合情推理：数学思维能力培养的重要基石

云南省会泽县马路乡中学 雷思琪

摘要：数学思维能力是个体数学素质发展的重要因素，合情推理在数学思维能力培养中具有重要的作用。随着新课程改革的不断深入，人们不再只是注重演绎推理，而把合情推理也作为培养数学思维能力的重要基石加以重视。文章对合情推理的一些理论及在数学思维能力培养的各方面作用进行了探讨，旨在阐述合情推理对培养数学思维能力的重要作用，为学生思维能力的培养提供理论指导。

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关键词 ：合情推理；数学思维；重要方式；能力培养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）18-0106-02

一、引言

合情推理是美籍匈牙利数学家波利亚的“启发法”中的一种推理模式。所谓合情推理，就是合理的猜测方法，是人们根据已有的知识经验，在某种情境和过程中，运用观察、实验、归纳、类比、联想、直觉等非演绎的思维形式，推出关于客体的合乎情理的认识过程。波利亚通过研究发现，可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的，在解决问题时，人们总要面对具体情况，不断地对自己提出具有启发性的问句、提示等，以启动与推进思维的发展。

我国《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，并要求在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力。”《普通高中数学课程标准（实验）》也明确指出：“了解合情推理的含义、体会合情推理在数学发现中的作用、了解合情推理与演绎推理的差异。”从课标中我们可以看出，合情推理的重要性在数学思维能力的培养中占有不可替代的作用，更是创造性思维能力培养的源泉。

二、合情推理概述

根据波利亚在《数学与猜想》一书中给出的合情推理的特征、作用、范例和模式以及人们合情推理经验的积累，数学中常用的合情推理方法有：归纳推理、类比推理、统计推理、一般化与特殊化等。我国中小学数学课程标准中所提出的合情推理主要涉及两种推理方法：归纳推理与类比推理。

1.归纳推理。归纳是指思维由特殊的具体认识推进到一般的抽象认识现实的方法。归纳是一种表述思想、组织思想或论证思想的思维形式，即归纳推理。归纳作为一种推理具有以下特征：

（1）它是人们在逻辑思维过程中，用以表述论证思想的工具，是人类把各种思想必然地联系起来的重要手段。

（2）归纳推理是建立在反映事物本质的思维材料或语言材料的基础上。

2.类比推理。波利亚指出，“类比是某种类型的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似。”类比推理也是从个别的、特殊的到一般的推理，是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一属性，从而推出另一个对象也具有与该属性相同或相类似的性质。其逻辑形式如下：A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；B对象也可能具有属性d。

类比推理有其自身的特征：类比是人们从已经掌握了的已知事物的属性，推测出另一正在被研究的事物的属性；类比是从一种已知事物的特殊属性推测另一事物的特殊属性；类比的结论是具有猜测性的，不一定可靠，需要证明，但是具有发现功能。类比推理的结论是或然的，因而不能作为一种严格的推理方法，但是类比法常为数学研究提出假说和猜想。波利亚还指出：“类比是一个伟大的引路人。”在数学史上，很多成果都是通过类比推理得到的，类比推理的关键在于找出两类对象之间的相似性，找出的相似性越多，得出的结论就越可靠。

三、合情推理对培养数学思维能力的作用

合情推理是根据一定的经验材料或数学事实对研究对象的性质、关系、结果所做的猜测或估算，是将特殊事物的结论外推或延伸，使之与有关事物对照，发现与熟悉的知识相联系，并将特殊的结论加以推广，通过概括获得全貌。作为一种思维方式和方法论，在数学思维能力的培养过程中起到了重要多用，主要体现在以下四个方面：

1.合情推理有助于数学思维潜能的激发。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体地说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识、发现数学规律为目标的一种思维。

数学思维即从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学特点与操作方式。由于个体的差异性和数学思维的特点使得每个人的数学思维发展也产生了差异，每个人都存在着有待发展的思维潜力。因此，重视合情推理在数学思维中的作用是发展数学潜力的有力因素。合情推理的思维模式也是数学思维发展的模式，有利于加强思维训练，以合情推理中的归纳和类比模式可以加强思考、猜想等思维的训练。开发整体的数学思维模式，激发数学思维潜力，发展数学素质和数学能力。

2.合情推理给数学思维方式提供了发展空间。数学思维的发展是一个循序渐进的过程，从具体的思维过程到抽象的思维过程，再到形式化的思维过程。每个人数学思维的发展是不一样的，有的人数学思维发展得好，有的人的数学思维只是一般，但是，每个人数学思维发展的过程是大致相同的，都需要一个发展空间。数学思维能力的提升就有赖于发展空间，在数学思维能力的发展中，合情推理就为其提供了很好的发展空间。

合情推理是数学思维能力发展的一个重要的基石，在思维的发展中，我们不仅要有演绎方面的思维模式，更要有合情推理方面的推理模式。合情推理的模式是创新思维发展的前提，是数学结论发展的重要保障。数学史上一些重要的结论都是通过这样的思维模式得到的。合情推理为数学思维的创造性发展提供了整个条件，使得数学思维能力的发展由一般的思考推理上升为创造性的思维，使数学思维的发展空间得到了质的突破。

3.合情推理有助于优化数学思维品质。思维品质是指个体在思维活动中智力特征的表现，是区分一个人智力高低的主要指标。一个人思维能力的发展从本质上讲就是不断改进一个人的思维品质的过程。

“数学是一门理性思维的科学”，数学的核心是思维。在数学学习过程中，人的数学思维在不断地发生与发展。由于人的个体差异，表现出思维水平的差异性，这种思维水品的差异性以数学思维品质为标志。如果人们有意识地强化学习者的数学思维，必将促进思维水品的提高。相应的，作为数学思维水平标志的数学思维品质也随之发生变化、发展，从实质上说，这就是数学思维品质的培养。

合情推理作为发展数学思维能力的重要因素，是优化思维能力的过程。通过归纳和类比等推理方法使得学习者不断猜想、质疑，从而解决问题，消除了思维的僵硬性，提高了数学思维的灵活性；在独立思考的基础上，积极思考、多思善问，能够提出高质量的创新问题，从而达到培养思维创造性的目的。通过合情推理中由特殊的具体认识推进到一般的抽象认识现实的方法，逐步深入事物的本质，从而预见事物的结果。这样就使得思维的深刻性不断增强、批判性不断提高。因此，数学思维的品质得到了进一步的优化，数学思维能力不断提高，最终发展了个人的数学思维能力。

4.合情推理有助于形成良好的数学思维习惯。习惯是经过反复练习而形成的较为稳定的行为特征。良好的思维习惯是一种良好的非智力因素，是学生必备的素质，是学生学好数学的最基本的保证。良好的思维习惯有助于学生从不同的角度思考问题，有助于学生思维能力的培养、知识的获取以及运用所学知识灵活地解决问题。这充分说明良好的学习习惯可以使人受益终生。

良好的思维习惯必须在实际的思维活动中才能养成，所以合情推理为思维习惯的养成提供了机会。合情推理的每一个模式都是以一个个实际的问题为对象，从特殊的问题推广到一般，形成了一套严谨的方法，激发了学习者的求知欲。实践证明，在思维的转折处设疑不仅有利于促进知识的迁移，而且更有利于加深和建构所学知识，促使其积极主动地参与学习。这样就提高了学习效果，也形成了善于思考、乐于推理的良好数学思维习惯。

合情推理是一种很好的培养数学思维能力和实践能力的重要手段，它不仅是一种数学思想，更是一种发现数学的重要方法。合情推理的实质就是“发现—猜想”，对思维的发展和创新思维的培养起着重要的作用。因此，在数学教学中，既要强调思维的严密性、结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性。重视合情推理是数学教学中的一个重要内容，教师在数学教学中应逐步渗透合情推理的思维过程，揭示知识的发生过程，激发学生的思维活动，让学生从学习数学知识的过程变成数学学家当时探索数学的过程，进行合情推理，自己探索数学规律，发现数学结论，使学生真正成为学习主体。没有合情推理的数学教学是不可能培养出高质量、具有创新思维的学习者的，因此，每一位数学教师都必须认真钻研教材，多看、多练，善于总结各种解决问题的方法，不断加强自己的思维训练，不断探索适合中学生的合情推理的方法，总结经验，使自己具有较强的基本功。同时，每一位教师都应当充分利用合情推理在数学思维能力中的作用，渐进而有序地培养数学合情推理能力，提高学生的综合素质，促进学生健康、全面地发展。

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（编辑：杨迪）