先学后教——二轮复习数学前置性作业设计初探

◇浙江省杭州市萧山区第三高级中学 潘绚斌

摘要：高三数学二轮复习是查漏补缺、巩固双基的过程，是锻炼学生分析问题、解决问题的关键时期，更是学生学科思想的重要形成阶段，设计并布置好前置性作业是学生主动学习、自主学习的有效载体。文章探讨了前置性作业设计的三个维度“梯度、广度、高度”及三种功能“矫正、调整、探究”。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 ：前置性作业；设计

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）12-0005-04

一、问题的提出

“先学后教”是学生先学习，确定教学的起点，先学的内容叫“前置性学习”。二轮复习是学生查漏补缺、巩固双基的过程，是锻炼学生分析问题、解决问题的关键时期。有效的二轮复习能提高学生的数学素养，实现作业由后置到前置、学生从被动学习到主动学习。研究表明，缺少前置性作业会产生以下几个问题：首先，学生不清楚知识、方法掌握情况；其次，教师不了解学情，不知道学生缺什么；最后，课堂缺乏针对性，易导致教学低效。

为何要布置前置性作业？首先，让每个学生都带着问题进入课堂，进行有思考的讨论；其次，给予学生自主学习的空间；最后，在完成前置性作业的过程中，学生会有所发现，能体验到学习的快乐。

前置性作业的定义，指教师向学生讲授教学内容之前，让学生根据自己的知识水平和生活经验进行尝试性学习，将要学习的内容以浅显纲要、要点的形式布置下来，它引导学生怎样“先学”，怎样进行知识融合。前置性作业是一项学习活动，是一个积极主动的建构过程，所以前置性作业必须对学生的“预习”、“先学”起导向作用。

二、前置性作业设计的策略

前置性作业设计要以学生需要为本，以学生发展为本，既要面向全体学生，又要照顾个别学生，所以前置性作业设计须有一定的梯度、广度、高度。同时，前置性作业是备课的组成部分，在设计过程中要有助于学生查漏补缺、教师调整教学行为、师生探究能力提升。

１．前置性作业设计的三个维度。没有针对性的练习，提高能力简直就是天方夜谭，前置性作业的设计既要面向全体，又要面向个体；既要面向优等生，又要面向一般学生；既要夯实双基，又要提升学生的综合能力。所以，在设计中，要有明显的“梯度”确保面向全体，又要有一定的“广度”培养发散性思维，更要有适当“高度”培养学生的数学素养。

（１）梯度——面向全体。“因人而宜，因材施教”是教学千古不变的定律，前置性作业设计同样需要遵循。因此，设计要有梯度，以适宜不同层次的学生练习，可根据学生差异、内容的重难点和目标，设置有梯度的三个层次——“铺垫性”、“延伸性”、“探究性”，供不同层次的学生自主“选购”。

第一，铺垫型。设计应充分考虑学生的一轮复习成果，从学生的已有知识出发，降低起点，或把基本题加以分解，起到巩固、查漏补缺与提升自信心的目的。

前置性作业设计１—— 三角图象性质

①已知ｓｉｎ，则ｓｉｎ２ｘ的值为＿＿＿＿＿＿。

②设动直线ｘ＝ｍ与函数ｆ（ｘ）＝ｘ３，ｇ（ｘ）＝Ｉｎｘ的图象分别交于点Ｍ、Ｎ，则｜ＭＮ｜的最小值为＿＿＿＿＿＿。

③设函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（?棕ｘ＋?渍）（Ａ≠０，?棕＞０，的图象关于直线ｘ对称，它的周期是?仔，探究函数ｆ（ｘ）的性质？

课堂延伸１——作图，识图，用图

①已知函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ（?棕ｘ－）（?棕＞０）和ｇ（ｘ）＝２ｃｏｓ（２ｘ＋?渍）＋１的图象的对称轴完全相同。若ｘ∈［０，1/2］，则ｆ（ｘ）的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。

②若函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ?棕ｘ（?棕＞０）在区间上单调递增，在区间单调递减，则?棕＝＿＿＿＿＿＿＿。

设计分析：图象是研究函数性质方法，设计目的是训练学生的用图能力。

第二，延伸型。设计从学生做好基本题的基础上选做几个题，是对基础题的扩充和延伸。一般来说，选做题比基础题要灵活，思维难度要大些，可以让学生在解题过程中发现问题，提升数学素养。

前置性作业设计２——椭圆性质

①过抛物线ｙ２＝２ｐｘ焦点Ｆ作直线ｌ交抛物线于Ａ，Ｂ两点，Ｏ为坐标原点，则△ＡＯＢ为（ ）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形

Ｃ．不确定 Ｄ．钝角三角形

②已知直线ｙ＝ｋ（ｘ＋１）与抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ相交于Ａ、Ｂ两点，Ｆ为抛物线Ｃ的焦点，若｜ＦＡ｜＝２｜ＦＢ｜，则ｋ＝＿＿＿＿＿。

③如图，把椭圆１长轴ＡＢ分成８分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于Ｐ１，Ｐ２，……Ｐ７七个点，Ｆ是椭圆的一个焦点，则｜Ｐ１Ｆ｜＋｜Ｐ２Ｆ｜＋……＋｜Ｐ７Ｆ｜＝＿＿＿＿＿。

课堂延伸２——离心率

①已知椭圆１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ，下顶点为Ａ，直线ＡＦ与椭圆的另一交点为Ｂ，点Ｂ关于ｘ轴的对称点为Ｃ，若四边形ＯＡＣＢ为平行四边形（Ｏ为坐标原点），则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿。

②若点Ｐ为共焦点的椭圆Ｃ１和双曲线Ｃ２的一个交点，Ｆ１、Ｆ２分别是它们的左右焦点。设椭圆离心率为ｅ１，双曲线离心

设计分析：含字母的运算比较薄弱，设计离心率专题进行检测评价。

第三，探究型。设计要求对题目进行自主探究，或找出不懂的地方，为课堂质疑做准备。也可阅读或搜寻与教材内容有关的材料，为突破教材的难点做准备。

前置性作业设计３——等差、等比数列综合运用

①设｛ａｎ｝的公比不为１的等比数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ５，ａ３，ａ４成等差数列：求数列｛ａｎ｝的公比；证明：对任意ｋ∈Ｎ＋，Ｓｋ＋２，Ｓｋ，Ｓｋ＋１成等差数列。

课堂延伸３——数列的综合运用

在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１，ｂｎ，其中ｎ∈Ｎ＊。求证：数列｛ｂｎ｝是等差数列，并求数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ；设ｃｎ＝ａｎ，数列｛ｃｎｃｎ＋２｝的前ｎ项和为Ｔｎ，是否存在正整数ｍ，使得Ｔｎ＜对于ｎ∈Ｎ＊恒成立，若存在，求出ｍ的最小值，若不存在，说明理由。

设计分析：熟悉数列问题处理的常见方法与思想，学生对字母运算的能力较差。

（２）广度——自主，综合。要想让学生都成为“千里马”，作业设计须要有广度。前置性作业设计，除了要设计巩固性习题外，还要设计以学生主动探索、思考为主的探索性作业——“交汇型”。

第一，交汇型。这种设计要体现多种知识的交汇运用，以有助于学生发现不足，提升综合运用能力。

前置性作业设计４——圆锥曲线与其它知识交汇

①圆锥曲线与向量的综合、交汇。已知Ａ、Ｂ为抛物线 ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上两点，直线ＡＢ过焦点Ｆ，Ａ、Ｂ在准线上的射影分别为Ｃ、Ｄ，求抛物线的方程；ＣＤ是否恒存在一点Ｋ

②圆锥曲线与数列相综合、交汇。双曲线的虚轴长为４，离心率ｅ，Ｆ１、Ｆ２分别是它的左，右焦点，若过Ｆ１的直线与双曲线的左支交于Ａ、Ｂ两点，且｜ＡＢ｜是｜ＡＦ２｜与｜ＢＦ２｜的等差中项，则｜ＡＢ｜为＿＿＿＿。

课堂延伸４——圆锥曲线与不等式相综合、交汇

已知椭圆ｙ２＝１的左焦点为Ｆ，Ｏ为坐标原点。求过点Ｏ、Ｆ，并且与直线ｌ相切的圆的方程；设过点Ｆ且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，线段ＡＢ的垂直平分线与ｘ轴交于点Ｇ，求点Ｇ横坐标的取值范围。

设计分析：向量、数列、函数在解析几何中运用，分别能够起到把几何思维转化为代数思维的功效，也就是能够把抽象思维转化为直观思维。

（３）高度——引领，导向。俗语说：“站得高才能看得远。”梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上片刻，以便让另一只脚能够再往上登。为达到这个“高度”，设计要做到“三多”：多设计分析思考的灵活习题；多设计一题多解（或多法）开放习题；多设计体现数学思想的习题。

第一，思维灵活。根据题目特征，从多角度、多方面、多层次去思考问题，通过分析题目特征，将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学知识，而且能培养和发展学生思维的广阔性和创造性。

前置性作业设计６——恒成立问题

①已知一元二次不等式ａｘ２－４ｘ＋１≥０对任意实数ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围。

②已知不等式ａｘ２－４ｘ＋１＜０的解集为?准，求实数ａ的取值范围。

③已知不等式组ａｘ２－ｘ－２≤０ｘ２－ｘ≥ａ（１－ｘ）的解集为Ｒ，求实数ａ的取值范围。

课堂延伸６——区间内恒成立问题

①已知ｆ（ｘ）＝ｍｘ３－３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ），若对于任意的ｘ∈［－１，１］都有ｆ（ｘ）≥０，求实数ｍ的值。

②设不等式２ｘ－１＞ｍ（ｘ２－１）对满足－２≤ｍ≤２的一切实数均成立，试求实数ｘ的取值范围。

③已知ｆ（ｘ）＝３ｘ２＋（ａ ＋ １）ｘ＋１，其中ａ为实数，若不等式ｆ′（ｘ）≥ｘ２－ｘ－ａ＋１对于任意的ａ都成立，求实数ｘ的取值范围。

设计分析：学生对题目的本质不理解，错误是由思维定势产生的负迁移引起的。要设计恒成立题组，帮助学生形成处理恒成立问题的基本方法。

第二，一题多解。用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养创造性思维能力，因此，学生应尝试多角度地审视、分析问题。

前置性作业设计７——至少用两种方法

①已知ｘ，ｙ≥０，ｘ＋ｙ＝１则ｘ２＋ｙ２的取值范围为＿＿＿＿＿。

②若ＡＢ＝２，ＡＣＢＣ，则Ｓ△ＡＢＣ的最大值＿＿＿＿＿。

③ ｘ＞０，ｙ＞０，且ｘ＋２ｙ＋ｘｙ＝３０，求ｘｙ的最大值。

课堂延伸７——讲评解法

设计分析：通过课前做，课中讲、评，使学生体会函数思想、基本不等式、三角代换、数形结合等思想方法的运用。

第三，数学思想。华罗庚教授曾说过，“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非”。通过“以形助数”、“以数解形”，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题。

前置性作业设计８——数学思想的运用

①已知函数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，当ｘ≥０时， ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）。试求当ｘ＜０时，函数ｆ（ｘ）的解析式。

②已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ－３，试求：在［ａ，ａ＋２］上函数的最小值ｇ（ａ）。

课堂延伸８——悟数学思想

已知曲线Ｃ是到点Ｐ和到直线ｙ＝距离相等的点的轨迹。ｌ是过点Ｑ（－１，０）的直线，Ｍ是Ｃ上（不在ｌ上）的动点；Ａ、Ｂ在ｌ上，ＭＡ⊥ｌ，ＭＢ⊥ｘ轴（如图）。求曲线Ｃ的方程；求出直线ｌ的方程，使得为常数。

设计分析：数学思想主要靠学生悟，通过演练让学生体验过程，促进真正领会。

２．前置性作业设计要体现三种功能。

（１）有助于学生查漏补缺。学生在作业完成后只注重正确结论，不清楚错误缘由。作业中的错误是正确向导，成功开始，是学生获得、巩固知识的重要途径。

前置性作业设计９——自主订正案例

已知等差数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的前项和分别为Ｓｎ和Ｔｎ

课堂上让错误的学生分析错因，并讲解订正体会。

甲生订正：∵ 等差数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的前项和分别为Ｓｎ和Ｔｎ，ａ１＋ ａ１３＝２ａ７， ｂ１＋ ｂ１３＝２ｂ７

∴ 可设Ｓｎ＝ｋ（７ｎ＋２），Ｔｎ＝ｋ（ｎ＋３）（ｋ≠０）

∴ ａ７＝Ｓ７－Ｓ６＝ｋ（７×７＋２）－ｋ（７×６＋２）＝７ｋ

ｂ７＝Ｔ７－Ｔ６＝ｋ（７＋３）－ｋ（６＋３）＝ｋ

一道题目，两个答案！孰是孰非？

丙学生（发现）：我认为甲的解法绝对正确，乙的解法有问题。我发现这样的设法有问题。因为设Ｓｎ＝ｋ（７ｎ＋２），Ｔｎ＝ｋ（ｎ＋３）（ｋ≠０）这种设法虽然保证了条件成立，但等差数列的前项和Ｓｎ不是ｎ的一次函数，而是ｎ的二次函数，即Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ２＋（ａ１）ｎ这样设法就错误了。错误的原因找到了，学生十分激动。

丁学生：既然Ｓｎ是ｎ的二次函数，那么把上面的设法改一下如何？

丁说：可设Ｓｎ＝ｋ（７ｎ＋２），Ｔｎ＝ｋ（ｎ＋３）（ｋ≠０），让它满足二次关系。

戊同学：这样设绝对有问题，因为Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ２＋（ａ１－）ｎ中常数项为零。所以只能设常数项为零的二次形式。

前置性作业不是简单回顾或检验，而是进行多角度、多方位评价。

（２）有助于教师调整教学行为。教以学为对象、为目的，教是为了学，帮助学。通过前置性作业可以充分暴露学生存在的知识性漏洞、数学方法上的不足等问题，如此一来，就有利于教师随时调整教学行为与方式，重新定位重难点、教法。

前置性作业设计１０ ——变式探究

①已知椭圆Ｃ的中点为直角坐标系ｘＯｙ的原点，焦点在ｘ轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是７和１。求椭圆Ｃ的方程；若Ｐ为椭圆Ｃ上的动点，Ｍ为过Ｐ且垂直于ｘ轴的直线上的点，λ，求点Ｍ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

②如图，ＤＰ⊥ｘ轴，点Ｍ在ＤＰ的延长线上，且，当点Ｐ在圆ｘ２＋ｙ２＝４上运动时，求点Ｍ的轨迹方程，并说明轨迹的形状。与例２相比，你有什么发现？

设计分析：相关点转移法的本质认识不清，运算不熟练。教师应根据学生的典型问题，调整上课内容，设计专题强化。

课堂延伸１０

①类比高考题特点改编课本题。从圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝２５上任意一点Ｐ向Ｘ轴作垂线段ＰＰ′，且线段ＰＰ′上一点Ｍ满足关系式｜ＰＰ′｜∶｜ＭＰ′｜＝λ，求点Ｍ的轨迹。

②类比课本题特点改编高考题。已知椭圆Ｃ的中心为直角坐标系ｘＯｙ的原点，焦点在ｘ轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是７和１， 若Ｐ为椭圆Ｃ上的一个动点，Ｐ向ｘ轴作垂线段ＰＰ′，且线段ＰＰ′上一点Ｍ满足关系式 ｜ＰＰ′｜∶｜ＭＰ′｜＝λ（λ＞１），求点Ｍ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

习题的变式能在学生“最近发展区”产生认知冲突，从而构建新的知识体系，能使学生认识到教材才是“最好的参考书”，从而脱离“题海”与“书海”之苦，布置前置性作业可为编制变式习题提供素材方向。

（３）有助于提升学生的探究能力。设计一些探究性作业，要求学生理论联系实际，学以致用，运用所学知识，学会思考、学会动手、学会解决，面向实际、解决问题的过程中提高实际动手能力。

前置性作业１１——学习小组探究

问题：已知ｘ４＋ｘ２＋ａ２－ａ－２≥０对任意的ｘ恒成立，求ａ的取值范围。

课堂延伸１１——学生的研究成果

学生１：这个问题很简单，只要通过换元的方式，就变为二次不等式。令ｘ２＝ｔ，则ｔ２＋ｔ＋（ａ２－ａ－２）≥０只要满足△≤０即可。

学生２：这么解，中间忽视了一个很重要的问题，他换元时应注意ｔ的取值范围是［０，＋∞），所以仅仅满足△≤０是不够的。应转化为ｔ２＋ｔ＋（ａ２－ａ－２）≥０，对于ｔ∈［０，∞）恒成立，满足ｙ２＝ｔ２＋ｔ＋（ａ２－ａ－２）在［０，＋∞）位于ｘ轴上方（或在ｘ轴上），通过对称轴ｔ所以应满足当ｔ＝０时，ｙ＝ａ２－ａ－２≥０，所以ａ≥２或ａ≤－１。

学生３：如果对称轴不确定还需进行分类讨论。

学生４：对于ｔ２＋ｔ＋（ａ２－ａ－２）≥０，ｔ∈［０，＋∞）恒成立，转化为ａ２－ａ－２≥－ｔ２－ｔ，令ｇ（ｔ）＝－ｔ２－ｔ，只要求出ｇ（ｔ）在［０，＋∞）的最大值ｍ，满足ａ２－ａ－２≥０。

学生５：ｘ４＋ｘ２＋ａ２－ａ－２≥０对任意的ｘ恒成立，ｘ４＋ｘ２的最小值为０，所以转化为ａ２－ａ－２≥０，所以ａ≥２或ａ≤－１。

学习小组总结。解决这类问题有两种方法：一是抓住变量ｘ，转化为二次函数在区间上的问题；二是抓住字母ａ 转化为确定二次函数在固定区间上的最值问题，从而转化为有关ａ不等式解集的问题。

三、思考

１．是否每天都要设计前置作业？

２．如何科学设计前置作业？是否考虑全体学生的个体差异，设计多样化的、能够满足不同学生的认知需求，并能得到包括家长在内所有人员的理解与认同，具有很强操作性的前置作业？

３．作业反馈与科学评价是否得到了应有的重视？

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：

[1]巫梦玲．引导学生探究，促进有效教学[J].数学通讯, 2009,(10)．

[2]周婉,徐汉文．指导学生错题管理方法，提高学习效率[J].数学通讯，2009，(10)．

[3]钱伟英．作业讲评的有效性[J]．中学数学月刊,2009,(7)．

（编辑：朱泽玲）