数学符号语言的语法特点研究

朱伊雯

摘　要：数学符号语言脱胎于自然语言，自然语言的语法与数学符号语言的语法也有相通之处。本文简要分析了自然语言的语法与数学符号语言的语法的关系，举例阐述了数学符号语言的语法特点，最后通过类比自然语言的词性分类法将数学符号语言予以分类。

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关键词 ：数学符号 符号语言 语法

一、引言

数学语言包括文字语言、图表语言和符号语言三大类，这三者中最抽象、最能体现数学思维的便是数学符号语言。数学符号语言的抽象性不仅体现在数学符号单个元素的抽象性上，更表现为数学符号语言的语法的抽象性。

在《现代汉语词典》中，对语法的解释是“语言的结构方式，包括词的构成和变化、词组和句子的组织。”数学符号语言的语法便是数学符号语言的结构方式。数学符号语言脱胎于自然语言，那么，数学符号语言的语法与自然语言的语法有怎样的关系？

二、数学符号语言的语法与自然语言的语法的关系

（一）数学符号语言的语法与自然语言的语法的相通之处

从数学符号语言从它的演变来看，教学符号语言是自然语言的一部分，但从逻辑上来看，它又有人工语言的特点。蒙太格在《普遍语法》中认为，自然语言和人工语言没有实质区别，自然语言与人工语言在结构规律方面是相通的。简而言之，数学符号语言的语法与自然语言的语法有相通之处。数学符号语言的语法与自然语言的语法一样，都是随着符号（文字）的产生、发展而日益完善。在很多情况下，数学符号语言的词、句是可以与自然语言进行结构上一一对应的，例如：“Rt∠”（直角）就是“Rt”（直的）与“∠”（角）的组合，就是“直的角”也就是“直角”；“∵l1∥l2，l2∥l3，∴l1∥l3”即“因为……，所以……”这与现代汉语的语法结构完全相同；“6＞5”读作“六大于五”，而“A+形容词+于+B”的语法结构在古代汉语中也存在。

（1）毛先生以三寸之舌，强于百万之师。（《史记·平原君虞卿列传》）

（2）夫子曰：“小子识之，苛政猛于虎也。”（《礼记·檀弓下》）

（二）数学符号语言的语法与自然语言的语法的分化之处

自然语言的语法为数学符号语言语法的早期构建提供了基础。随着数学学科的发展，数学思维所要求的严密性、高度抽象性和概括性，使得数学符号语言的构造更加精密与抽象，数学符号语言的语法特点也逐渐区别于自然语言而显现出来。自然语言是呈线性排列的，词序、语序的变化通常是前后调换的（在空间形式上，由于排版的不同，前后位置不一定指左右、也可能指上下，如在古代，汉字是上下排列的。）。例如：“你救了我”与“我救了你”；“哥哥和弟弟开玩笑”与“哥哥开弟弟的玩笑”；“我回家了先”与“我先回家了”等。然而，数学符号语言有在词序或语序上进行前后变化、上下变化、对角变化等，例如：“4÷2”与“2÷4”；“7/8”与“8/7”；“3 4”与“4 3”；“nlogaM（n∈R）”与“logaMn（n∈R）”。部分数学符号语言是经过多次抽象，故其结构与自然语言有较大差异，例如：“”是由连乘式子“1×2×3×……×10”抽象得来，而四则运算源于加法，乘法也是从加法抽象而来的，学生学习的加法又是从自然语言中的动词“合”“并”所表示的动作中抽象得来的。

三、数学符号语言的语法特点

（一）结构化

在数学表达式中，数学符号并非像普通文字一样呈线性排列，而是有规律地分布在二维空间中。例如：中，以为基准，可以分为内部（x）、水平左部（1/2）、水平右部（+1）和左上部（3）。在数学中有一类较为特殊的运算符号，称为绑定符，它们不但规定了运算的形式，而且也规定着运算操作的作用范围，常见的绑定符号有：∑（求和符号）、∏（求积符号）、∫（积分符号）∪（并集符号）和∩（交集符号）等等。含有绑定符的数学表达式结构化的特点则更为突出，例如：在中，以∑为基准，可以分为水平左部（1/3）、上部（k）、下部（i=1）和水平右部（di-1）。其中“∑”规定运算的形式，水平右部规定了运算操作的对象的形式，而上下部规定了操作对象的范围，水平左部则是在整个操作过后的结果进行一个乘法运算。由于书写习惯的不同，这类数学表达式的上下部也被书写成上下标的形式（在基准符号的右上部与右下部），如：。

（二）抽象性

抽象性是自然语言语法的基本特征，也是数学符号语言的语法特点。数学符号语言语法的抽象性主要体现在两个方面：

1.无限的表达式，有限的规则。如“1+2”“3×4”“11－5”“15÷3”等都是“数字+符号+数字”的形式；“23”“52”“3888”等都是“数字+数字上标”的形式。

2.简要的表达式，复杂的操作。人类部分最基础的运算概念是建立在图与动作（变化）的基础上的，与动作分离的最初思维方式就是将动作图示符号化，所以，最初的符号是可以与操作进行一一对应的。表达式的抽象程度越高，则越难与操作进行对应。例如：“”与“1＋2＋3＋……＋99＋100”，这两者表达的意思一样，但是后者更容易与操作进行对应，所以就语法的抽象程度来说，前者高于后者。

（三）数学符号的分类

由于分类标准的不同，数学符号分类的结果也是不一样的，如有学者按照数学符号的功能，将数学符号分成了元素符号、运算符号、关系符号、约定符号、性质符号和辅助符号。也有学者参考我国的“六书”（汉字的造字六法）对数学符号进行分类。根据数学符号自身的意义与在数学语句表达中的作用，笔者将数学符号与自然语言中的词性分类法作了分类。

1.名词

通常来说，名词是表示人或事物名称的词，如“人、牛、北京、友谊、上面”等等。数学符号中也存在许多名词性符号，“△”表示三角形，“⊙”表示圆，“⌒”表示弧，“∠”表示角，“max”表示最大值，“min”表示最小值。

2.动词

动词是表示人或物的动作、存在、变化的词，如“跑、看、飞、有、起来、上去”等等。相当于数学符号中的“E”（存在，是“exist”首字母大写的翻转）“＋”“－”“×”“÷”“＞”“＜”“＝”“”“”等。可以发现，这些符号的读法在汉语中本身便是动词（后5者是黏宾动词）。

3.数词

表示数目多少或顺序多少的词叫作数词，数词分为序数词和基数词。在数学中，常见的基数有“1”“2”“3”“4”等，而序数通常搭配文字“第”，如“第1”“第2”“第3”等。

4.量词

量词是表示人、事物或动作的单位的词，如“米”“摩”“秒”“千克”“开”“安”“坎”“次”等。相当于数学符号中的“m”“mol”“s”“kg”热力学温度单位“K”发光强度单位“cd”“times”等。

5.代词

代词是代替名词、动词、形容词、数量词、副词的词，包括：人称代词；疑问代词；指示代词。而在数学中存在许多用字母代替具体数的例子，这类字母常见的有“x”“y”“z”“a”“b”“c”等，有时这些字母还会在右下角编号，如“x1”。

6.形容词

形容词是表示人或事物的性质或状态的词，如“高、大、白、冷、安静”等等。在数学中可以发现少数形容词：“”是任意的，是“arbitrary”首字母大写的倒置，“Rt△”中的“Rt”是直的，是“right”的缩写。

7.副词

副词是修饰或限制动词和形容词，表示范围、程度等，而不能修饰或限制名称的词，如“都、很、也、居然、更”等等。离散数学中的模态词“□”（必然）、“◇”（可能）都是典型的情态副词。

8.连词

连词是连接词、词组或句子的词，如“和、与、而且，但是、如果、因为、所以”等等。在数学中，“∵”、“∴”、与“∧”、或“∨”、则“→”这些符号起连接的作用。

这种分类仅仅是简单的类比，数学符号中还有很多符号在数学语句结构中并不充当词语的作用，如：“”，虽然读作“非p”，但在句子结构中它的含义是p的否命题；“∪”的含义是“…与…的并集”；“∩”是“…与……的交集”等等，并非所有数学符号都适用于这种分类方法。

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参考文献：

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[2]于宇.试析蒙太格的普遍语法思想[J].毕节学院学报（综合版），

2009，（7）.

[3]安妮塔·伍尔福克（Anita Woolfolk）著.伍尔福克教育心理学

（第11版）[M].伍新春，赖丹凤，李娇等译.北京：中国人民大学出版社，2012.

[4]徐品方，张红.数学符号史[M].北京：科学出版社，2006.

[5]李宇明.数学语言初见（连载）数量词语的语法特点[J].语言教

学与研究，1986，（22）.

（朱伊雯 浙江宁波 宁波大学教师教育学院 315211）