问题得到有效解决。

一、整体换元，简化函数特征

上恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______。

分析：本题是一个分式方程的问题，粗略看来其形式比较复杂，如果通过化简整理，将是一个关于x的高次（分式）方程，想要确定方程有两个零点的a的取值范围，难度可想而知。然而我们仔细观察方程的结构特征后，不难发现x+可以看作一个整体，将x+整体设为新的变量t，进一步可以构造一个关于t的函数，再利用相应函数知识求解问题。

二、巧妙设元，构造函数模型

例2已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8则2a8+a7的最小值为_______.（2014苏州高三暑假测试）

分析：一个等比数列中，已知2a4+a3-2a2-a1=8其实质是给出了首项a1与公比q的一个关系式，要求解的2a8+a7是一个关于a1与q的表达式，如果我们将其中一个量看作变量（设元），显然问题就可以转化为关于这个变量的函数问题，从而构建为一个函数模型的试题，使问题得到解决。

解：设等比数列{an}的公比为q，

由2a4+a3-2a2-a1=8得(2a2+a1)q2-(2a2+a1)=8,

故2a8+a7的最小值为54。

三、化归设元，转化为函数问题

例3已知x,y为正数，则的最大值为_______。（2013镇江市高三上学期期末）

分析：对于两个分式的和的最值问题，一般都会思考利用基本不等式知识求解，然而用基本不等式求解的条件是已知和（或积）为定值，本题显然不具备使用基本不等式的条件。考虑到本题求解的两个分式中，分子分母都是一次式，且x,y都是正数，因式可以分子分母同除x（或y），从而将问题转化为关于的一个函数问题，进一步使问题得到解决。

令f′(t)=0，得到，(2+t)2=(1+2t)2,∵t>0,∴t=1。

∴t∈(0,1)时，f′(t)>0,f(t)递增；t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)递减；

注意到本题中x、y的齐次特征，解题时还可以考虑整体换元求解，其解答过程为：

通过换元构建函数求解最值问题的关键是巧妙设元，而在换元时，应该充分关注所求解的表达式的结构特征，尽量考虑整体换元的方法，同时还要充分注意新元的取值范围，再利用相应函数的知识求解。

（作者单位：江苏启东市汇龙中学）