“数形结合”思想方法在“比例尺”教学中的运用实践

浙江省杭州淳安县汾口镇横沿小学 余文苏

【摘要】抽象的数学概念对于形象思维占主导的小学生来说，学习起来有一定的难度。若运用数形结合的思想就可以使抽象问题直观化，复杂问题简单化，能更好地帮助学生理解和掌握数学概念。文章就如何通过数形结合的策略，引导学生主动建构概念，提高教学效率进行了探讨。

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关键词 数形结合；概念；比例尺；策略

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1671-0568（2014）24-0074-03

2011版数学新课标把原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本数学思想和方法、基本数学活动经验。数形结合就是基本数学思想之一，它把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使相对复杂的问题简单化，抽象问题直观化，从而起到优化解题途径的目的。数和形的关系正如数学家华罗庚所写的诗一样：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文以“比例尺”的教学实际为例，谈谈在小学数学概念教学中如何有效地运用数形结合的思想策略，引导学生主动建构概念，提高概念教学的课堂效率。

一、以“形”引入，用“数”揭示概念

许多数学概念比较抽象，如果能在概念的引入环节中，借助直观、丰富的图形材料，创设一定的问题情境，既能激发学生的学习兴趣和探究欲望，又能通过对图形的情境分析，建立抽象的数学概念与形象、直观的图形之间的联系，展示概念的发生、形成过程，把握住数学概念中最本质的属性，丰富学生的感性材料，为建构数学概念奠定基础。

【片断一】在画图中引入比例尺

师：同学们，我们教室的地面是一个长方形，长约9米，宽大约6米。

师：请大家在练习本上画出我们教室的平面图。该怎么画才不走样呢？

（学生画，师巡视）

师：大家画的图是长9米，宽6米吗？（不是）谁来说说是怎么画的？

生1：我画的长方形长9厘米，宽6厘米。

生2：我画的长方形长3厘米，宽2厘米。

师：同一教室，你们却画得不一样大，为什么？谁的画法是正确的？

生1：我认为他们画的都对，因为这两个图的比都是3:2。

生1：第一个同学画的平面图长与宽的比是9:6，化简后是3:2，第二个同学画的平面图长与宽的比也是3:2，与我们教室实际的长与宽的比是3:2一致，所以都行。

生2：我觉得这两种画法都行，第一个同学是把教室缩小100倍来画，第二个同学是缩小300倍来画的。虽然画的大小不一样，但也是我们教室的缩影。

师：是啊，这两个平面图，别人一看会知道我们教室的大概形状，但我们的教室不可能是长9厘米、宽6厘米，也不可能是长3厘米、宽2厘米，你能想个办法，让别人一看也知道我们教室有多大吗？

（生动脑想、动手写）

生1：我直接写上“教室面积大约54平方米。”

生2：我在图上标出“长9米、宽6米。”

生3：我标上“1厘米=100米”。

生5：我写上“缩小300倍”。

……

这一环节让学生按要求把熟悉的教室地板缩小画在练习本上。从真实的教室地板图和练习本上缩小后的长方形这两幅图形引入，通过学生自主探索、合作交流，发现这两个长方形长的变化和宽的变化是一致的，可以用相同的倍数（100倍或300倍）或比（100:1或300:1）来描述。既使比例尺这个概念植根于已有的知识（比或倍数）经验基础之上，又以真实的数据揭示了图上距离、实际距离和比例尺概念的真正意义，使学生知道了比例尺产生的必要性，更加可贵的是让学生尝试了创造比例尺的过程。

二、以“数”建构，用“形”感悟概念

小学数学概念的建构是学生在积累了一定的感性知识，通过观察、比较、分析、抽象、概括、综合等一系列思维方法的基础上建立起来的。在学生有了充分的图形感性认识以后，就要对图形赋予的数据进行分析、概括、抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生建立数学概念。另一方面还要把抽象的数学概念置于直观的图形中去理解感悟，数与形的巧妙结合，让概念不至于成为无源之水，无本之木。

【片断二】在形象感知中建构比例尺

师：你们刚才在练习本上画出了教室平面图，现在请分别写出图上长方形的长（宽）与教室的长（宽）的比，并化简。

生：9cm∶9m=9cm∶900cm=1∶100

3cm∶9m=3cm∶900m=1∶300

6cm∶6m=6cm∶600cm=1∶100

2cm∶6m=2cm∶600m=1∶300

师：数学上把图上距离与实际距离的比叫做这幅图的比例尺。

师：请拿出课前准备的地图，看看有无类似的标注？你知道它的意义吗？

（学生找和说）

师：请同桌互相说说下面每幅的比例尺的意义。

生1：这学校平面图的比例尺表示图上1厘米相当于实际距离3000厘米。

生2：何老师家房子平面图的比例尺表示图上1厘米代表实际距离300厘米。

生3：北京市地图的比例尺表示图上1厘米代表实际距离40千米。

……

【片断三】放大比例尺与缩小比例尺

师：有人说下面两幅图的比例尺是一样的，你同意吗？

生：不同意，左边的图是把零件缩小10倍再画到图纸上，右边的图是把零件放大10倍后再画到图纸上的。

师：你们发现了什么规律？

生：放大比例尺的后项是1，而缩小的比例尺的前项是1。

……

以上的教学环节，让学生在实际情境中分别写出教室长的图上距离和实际距离的比，宽的图上距离和实际距离的比。抓住比例尺概念的本质属性，从数据中建立起比例尺的意义。再通过一系列的地图和平面图来让学生解释其中比例尺的实际意义，给学生以充分的感性认识。再把放大比例尺与缩小比例尺进行类比，让学生对数值比例尺中的数字进行观察、比较、分析、判断，进一步理解比例尺的概念。最后根据比例尺的意义想象出这些图形是把原物放大还是缩小，比例尺的内涵在比较中清晰明朗。这样把比例尺抽象的数字与直观的平面图形联系起来，数与形的相互交融，多种感官的参与，使学生对比例尺概念的感悟更加深刻。由此可见，学生建立比例尺的概念的认识过程是由感性—理性—感性螺旋上升的过程，也符合学生的认知规律。

三、以“数”分析，用“形”应用概念

为了使学生牢固地掌握所学的概念，能够正确、灵活地运用概念进行判断、推理、计算、作图……能运用概念分析和解决实际问题。教师可以对数学问题中“数”的关系进行分析综合，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征、规律来研究、解决问题。这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析、理解和应用。

【片断四】线段比例尺与数值比例尺的关系

师：一幅地图的比例尺是1:6000000表示什么？

生：图上距离是实际距离的1/6000000，实际距离是图上距离的6000000倍。

生：表示图上1cm代表实际距离6000000cm。

师：图上1cm代表实际距离多少千米？你能用线段比例尺表示吗？

生：是60km，表示为。

……

师：在一幅比例尺为1:6000000的地图中，量得广州到南宁的距离是8.5cm，请你根据这张图的比例尺，计算出广州到南宁的实际距离大约是多少千米？

生：6000000cm=60km，8.5×60=510km。

……

线段比例尺是数值比例尺的图形表现形式，它以平面图上1厘米的线段表示实际长度若干米（千米），直观地表达了图上距离和实际距离的关系。教学时，教师先让学生根据比例尺1:6000000，说说图上距离是实际距离的几分之几，实际距离是图上距离的几倍，理解比例尺中图上距离与实际距离间的倍数关系，由此推算出图上1厘米表示实际距离60千米，并用线段比例尺来表示。以上的过程就是对数值比例尺中的“数”进行分析综合，并构造出相应的线段比例尺这一直观图形。在解决“广州到南宁的实际距离大约是多少千米？”的问题时，学生就很容易用直观的线段比例尺去计算出结果，比用数值比例尺来计算简单得多。线段比例尺与数值比例尺虽然形式不同，但内在联系十分密切，二者可以融会贯通。

四、以“形”为境，用“数”拓展概念

比例尺的概念是抽象的，要让学生巩固并灵活运用，就必须加以练习形成知识技能。如果让学生死记硬背图上距离:实际距离=比例尺这一数量关系式，然后进行大量的练习来巩固，教学必然枯燥无味。数学新课标明确指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境”。“在数学课堂教学过程中，创设生动有趣的情境，是数学教学活动产生和维持的基本依托；是学生自主探究数学知识的起点和原动力；是提高学生学习数学能力的一种有效手段”。因此，教师要根据学生的生活经验，以直观图形为情境，提出与比例尺有关的生活问题，引导学生运用比例尺的知识通过计算、分析、判断、推理来解决生活中的问题。不但沟通了数学与生活的联系，而且拓展了学生思维的灵活性，发展了学生的各种数学能力。

【片断五】在实际生活中应用比例尺

师：何老师想买一套面积大一点的房子，售楼小姐拿来两张大小一样的商品房平面图纸供何老师挑选。你认为何老师应选（）。

A.比例尺是1∶200B.比例尺是1∶150

生：我认为应选择A，因为A套实际是图上的200倍，B套实际是图上的150倍。

师：你很会当参谋。

师：何老师量得这两套房子图纸的长都是8cm，宽都是5cm，请你分别计算出这两套房子的实际面积是多少？

……

生1：我是先算出图上面积8×5=40（平方厘米），再乘以比例尺的倍数。A套：40×200=8000（平方厘米），B套：40×150=6000平方厘米。

生2：我是先分别算出实际的长和宽，再算实际的面积。A套：长8×200=1600厘米=16米，宽5×200=1000厘米=10米，面积16×10=160平方米。

B套：长8×150=1200厘米=12米，宽5×150=750厘米=7.5米，面积12×7.5=90平方米。

师：这两位同学说得很有道理，这两种解法是否都正确？

生3：不是，第一种不正确，你把面积换为以平方米作单位看看。

师：（生说师写）A套：8000平方厘米=0.8平方米，B套：6000平方厘米=0.6平方米。

生（笑）：0.8平方米怎么住人啊？

师：从刚才两位同学的解答中，你们说说比例尺是一个怎样的比？

生：是图上距离与实际距离的比是长度的比，不等于面积的比。

……

以上环节，以何老师看商品房的图纸为情境，让学生运用比例尺的概念进行计算作出判断，进一步深化了对概念的理解和巩固。同时在计算实际面积时又出现两种不同的思路，教师很好地引导学生从计算中发现其中的奥秘：距离之比≠面积之比。使学生在矛盾的冲突中更深层次地理解了比例尺是图上距离与实际距离的比，而不是图上面积与实际面积之比，在拓展比例尺概念的同时让学生的思维能力得到了提高。又如以下的练习题：

小明家正西方向500m是街心公园，街心公园正北方向300m是科技馆，科技馆正东方向1Km是动物园，动物园正南方向400m是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。

这是一道开放题，思维过程十分严密，要想画得正确漂亮（大小合适，视觉上美观），就得选出合适的比例尺，这是基石。要求学生根据纸张的大小和题目中的数据，用不同的比例尺试算出各地点的图上距离，看看长短是否合适，再画出平面图。创设了位置与方向的情境图，让学生通过观察、计算、判断、比较、分析，培养了学生分析、综合、抽象、概括的能力。在拓展概念的同时，也提高了学生思维的灵活性和创造能力，发展了学生的空间观念。

总之，我们在平时的数学概念的教学过程中，要根据学习的内容和小学生的认知特点，灵活运用数形结合的数学思想，设计不同的教学环节，采取多种教学策略，调动多种感官，着眼自主探究，主动建构概念，培养学生的思维能力，不断提高概念教学的课堂效率，真正提高学生的数学素养。

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参考文献：

[1]教育部.全日制义务教育小学数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011.

[2]夏俊.“如何有效运用数形结合”[J].小学数学教师,2011,(8).

[3]费海燕.“数形结合，提高数学学习能力”[J].小学数学教学,2013,(6).

（编辑：杨迪）