融合，让合和数学课堂向更深处漫溯

文/杨 琴

“合和数学课堂”中的“合” 指融合、合作、结合，“和”指“平和、和顺、和谐”，怎样建立合和数学课堂？笔者以为，“合和数学课堂”首先要体现教师对教材体系的融会贯通和对学生认知能力的了如指掌，只有这样，课堂才会真正其乐融融，课堂才会向儿童发展的更深处漫溯，下面以课例加以说明。

《奇妙的图形密铺》是一节数学实践活动课，课前笔者在电脑课件上大做文章，学生猜想验证并欣赏电脑刷屏带来的视觉冲击，课堂气氛看似热烈，但问题出现：1.始终有孩子认为正五边形能密铺。2.为了追求图形奇妙，孩子们设计的不是密铺的图案。学生出现的问题折射出教者对实践活动课的片面理解，其次，也显示出教者对教材理解的肤浅。于是笔者重新研究学生，走进教材，自问并思考了以下几个问题：

一、是“奇妙的图形”密铺还是“图形密铺”是奇妙的？

课题理解，是教者定位教学目标，设计教学预案，开展教学过程的关键。第一次教学中教者极力展示生活中的密铺现象，利用多媒体让学生欣赏著名设计家埃舍尔用“奇妙的图形”密铺的图案，学生惊叹的是风景，却没有领悟“图形密铺”的实质。教者重新定位课题，制定教学目标，让学生在猜想、验证的基础上先了解能密铺的平面图形的特点，以此设计简单图形的密铺图案，在此基础上通过欣赏神奇的密铺世界，激发学生去追求设计更奇妙的密铺图案。

二、密铺概念的内涵是什么？

第一次教学，有学生提出“一块玻璃打碎后粘合起来就是密铺”，“密铺就是密密麻麻地铺着”，还有学生认为正五边形也能密铺，因为铺成一排时没有空隙，也不重叠。由于教师对密铺的理解仅仅停留于“无空隙，不重叠”，所以对学生的疑问仅通过“将五边形铺了之后发现有空隙”这一现象进行了反驳，学生并没有看到概念的本质，甚至以为一种图形这样铺不是密铺，换成那样铺就可能是密铺。到底什么是密铺？百度上说：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做镶嵌。原来“铺成一片”意味着一种或几种平面图形进行拼接，可以继续无空隙不重叠地向四面八方铺下去。

三、学生认知提升障碍的突破点在哪里？

当学生对能不能密铺只能用直觉判断时，教者必须帮助学生突破认知上的障碍，“铺成一片”可以通过电脑动画的设计，向左向右向四面八方铺下去，学生通过观察、思考、想像出密铺现象的可延展性。第一次教学后，教者翻阅各个教材版本，融会贯通之后，终于找到了学生研究的瓶颈，为什么有人认为正五边形能密铺，是因为第一次教学时教者呈现的是长方形和正方形地砖实物图，学生缺乏由实物抽象到图形这样一个重要的思维过程。只有将正方形和长方形密铺后的图形动态呈现给学生看，他们才能领悟到能密铺的这些常见的平面图形它们铺成后能形成一个周角。

【再实践】

带着这些追问和积淀，笔者重新打磨课堂：

一、理解密铺概念

师：从字面上你怎样理解“密铺”？

师：根据理解判断，下面这四幅画面哪些是密铺？哪些不是？密铺的这两幅图，它们分别是由哪种图形铺成的？是怎样铺在一起的？

师：向四周铺下去会有空隙、会重叠吗？还能这样向四面八方铺下去吗？

　……

二、探究平面图形能不能密铺

（学生验证活动过程略）

师：哪些图形能密铺？哪些不能？

生1：平行四边形、等腰梯形和正三角形是可以密铺的，而圆和正五边形不能密铺。

生2：我铺了一排没有空隙，所以正五边形是可以密铺的。

生3：你铺一排看不出来，再铺一排看看，发现这里有空隙了吧，所以正五边形不能密铺。

生4：我们组将正五边形拼成了一个像环形的图形，我想把中间的空隙铺满，但是不行，所以正五边形不能密铺。

生5：其实正五边形不需要铺那么多，我就用了三个，发现铺成之后有个缺口，我就知道正五边形不能密铺。

生6：其他的图形也不需要铺很多，只要铺好后没有缺口，这个图形就能密铺。

师：通过小组合作验证我们知道：圆和正五边形不能单独密铺，其他四个图形不管向哪个方向铺都能单独密铺。对这些研究的图形你们有问题要问吗？

生1：为什么有的图形能密铺？有的图形不能密铺？

生2：可能和图形的什么有关呢？

生3：和边有关，也可能和角有关。

师：我们就来观察角的情况，（电脑动画）你发现了什么？

师：刚才我们研究的梯形和三角形都比较特殊，那么任意三角形能密铺吗？任意梯形呢？

生1：用2个完全一样的三角形就能拼出平行四边形，平行四边形能密铺，所以任意三角形也能密铺。生2：任意梯形也可以转化为平行四边形，所以也能密铺。

小结：一种图形，只要能转化成已经确认能密铺的基本图形（如长方形、正方形、平行四边形等等），那么，这种图形就能密铺。

三、探索两种平面图形组合密铺的环节

（活动过程略）

师：刚才验证的是七巧板中两种图形组合能密铺，试想一下，如果是3种4种或更多种图形组合起来能不能密铺？不能单独密铺的正五边形与哪种图形组合就能密铺呢？再来看圆，是与什么图形组合密铺的？

师：还能继续密铺下去吗？想象一下，可以铺多大？

四、走进密铺世界的环节

师：密铺图案美吗？下面让我们在优美的音乐声中走进奇妙的密铺世界。

……

【再实践后的思考】

再实践的过程是教者走进教材后，走向学生的过程。教师、教材、学生的融合促进了学生的发展，为课堂注入生命的活力，具体表现在：

一、学生的简单操作发展为学生的数学经验。

在这节课中，教者设计了探索一种平面图形能否密铺的活动、两种平面图形组合密铺的活动、自主设计密铺图案等活动。在第一次的教学中，学生在教者的指令下操作，没有目的和思考，更谈不上生成。再实践的课堂中，学生先猜想后验证，经过自主探究后，他们向同伴表达探究的结果，在表达中碰撞思维，又发现新问题，为了解决新问题，又产生新思考。杜威曾说：教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”“一盎司经验胜过一吨理论”。学生的数学经验是他们一辈子的财富。

二、学生简单的思考发展为学生的数学思维。

密铺现象生活中很常见，能单独密铺的平面图形它们有怎样的共性？这些数学问题在孩子心中很模糊，再实践的课堂中，当实物密铺抽象为图形的密铺后，学生开始从数学的角度思考问题，回答开始涉及图形的边和角，甚至有孩子能说出“边紧靠着边”“角紧靠着角”。在观察任意三角形和任意梯形能否密铺时，学生想到了用“转化”的方法来思考。郑毓信教授说：只有通过深入揭示隐藏在具体数学知识内容背后的思维方法，向学生展示的才是“活生生”的数学研究。对问题进行数学地思考，是学生解决数学问题的先决条件，是学生全面的、终身的、可持续发展的重要技能。通过数学活动，引发数学思考，发展数学思维，“最终帮助孩子学会思维”，这是我们数学教师不可推卸的社会责任。

三、教材简单的数学知识发展为学生的数学文化。

数学是人类的一种文化，简单的密铺知识中蕴含着奇妙的数学文化，著名艺术家埃舍尔从建筑中得到灵感与启发，创造了各种并不局限于几何图形的密铺图案，这些艺术作品，结合了数学与艺术，给后世留下深刻印象，欣赏这些图案不仅能让学生再次触摸密铺内涵，更能打动他们的心灵，激发他们的创造能力。我们在课堂中要有意识地让学生在学习数学的过程中受到数学文化感染，产生文化共鸣，让学生发现数学美，欣赏数学美，进而激发学生的学习兴趣，提高学生的审美能力，形成一定的数学文化素养。

“合和数学课堂”中，教师深入理解教材，把相应教学内容放到数学知识的结构链中，把握这一知识点在知识链中所处的位置，对教学内容、教学目标做出准确定位，这才是教师与教材的真正融合；教师走进儿童的内心世界，理解儿童的数学思维，认识到儿童在已知和新知间“自洽的”、“合理的”的错误，从而有的放矢地帮助学生，这才是教师与学生的真正融合。教师、教材、学生融为一体，课堂才会真正走向和谐，走向发展。

（作者单位：江苏省如皋市如城实验小学）