数学建模策略的教学原则

　　摘要：文章指出数学建模策略是数学建模过程中选择解决方法、采取解决步骤的指导方针，在数学建模过程中发挥着重要作用，实施数学建模策略教学是培养学生数学建模能力的重要途径；数学建模策略的教学应遵循以下原则：基于数学建模案例、寓于数学建模方法、揭示一般思维策略、强化自我监控意识。

　　关键词：数学建模策略；教学原则；

　　作者简介：李明振(1965-)男，河南延津县人，副教授，主要从事数学建模的认知与教学研究.

　　自20世纪70年代起，英、美等国的许多大学相继开设了数学建模课程。迄今为止，我国绝大多数高校也已相继将数学建模作为理科专业的必修课程之一。经过多年的实践探索，数学建模教学取得了一定成效，但效果并不尽人意[1-3]。究其重要原因之一在于，缺乏科学有效的数学建模教学理论指导。亟需深入开展数学建模课程的教学研究，建立科学有效的数学建模教学理论，以有效指导数学建模教学实践。

　　所谓数学建模策略是指在数学建模过程中选择解决方法、采取解决步骤的指导方针，是选择、组合、改变或操作与当前数学建模问题解决有关的事实、概念和原理的规则。它们在数学建模过程中发挥着重要作用，以有效的数学建模策略为指导，将有助于减少数学建模过程中试误的任意性和盲目性，节约数学建模所需时间，提高数学建模的效率和成功概率。数学建模策略一旦被学生真正理解、熟练掌握、自觉运用和广泛迁移，即转化为思维能力。研究表明，优秀学生与一般学生在数学建模的表征策略、假设策略、模型构建策略、调整策略等方面均存在差异。优秀学生在数学建模策略的掌握与运用方面具有较高水平，而一般学生的数学建模策略运用水平较低[4]。数学建模策略差异是优生与一般生数学建模水平差异的主要原因。掌握一些有效的数学建模策略，既是数学建模教学的重要目标，也是提升学生数学建模能力的重要步骤，实施数学建模策略的教学能有效培养学生的数学建模能力，应将数学建模策略的教学放在重要位置。开展数学建模策略的教学研究，不仅能拓展和丰富数学建模教学理论，而且对数学建模教学实践具有重要指导意义。然而，迄今未见关于数学建模策略教学问题的研究。鉴于此，基于数学建模的认知与教学研究[5-7]和多年从事高校数学建模教学的实践，笔者认为，数学建模策略的教学应遵循如下四个原则。

　　一、基于数学建模案例

　　策略性的知识是具有抽象性、概括性的知识，这种知识的学习必须和具体的经验结合起来，才能真正领悟与掌握。否则，只会是死记策略性知识的字词，而难以真正理解与熟练运用。因此，数学建模策略的教学应基于对数学建模案例的解析与探索，使学生在多种新的现实问题情境中“练习”利用所要习得的数学建模策略，实现数学建模策略的经验化。为此，在数学建模教学中，一方面，针对每种数学建模策略的案例练习均应涵盖丰富的现实问题，应在多个现实问题的应用中向学生揭示数学建模策略的不同方面。由于不同的问题蕴涵不同的情境，运用同一数学建模策略的不同问题，会反映出数学建模策略的不同侧面与特性。因此，对某种数学建模策略应拟定多个可运用的不同情境的现实问题案例，从而为该数学建模策略提供丰富的情境支持；另一方面，应注重审视与解析每个现实问题的解决过程所涉及的多种数学建模策略，通过对同一现实问题的多种数学建模策略运用的审视与解析，厘清各种数学建模策略之间的关系。一个数学建模问题案例实质上意味着多种数学建模策略在此特定的情境中发生特定的联系，解析一个数学建模问题的过程就是将多种数学建模策略迁移至此情境的过程，关注每个现实问题所包含的多种数学建模策略的应用，有助于理解和掌握多种数学建模策略在解决同一情境问题时的有效协同。实施同一数学建模策略的多个现实问题建模案例应用和同一现实问题建模案例的多种数学建模策略分析相交叉的教学，能够有效加强记忆的语言表征与情节表征之间的联系，不仅可使学生形成对数学建模策略的多维度理解，将数学建模策略与具体应用情境紧密联系起来，形成背景性经验，而且有利于针对现实问题情境构建用于引导解决现实问题的数学建模策略的应用模式。将抽象的数学建模策略与鲜活的现实问题情境相联系，加强了理性与感性认知的有机联系，有助于促进数学建模策略学习的条件化。即知晓数学建模策略在何种条件下使用，一旦遇到适合的条件就能自觉使用，从而有助于增强数学建模策略的灵活运用和广泛迁移。

　　二、寓于数学建模方法

　　所谓数学建模方法是指为解决现实问题而构造刻划现实问题这一客观原型的数学模型的方法。数学建模方法在数学建模中具有重要作用。数学建模策略与数学建模方法之间存在密切的关系。一方面，数学建模方法从层次上低于数学建模策略，是数学建模策略对数学建模过程发生作用的媒介和作用点，离开数学建模方法，数学建模策略将难以发挥作用；另一方面，数学建模策略是对数学建模问题解决途径的概括性认识和通用性思考方法，是数学建模方法对数学建模过程发生作用的指导性方针，引导主体在何时何种情况下如何运用数学建模方法。如果缺乏数学建模策略的有效指导，数学建模方法的运用就会陷于盲目，势必导致无从下手或误入歧途。数学建模教学中，如果仅关注于数学建模方法而忽视数学建模策略，那么，所习得的数学建模方法就很难迁移运用于新的数学建模问题情境；如果仅关注数学建模策略而忽视数学建模方法，那么所获得的数学建模策略难免限于表面化和形式化，从而难以发挥其对数学建模方法和数学建模过程的指导作用。因此，在数学建模策略教学中，应寓数学建模策略于数学建模方法教学之中，应有意识加强数学建模策略与数学建模方法之间的联系。为此，应基于具体的数学建模案例，尽力挖掘所用数学建模策略与所用数学建模方法之间的内在联系与对应规律。一种数学建模策略可能会对应多种数学建模方法，同样，一种数学建模方法也可能对应多种数学建模策略。应在数学建模策略与其所对应的数学建模方法之间对可能的匹配关系进行审视与解析，以揭示所运用的数学建模策略之间、数学建模方法之间以及二者之间的内在协同规律。

　　三、揭示一般思维策略

　　一般思维策略是指适用于任何问题解决活动的思维策略。它包括：(1)解题时，先准确理解题意，而非匆忙解答；(2)从整体上把握题意，理清复杂关系，挖掘蕴涵的深层关系，把握问题的深层结构；(3)在理解问题整体意义的基础上判断解题的思路方向；(4)充分利用已知条件信息；(5)注意运用双向推理；(6)克服思维定势，进行扩散性思维；(7)解题后总结解题思路，举一反三等等。此外，模式识别、媒介过渡、进退互用、正反相辅、分合并用、动静转换等也属于一般思维策略范畴。通过深度访谈发现，相当一部分学生希望老师在数学建模教学时教给他们一些一般思维策略，但数学建模教学实践中，往往忽视一般思维策略的教学。一般思维策略在层次上高于数学建模策略，在数学建模过程中，它通过数学建模策略影响数学建模思维活动过程。而数学建模策略是沟通一般思维策略与数学建模过程的纽带与桥梁，受一般思维策略的指导，是一般思维策略指导数学建模过程的作用点。离开一般思维策略的指导，数学建模策略的作用将受到很大限制。因此，在数学建模策略教学过程中，应向学生明确揭示数学建模活动过程所蕴含和所运用的一般思维策略，并鼓励学生在数学建模实践活动中有意识地使用，使学生充分领悟一般思维策略对数学建模策略运用的重要指导作用，增强数学建模策略运用的灵活性，实现数学建模策略的迁移，提升数学建模能力。

　　四、强化自我监控意识

　　数学建模自我监控是指在数学建模过程中建模者对自己的数学建模认知活动实施计划、检查、评价、反馈、调节和控制。数学建模自我监控直接指向数学建模的认知活动过程，对一般思维策略和数学建模策略及数学建模方法的选择、转换、执行等具有导向、监控和调节作用，能调动学生在数学建模过程中的自我意识，监控数学建模认知活动的实施过程，主动积极地对数学建模的认知活动进行自我反馈，依据反馈信息进行分析，发现数学建模认知过程中存在的问题及时调节、评价各种数学建模策略的可行性和有效性。数学建模自我监控能使学生既注意加工的客观信息，又注意加工过程本身，从而扩大了学生对数学建模活动中认知注意的范围，既有助于其对问题条件、问题要求及其关系的全面把握和深刻理解，又能促进对一般思维策略和数学建模策略的使用条件和基本程序的意识，从而使学生对数学建模策略的理解和掌握达到更高、更深层次，减少数学建模策略运用的盲目性，提高数学建模成功概率。然而，笔者在访谈中发现，许多学生数学建模自我监控的意识淡薄，水平较低。在数学建模策略教学中，强化数学建模自我监控意识，有助于使学生关注自己数学建模过程的认知，使其不仅将注意力指向数学建模问题本身，而且指向自己的数学建模认知加工过程，从而有助于学生意识到所运用的数学建模策略以及使用这些策略的过程，有助于学生及时监视、评价、调整自己所运用的数学建模策略，有助于增进学生对数学建模策略使用的积极情感体验，从而实现认知和情感目标的双向发展。因此，在数学建模活动过程中，应对学生进行数学建模自我监控训练，鼓励学生对自己所用数学建模策略进行自我检视、解释和反思，从而实现数学建模策略运用和数学建模监控水平的互相促进与协调发展。