由悖论看概念的可操作性

摘要：本文主要考察几个常见悖论，指出悖论的产生通常是由于其涉及的概念没有可操作性，并进行了一些分类，最后则把“说谎者悖论”转化为一个可用反证法证明的问题。

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关键词 ：悖论；概念；可操作性

悖论是个很有趣的话题，如有名的“说谎者悖论”——“我在说谎”。这句话是真是假呢？假定它为真，将推出它是假；假定它为假，将推出它是真。

但悖论之所以悖，往往是因为其涉及的概念没有可操作性。区分起来，大致有以下几种情况：（1）概念本身就违反基本的科学定律或常识；（2）概念涉及的对象需要分类，但其分类却不够完备，没有考虑到所有的可能性；（3）概念的界定与通常意义不同，却又不加区分地混用，实际上就是偷换概念；（4）概念的界定不够明确，或者根本没有任何界定，无法应用于具体事物；（5）应用概念时，条件发生了变化，或者引入了额外的因素，而论证时却忽略了。当然，以上的分类并不是那么严格，相互间可能有交叉重叠，甚至有些情况可能都没有被涵盖。

实际上，“说谎者悖论”还包含一个隐性假设：单单从这句话我们可以判断它的真假。但这是不可能的，除了逻辑上永真或永假的命题，其他任何命题我们都不能只从命题本身来判断真假。事实上，“我在说谎”并不涉及任何实质性的内容，根本就无从判断。既然不可能，那么上面假定怎么样将会怎么样的推理，就只不过是毫无意义的屠龙术。其分类可归于（1），也可归于（2）。

再比如芝诺有名的“ 飞矢不动悖论”——射出去的箭是不动的：因为芝诺认为箭在每一个瞬间都有确定的位置，占据着和自身体积一样大小的空间，并由此认定箭在每一瞬间都不动；既然箭在每一瞬间都不动，它又怎么会动呢？我们必须说，芝诺对“不动”的界定并不符合通常的定义——在考察的时段内（无论多么短，都不能为零），每一个瞬间都在同一个位置；实际上，在一个长度为零的单一瞬间，是不可能定义“不动”的。而且，每一个瞬间都有确定的位置，并不必然意味着每一个瞬间都在同一个位置，还可以每一瞬间在确定但不同的位置——按照通常的定义，这其实就是“动”。另外，芝诺在悖论里并没有对“动”进行定义，事实上，如果把每一个瞬间都有确定的位置定义为“不动”，根本就不可能再定义“动”。分类上可归于（3），也可归于（4）。

芝诺还有一个“阿基里斯追龟悖论”，如果用箭代替阿基里斯，并假设乌龟不动，则该悖论可以简化为：一支箭永远不可能从A点飞到B点。仿照芝诺的“二分悖论”，可以这样论证：一支箭要从A点飞到B点，必先飞到AB的中点，而从中点到B点还有中点，……如此下去有无数的中点，永远不可能到达B点。当然，在“二分悖论”中，芝诺找中点的方向刚好和我们相反，但实质上是同一回事——用庄子的话说，即“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

有人认为，该悖论的问题在于空间的无限可分性是不真实的——据说，古希腊的哲人提出原子论就是为了规避这一悖论。原子论当然可以规避这一悖论，但这似乎也不是问题的全部。还有人认为，悖论的根源是芝诺没有极限的概念，不知道无穷级数之和也可能收敛。但即使如此，如果你问芝诺：一尺之棰分无数段，再照原样接起来会是多长？我们想，他的回答应该是一尺，而不会是无限长。（不过，如果真这么想的话，不需要任何的数学技巧，芝诺至少是可以得出1＝1/2+1/4+1/8+……的结论，至于这结论最早由谁提出，还有待考证。）

有一个问题是，“一尺之棰”和“万世不竭”是怎么联系起来的呢？“ 日取其半”！也就是说，“取其半”这个操作总对应一“日”的时间；或者说，空间虽然是无限可分的，但时间却不是。当然，芝诺并没有像庄子一样，明确规定他找中点的操作和时间之间的具体关系，但从操作性上考虑，我们认为，芝诺实际上是依赖了一个类似庄子那样的隐性假设。或者说，一支箭永远不可能从A点飞到B点，应该理解为：一支箭从A点飞到B点，需要无限长的时间。

但如果时间也无限可分，就不见得是悖论了。至少，我们是可以这样设想一个操作：让空间上一段距离对应一段时间间隔，相应于空间距离上找中点的操作，也有一个时间间隔上找中点的操作，两者一一对应，同时完成；并且规定每次找中点的操作所需的时间，就是上一次找中点后剩余时段的一半。这样，虽然操作仍是无限的，但总时间却是有限的，也就是说：一支箭可以在有限的时间内，从A点飞到B点。

也许有人说，即使时间无限可分，如果像下面这样来规定操作，似乎也还是悖论：第一次找中点的操作用1 秒时间完成，第二次用1/2秒，第三次用1/3秒，……简而言之，即第n次用1/n秒。由于1＋1/2+1/4+1/8+……是发散的，所以需要的时间仍然是无限长。

真正的问题其实在于，不论是这个操作，还是“日取其半”的操作，实际上都是规定箭在减速运动，而且箭趋近于B点时的极限速度为零。这显然违背伽利略的惯性原理：如果不考虑空气阻力以及重力影响的话，箭在射中目标前应该保持匀速直线运动；实际上，只有我们前面给出的操作，才满足这一要求。

当然，芝诺不可能知道惯性原理，不过，即使从古希腊运动需要力维持的观点看，减速也应该需要力是变化的。既然有变化因素存在，不同的情况得出不同的结论，实在是很自然的事情；各有原因的不同结论之间，当然不存在“悖”的问题。这样理解的话，分类可归于（5）。

下面，我们来看罗素悖论，《现代数学引论》的表述如下——“每个集合S本身不能又是S的元素”（也即S ? S），“如果允许S∈S，就会混淆层次，导致矛盾。把一切集合分成以下A和B两类：A={S∣S ? S}，B={S∣S∈S}。则每个集合都属于其中一类，我们问集合A属于哪一类？如果A属于A，这和A的定义矛盾；如果A属于B，自然A就不属于A，这有和B的定义矛盾。”

首先，这涉及到怎么理解“每个集合S”的问题。我们认为，“每个集合S”应该理解为——S可以代表任何一个集合：那么，如果允许S∈S，其实也就是说任何一个集合都具有自身是自身元素的性质，那就不可能还有自身不是自身元素的集合；同理，如果允许S ? S，也就不可能还有自身是自身元素的集合。换句话说，集合要么只有A 类，要么只有B 类，不可能既有A类，又有B类。很显然，罗素并不是这么理解的。

其次，即使集合既有A类，又有B类，罗素悖论仍有一个致命的缺陷——A 类和B类的二分法并不完备，也即A类和B类并不能涵盖一切集合。因为集合既有A类，又有B类，我们当然可以从A类和B类中各取一个集合，来构成一个新的集合C，很显然，集合C就既不属于A类也不属于B类。

另外，我们认为，单纯从悖论本身的分析来看，似乎也只能得出这样的结论：导致矛盾的是S ? S，而不是S∈S。因为，按我们引述的分析，即使排除S∈S，集合A依然无法归类，不能自洽。但如果我们问，集合B 属于哪一类？依照其分析逻辑，集合B属于B类是符合定义的，反倒很是自洽。事实上，从归谬法或反证法的角度看，如果要排除S∈S的可能性，后者才是真正应该问的问题。

也许，根本的问题在于，罗素对S∈S和S ? S的理解有问题。我们认为，一个集合是其自身的一个元素（S∈S），应该理解为，一个集合只是自身的一部分（或者说，一个集合小于自身），但这是违反同一律的：对于“每个集合S”，同一律即S＝S，应该理解为，一个集合是且仅是自身的全部。而一个集合不是自身的一个元素（S? S），则应该理解为，一个集合不可能只是自身的一部分；当然，一个集合也不可能大于自身（最简单的理解是把S ? S倒着看，复杂一点的话，就把一个集合大于自身，理解为S∈S倒着看，然后用同一律否定）。所以，在实质上，S ? S就是同一律S＝S。同时要说明的是，S∈S还违反矛盾律：一个集合既小于自身（正着看）又大于自身（倒着看）。

事实上，如果承认S∈S，我们还会遇到一个麻烦——没有空集和全集的概念。没有空集比较好理解：假设存在空集，因为S∈S，空集自身就是它自身的一个元素，既然有元素，当然不可能是空集了。至于没有全集，最好还是从违反同一律或矛盾律的角度来理解。当然，我们似乎也可以这样反证：假设存在一个全集，根据S∈S，我们可以构造一个更大的全集，而这就意味着之前假设的全集是不全的。但是，这个论证的有效性是很值得怀疑的，因为在S∈S的情况下，全集本来就是一个绕来绕去、纠缠不清的概念。

以上所述各种谬误，其实并不仅仅局限于悖论，即便有的所谓定理，也只不过是谬误导致的结果。比如大名鼎鼎的“科斯定理”—— 如果产权清晰且交易费用为零，那么在资源配置的最优化上，“对损害不负责任”和“对损害负有责任”的两种定价制度是等效的。

一般而言，经济学上的资源配置最优化都是帕累托最优意义上的，也即需要满足一个必要条件——不能有任何人权益受损，或者说，被损害的必须得到足够补偿：显然，在“对损害不负责任的定价制度”里，这是不可能的。因而，在帕累托最优的意义上，两种定价制度根本无法进行比较；不但如此，即使同为“对损害负有责任的定价制度”，并且交易费用为零，不同的初始产权界定间，也是没有可比性的。事实上，《科斯定理真是产权清晰的么》已经论证，在“对损害不负责任的定价制度”里，即使交易费用为零，也不可能界定产权。

“科斯定理”的得出，其实是因为科斯的失误，或者说偷换概念：他居然把资源配置最优化误解或歪曲为产值最大化——而产值最大化不需要上面的必要条件，无论在什么情况下，只要能求解出来，就可以进行比较。当然，有人可能辩解说，科斯对“资源配置最优化”的定义就是“产值最大化”，只是他这个定义和通常的不一样，其他经济学家误解了；但如果这样的话，通篇使用“产值最大化”会更简单明了，何必还要混用呢？或许，这样的误解，正是他希望的？

最后要说的是，如果没有偷换概念的话，特别是可归于（2）的悖论，其实能转化为一个用反证法证明的问题。比如“说谎者悖论”，可以这样转化，试用反证法证明——不可能只根据“我在说谎”这句话来判断其真假。证明大致如下：先假设能只根据这句话自身判断真假，再假设它假将推出它真，假设它真又推出它假；但一个命题不可能既真又假，所以前提假设错误，论题得证。

总之，悖论说到底还是概念的问题，要考察一个悖论，我们不妨先从其概念是否具有可操作性入手。

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参考文献

[1]杜珣. 现代数学引论[M]. 北京大学出版社，1998.

[2]黄汝广. 科斯定理真是产权清晰的么[J]. 南方论刊，2014（01）.

（作者单位：深圳南天电力有限公司）