对包伊娜老师说题“巧用构造，成就精彩”的一点再联想

文/杨 慧

【摘 要】关于数学的“巧用构造，成就精彩”说题让我眼前一亮并大开了眼界，包老师主要从解题比赛中的十一题入手进行了主题式说题，对某些题讲述了构造图形的解法，并由此题联想到了此方法在一些中考题解题中的应用，最后就“巧用构造，成就精彩”主题进行了知识的拓展延伸，并体现了用构图解决几何问题的普遍规律与方法。

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关键词 说题；主题；构图；成就；联想

由包老师的说题主题使我联想到了巧用构图在代数解题中的一些精彩的成就，下面就以下三题，再次体现构图法在代数题中的一些巧妙应用。

例1.已知a，b，c，d都是正数，并且ac-bd=0，a2+b2=1,c2+d2=1

求证：a=d，b=c

证明：作Rt△ABC，和Rt△A′B′C′

使AB=A′B′=1,AC=a,BC=b，A′C′=d,B′C′=c.

(如图1)

由ac-bd=0，得：a/d=b/c，又∠C=∠C′=90°

所以Rt△ABC～Rt△A′B′C′，又AB=A′B′=1

所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

即a=d，b=c

例2.设a，b，c都是正实数，求证：

证明：当a=b时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设a>b这时要证的不等式转化为

作△ABC(如图2)，CA=CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得

CD=a, ED=b, AD=DB=c

由勾股定理得：

证明：不妨取线段AC=a，在AC上取一点B，使AB=d，

则ad=bc，以BC为直径作⊙O，如图3

设b≥c，作割线(或切线)，使AD=b，交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足。

因为AB·AC=AE·AD

即ad=b·AE

因为ad=bc，所以AE=c，又因为

在Rt△AOF中，AO>AF，所以即有a+d>b+c

看来不仅在几何上，而且在代数上如果能抓住问题的本质，巧妙利用构图，可以将复杂问题简单化，能使解题思路明朗化，自然成就了数学的精彩。

（作者单位：宁波七中）