关于《数字换位差值速算法》的研讨

高庆胜 GAO Qing-sheng

（石家庄市卓达书香园，石家庄 050000）

（Zhuoda Shuxiangyuan in Shijiazhuang，Shijiazhuang 050000，China）

摘要： 为了更好地掌握速算的技巧，将《数字换位差值速算法》做进一步研讨。

Abstract： In order to better understand the fast algorithm skills, Digital Conversion Difference Fast Algorithm is further researched.

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关键词 ： 数字换位差值；速算法；研讨

Key words： digital conversion difference；fast algorithm；research

中图分类号：O156 文献标识码：A

文章编号：1006-4311（2015）02-0323-02

0 引言

为了更好地掌握速算的技巧，现将刊登在《价值工程》2014③中旬刊的《数字换位差值速算法》做进一步研讨。

1 《数字换位差值速算法》的公式如下：

A-B=x…x a x…x b x…x-x…x b x…x a x…x

=10n[（10m-1）（a-b）] （1）

A-B=x…x a x…x b x…x-x…x b x…x a x…x

=10n[10m（a-b）-（a-b）] （2）

注：①为计算方便、直观，现将数A、数B中换位的两个数字直接用a、b表示，称为换位数，其余数位上的数字用x表示。

a，b，x的取值范围为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0。

②不同数位上的x一般不相同。

③在数A中，a为左换位数，b为右换位数；在数B中，b为左换位数，a为右换位数。

现定：左换位数比右换位数高出的位数为m；右换位数比个位数高出的位数为n。

④m为正整数。n为整数。

2 有关验证

2.1 整数换位差值速算法 设有一个不小于两位的整数A，将A中的两个数字换位后得整数B，则A、B两数之差有下列关系：

①如A为二位数a1a2，（a1在十位，a2在个位）；换位后得B，即a2a1，（a2在十位，a1在个位）。

则A-B=a1a2-a2a1=9（a1-a2），即A，B之差等于a1，a2之差乘以9。

或A-B=a1a2-a2a1=10（a1-a2）-（a1-a2），即A，B之差等于a1，a2之差乘以10再减去a1，a2之差。

证明：因A=a1a2=10a1+a2 a1与a2换位后得：B=a2 a1=10a2+a1。

则A-B=10a1+a2-（10a2+a1）=10a1+a2-10a2-a1=9a1-9a2=9（a1-a2）=10（a1-a2）-（a1-a2）。

②设如A为三位数a1 a2 a3，（a1在百位，a2在十位，a3在个位），a1与 a3换位后得三位数B，即a3 a2 a1，（a3在百位，a2在十位不变，a1在个位）。

则A-B=a1 a2 a3-a3 a2 a1=99（a1-a3）即A，B之差等于a1，a3之差乘以99。

或A-B=a1 a2 a3-a3 a2 a1=100（a1-a3）-（a1-a3）即A，B之差等于a1，a3之差乘以100后再减去a1，a3之差。

证明：

因A-B=a1 a2 a3 -a3 a2 a1=102a1+10a2+a3-（102a3+10a2+a1）

=102a1+10a2+a3-102a3-10a2-a1=102a1+a3-102a3-a1

=102（a1-a3）-（a1-a3）=（102-1）（a1-a3）=99（a1-a3）

可见，在A，B两数相减时，只考虑两换位数换位引起的差值即可，不参加换位的数不必考虑。

现设右换位数b在个位，左换位数a比右换位数高m位，则:

A-B=10ma+b-（10mb+a）=10ma+b-10mb-a=10m（a-b）-（a-b）=（10m-1）（a-b）

当右换位数比个位数高n位时，则:

A-B=10n〔10m（a-b）-（a-b）〕=10n（10m-1）（a-b）

2.2 小数换位差值速算法 小数换位差值速算时，只要注意n为负值即可，其余与整数换位差值速算法相同。

3 关于m，n的取值范围

3.1 m是左换位数比右换位数高出的位数 当左换位数右移至与右换位数重合时（m=0时），即a、b重合，成为一个数了，此时已不能满足数字换位差值速算法的两个数字换位的前提条件，所以把m=0这一点取消。则m的取值范围为：1，2，3，4，5，6……即正整数。

3.2 n取正整数、零、负整数都成立 所以，n的取值范围为：整数。

4 关于A，B两数差值结构形式的研讨

4.1 A，B差值的结构形式：（n=0时）

例如：①21-12=9

261-162=102*（2-1）-（2-1）=100-1=99

2851-1852=103*（2-1）-（2-1）=1000-1=999

②81-18=（8-1）*9=63

801-108=102*（8-1）-（8-1）=700-7=693

8001-1008=103*（8-1）-（8-1）=7000-7=6993

③52-25=（5-2）*9=27

512-215=102*（5-2）-（5-2）=300-3=297

5112-2115=103*（5-2）-（5-2）=3000-3=2997

④94-49=（9-4）*9=45

924-429=102*（9-4）-（9-4）=500-5=495

9224-4229=103*（9-4）-（9-4）=5000-5=4995

4.2 通过实例得知，A，B差值的结构形式为：（n=0时）

9……99；19……98；29……97；39……96；49……95；

59……94；69……93；79……92；89……91。

即，当n=0时，A，B差值的第一位数为：a-b-1，第一位数与最后一位数之和为9，中间的数字都是9（其个数为m-1个）。

4.3 将10n放在运算的最后。

5 速算时应注意的事项

①m=1时，宜选用公式（1）。

②m＞1时，宜选用公式（2）。

③A，B的差值，速算时以绝对值大的减绝对值小的为宜，以利于提高速度，但应考虑正负。

④运算的最后乘以10的n次幂时，需采用规范的表示方法。

如：198×105，写成19800000，或1.98×107

39996×10-2，写成399.96，或3.9996×102

6 速算技巧

6.1 当m=1时，A-B=9（a-b）*10n

例如：A-B=3812511-3182511

①写（说）63 （8-1）*9

②写（说）0000 （乘以104） 即A-B=630000

6.2 当m＞1时

①写（说）第一位数：a-b-1 （当a＜b时，采用b-a-1，但结果前面需加-号）。

②写（说）9，（m-1个9），（a、b之间数字的个数是m-1个，可参照）。

③写（说）9减第一位数的差（第一位数前面的正负号不包括）。

④乘以10n。

例如：A-B=961654123216 -261654123916

①写6 （9-2-1=6）

②写99999999 （8个9）

③写3 （9-6=3）

④写00 （乘以102）

即A-B=699999999300

熟练掌握上述方法后，可不写拖式，直接将结果写出，或干净利落，脱口而出，彰显速算之魅力。

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参考文献：

[1]孙长军.数学速算的技巧及其应用[J].和田师范专科学校学报,2008(03).

[2]李旭.两位数乘两位数的速算法[J].发明与创新(综合版),2006(08).

[3]朝阳.心算乘法速算法（二）[J].齐鲁珠坛,1995(06).