在小学数学问题解决中渗透数学思想方法
2022-06-09
【摘 要】数学问题中蕴含着相当丰富的数学思想，掌握好这些数学思想，对于解决问题、培养能力有非常大的帮助。
【关键词】数学思想 对应 化归 类比 有序
一、数学思想的内涵
《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》（实验稿）指出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和基本的数学方法。”因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一定的数学思想，是素质教育的内涵所在，也是提高学生数学能力和数学品质的重要方法。
数学思想，即人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接指导着数学的实践活动。数学思想的形成并不是一朝一夕、一蹴而就的，应从小学教学就开始。渗透数学思想对学生以后的发展非常重要，不仅有利于学生数学能力的发展，而且对于以后学生走入社会、独立分析和解决问题大有裨益，其影响是深远的。
在解决数学问题中所体现的数学思想其实是很丰富的，下面简要探讨在小学数学问题解决中渗透数学思想方法，列举几种以做参考。
二、在小学数学问题解决中渗透数学思想的策略
（一）对应思想
对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。对应思想是解答一般应用题的常见方法。
如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。再如一年级上册教材中，分别将小兔和小鹿、小猴和小熊、小兔和小鸟一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
（二）化归思想
化归是一种比较典型的数学思想，是指将有待解决的问题转化归结为已知或已解的比较容易的问题去解决。我们常用的化未知为已知、化难为易、化繁为简等都属于化归思想的范畴。任何数学问题的解决过程，都是一个由未知向已知转化的过程。
如：小学数学“鸡兔同笼”问题，出自约1500多年前《孙子算经》，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思就是：在同一个笼子里关有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？
由于原题中数据较大，不利于首次接触该类问题的学生解答，于是运用“化繁为简”的思想，对原题变式为“鸡兔同笼，共有9个头，26条腿，鸡兔各有多少只？”待学生探究出解决此类问题的一般方法后，再换算成原题中的大数据，解决起来就很容易了。这种“化繁为简”思想正是数学能力的表现之一。
再如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法通过“通分”化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等都用了“化未知为已知”的思想。在平面图形面积公式的推导过程中，也以现转化思想为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。
（三）类比思想
学习新知，把新问题与旧知进行类比，找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的迁移。因此，在数学教学过程中要善于利用类比思想，提高解决问题的能力。如：由整数的运算定律类比迁移出小数、分数的运算定律；由分数的基本性质类比迁移出分数、比的基本性质。
再如：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？
1=12；
1+3=4=22；
1+3+5=9=32；
1+3+5+7=42；
…
1+3+5+7+…+99=？
分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，1是一个奇数，等于1的平方；（1+3）是前2个奇数相加，等于2的平方；（1+3+5）是前3个奇数相加，等于3的平方。以此类推，那么最后的算式是前50个奇数相加，等于50的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。
应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。
（四）有序思想
办任何事情，在操作过程中，先做什么，后做什么，按照一定的顺序、步骤进行，习惯上称“次序”，这种蕴含次序的思维方法就是有序思维方法。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。
以“搭配中的学问”为例，问题：一份盒饭含一种主食和一种炒菜，今日午餐主食有米饭、馒头两种，炒菜有鸡蛋西红柿、土豆片、青椒炒肉、烧茄子四种，问一共有多少种不同的配餐方法？
在这里，教师可以将问题中的文字语言转换成数字语言和图形语言。如，用“△”表示主食，用“□”表示炒菜，教师在黑板上第一排画上两个“△”分别表示两种主食，第二排画上四个“□”，分别表示四种炒菜。用不同的颜色先给第一个“△”搭配“□”，有四种搭配方法，再给第二个“△”搭配“□”，也有四种方法。那么就可以得出答案：共有4×2=8种不同的配餐方法。
在解决此类问题时，教师要向学生渗透一种有序的思想。小学生思维、习惯正处于养成时期，教师向学生渗透有序思想，不仅可以提升其数学能力，更能够培养其在生活中的有序习惯。
数学思想还有很多种，如数形结合、符号化、分类、集合、统计、方程等等，鉴于篇幅所限，在此不一一赘述。
三、结语
总之，数学问题中的数学思想非常丰富，本文只是选取了几种进行讲述。解决不同的问题需要用不同的数学思想，有时一个问题包含有多种数学思想，具体如何运用，还需要教师根据实际问题和学生情况来针对性地选择，一切以方便学生学习和使用为宜。
【参考文献】
[1]杨阳.探讨在小学数学教学中如何渗透数学思想方法[J].新课程学习（下），2013（10）.
【关键词】数学思想 对应 化归 类比 有序
一、数学思想的内涵
《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》（实验稿）指出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和基本的数学方法。”因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一定的数学思想，是素质教育的内涵所在，也是提高学生数学能力和数学品质的重要方法。
数学思想，即人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接指导着数学的实践活动。数学思想的形成并不是一朝一夕、一蹴而就的，应从小学教学就开始。渗透数学思想对学生以后的发展非常重要，不仅有利于学生数学能力的发展，而且对于以后学生走入社会、独立分析和解决问题大有裨益，其影响是深远的。
在解决数学问题中所体现的数学思想其实是很丰富的，下面简要探讨在小学数学问题解决中渗透数学思想方法，列举几种以做参考。
二、在小学数学问题解决中渗透数学思想的策略
（一）对应思想
对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。对应思想是解答一般应用题的常见方法。
如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。再如一年级上册教材中，分别将小兔和小鹿、小猴和小熊、小兔和小鸟一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
（二）化归思想
化归是一种比较典型的数学思想，是指将有待解决的问题转化归结为已知或已解的比较容易的问题去解决。我们常用的化未知为已知、化难为易、化繁为简等都属于化归思想的范畴。任何数学问题的解决过程，都是一个由未知向已知转化的过程。
如：小学数学“鸡兔同笼”问题，出自约1500多年前《孙子算经》，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思就是：在同一个笼子里关有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？
由于原题中数据较大，不利于首次接触该类问题的学生解答，于是运用“化繁为简”的思想，对原题变式为“鸡兔同笼，共有9个头，26条腿，鸡兔各有多少只？”待学生探究出解决此类问题的一般方法后，再换算成原题中的大数据，解决起来就很容易了。这种“化繁为简”思想正是数学能力的表现之一。
再如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法通过“通分”化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等都用了“化未知为已知”的思想。在平面图形面积公式的推导过程中，也以现转化思想为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。
（三）类比思想
学习新知，把新问题与旧知进行类比，找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的迁移。因此，在数学教学过程中要善于利用类比思想，提高解决问题的能力。如：由整数的运算定律类比迁移出小数、分数的运算定律；由分数的基本性质类比迁移出分数、比的基本性质。
再如：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？
1=12；
1+3=4=22；
1+3+5=9=32；
1+3+5+7=42；
…
1+3+5+7+…+99=？
分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，1是一个奇数，等于1的平方；（1+3）是前2个奇数相加，等于2的平方；（1+3+5）是前3个奇数相加，等于3的平方。以此类推，那么最后的算式是前50个奇数相加，等于50的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。
应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。
（四）有序思想
办任何事情，在操作过程中，先做什么，后做什么，按照一定的顺序、步骤进行，习惯上称“次序”，这种蕴含次序的思维方法就是有序思维方法。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。
以“搭配中的学问”为例，问题：一份盒饭含一种主食和一种炒菜，今日午餐主食有米饭、馒头两种，炒菜有鸡蛋西红柿、土豆片、青椒炒肉、烧茄子四种，问一共有多少种不同的配餐方法？
在这里，教师可以将问题中的文字语言转换成数字语言和图形语言。如，用“△”表示主食，用“□”表示炒菜，教师在黑板上第一排画上两个“△”分别表示两种主食，第二排画上四个“□”，分别表示四种炒菜。用不同的颜色先给第一个“△”搭配“□”，有四种搭配方法，再给第二个“△”搭配“□”，也有四种方法。那么就可以得出答案：共有4×2=8种不同的配餐方法。
在解决此类问题时，教师要向学生渗透一种有序的思想。小学生思维、习惯正处于养成时期，教师向学生渗透有序思想，不仅可以提升其数学能力，更能够培养其在生活中的有序习惯。
数学思想还有很多种，如数形结合、符号化、分类、集合、统计、方程等等，鉴于篇幅所限，在此不一一赘述。
三、结语
总之，数学问题中的数学思想非常丰富，本文只是选取了几种进行讲述。解决不同的问题需要用不同的数学思想，有时一个问题包含有多种数学思想，具体如何运用，还需要教师根据实际问题和学生情况来针对性地选择，一切以方便学生学习和使用为宜。
【参考文献】
[1]杨阳.探讨在小学数学教学中如何渗透数学思想方法[J].新课程学习（下），2013（10）.