对小学数学教师本体性知识缺失问题的思考
2022-06-08
教师的专业知识可以分为本体性知识（学科知识）、条件性知识（教育理论）和实践性知识（教学经验）。大多数教师知道“如何去教”和“如何去管”，但对“是什么”与“教什么”却略感不足。笔者从“图形与几何”领域对教师学科本体性知识缺失情况进行调查和了解，方式包括解题与实际授课，并撰文如下。
【考题1】一个32 cm×40 cm的矩形，其中，点A、B、C、D分别在它的四条边上，如图1所示。已知点C比点A低20 cm，点D比点B更靠近左侧8 cm，请问四边形ABCD的面积为多少cm2？
正确率：准入45？郾1%，在职12？郾2%。
【考题2】在图2中，点A与点B分别为半径14 cm与半径28 cm的两个四分之一圆的圆心。请问图中区域I与区域II的面积之差为多少cm2？（取π=）
正确率：准入52？郾6%，在职16？郾9%。
【考题3】在一个正三角形中内接一个圆。圆内又接一个正三角形，如右图。外面的大三角形和里面的小三角形的面积比是多少？
正确率：准入62？郾3%，在职25？郾5%。
【教学案例1】三角形的内角和。
三角形的内角和推导出来后，教师：“三角形的内角和是？”学生：“180°。”可是，有一位将三角形画在篮球面上的学生说：“老师，这个三角形的内角和大于180°。”教师（略一停顿）强调说：“所有的三角形内角和都是180°。”
【评析】其实，“三角形内角和等于180°”只是“欧几里得平面几何学”中的一个定理。但如果在非欧几何里，三角形的内角和就不一定等于180°。
【教学案例2】轴对称图形。
教师展示美丽的“爱心”“蝴蝶”“脸谱”图案。教师：“看，把它们对折，能完全重合，因此它们都是对称图形。”一位眼尖的学生说：“蝴蝶左边的一个黑点比右边的小，不完全对称，所以它不是对称图形。”学生议论纷纷，教师莫衷一是。
【评析】其实，对称图形作为一种基本的图形变换，表现的方式很多，轴对称图形是研究平面图形而不是实物，呈现图形时，教师应该处理好生活与数学的关系，对生活原型进行加工，舍弃非本质属性。“蝴蝶”图案，教师课前可以进行处理和矫正。当然，图案中的一个“小黑点”也可看做“非本质”因素，可不予考虑。
【教学案例3】教师编题。
教师编题，学生练习，其中有两道题如下：
①求直角梯形的周长与面积（单位：cm）。（图4）
②一张长方形纸折成图5形状，求阴影面积。
【评析】教师在出题过程中不够细心的情况屡见不鲜，如以上两题，教师给的条件有误。在直角三角形中，三边的关系应符合勾股定理。
【教学案例4】教师讲评。
图6是一个长方体的展开图。如果F面在前面，从左面看是B面，那么哪一面在上面？
教师讲评，结论为：C面。
【评析】上题应该有两种答案，教师所答的只为其中一种。F面上翻时，正确答案是E。F面下翻时，正确答案是C。多数教师在解题过程中容易因见过太多相似题目而不加思考，不以不同角度审视题目，因而无法带动学生多方面思考。
在组织教师集备的时候，当被问到诸如这样的问题：“你了解小学几何中的蝴蝶定理吗？”“两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？”“你知道斐波那契数列吗？”“你清楚慕课是什么吗？”等，知之者不多。还有一些问题如：“周长能不能指？面积能不能摸？”“立体图形有周长吗？”“为什么三角形不叫三边形？”“圆的直径就是圆的对称轴，对吗？”等，教师也难以从专业的角度进行分析与思考。
从上述调查中我们发现，在职教师和准入教师的学科本体知识都存在缺失现象，且在职教师比准入教师缺失的比率更高。课堂观察和调研中我们发现，教师在概念、定理教学，编题、审题、解题等方面的处理都不是很到位，对某些概念的内涵与外延，规律的现象与本质，目标的分解与重组，数据的分析与推断等均有缺失，且日益明显。那么，缺失的原因是什么？
1. 教师职前的专业知识不扎实。
在答题调查中，准入教师的解题正确率不高，显示出教师职前在部分领域中数学知识掌握不扎实，分析、解决问题能力不强。如题3，受考查的准入教师鲜有“将圆内接正三角形旋转180度”，即对图形进行运动变化、灵活解答，而是通过假设半径，分别求出大、小三角形的面积之后再求出它们的面积比，这暴露出了准入教师创新能力不足的问题。一名新教师在教学“角的度量”时，学生问：“周角是一条射线，一条边吗？”教师无法回答。其实，在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图像。任何角都是由相交的两条边组成的，只不过周角是特殊的角，它的两条边重合了，所以只要它作为角的条件存在，就是两条射线。
2. 教师入职后的教学存在思维惯性。
惯性思维常会造成个人思考事物时出现盲点，而且缺乏创新或改变的可能。本文中的教学案例三“教师编题”和教学案例四“教师讲评”，教师所犯的错误并非完全因为知识遗忘，也可能是因为接触太多，形成了思维惯性。“女生有x人，男生人数是女生的2倍，则2x+x代表男、女生人数之和，那么2x-x代表什么？”大部分教师的答案是“代表男、女生人数之差”，但其实它也代表女生的人数。
3. 课标的修订与课程的改革。
《义务教育数学课程标准（2011）》修订后，为了充分考虑数学本身的特点并体现数学的本质，在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，更重视学生已有经验和实际生活。课改后的数学课程无论从形式上还是内容上都有很大的变化：结论少了、探究多了，模式少了、创新多了，封闭少了、开放多了。这种变化在提高知识学习灵活性的同时，也大大提高了对于教师学科知识的要求。
随着社会发展与科技进步，学生的知识来源越来越丰富，且学生在课堂中的主体地位越来越被重视，教学过程中师生的互动增加，学生的思维被激活。在这样的环境下，教师知识的盲点就逐渐暴露了出来。针对造成小学数学教师本体性知识缺失的原因，笔者提出以下对策。
1. 优化职前学科课程的内容与设置。
为了提高职前教师的数学水平，教育类专业的课程体系、教学内容等方面亦需要加快改革和调整的步伐。提高数学专业课程设置的时效性和针对性是提高教师数学本体知识的关键。因此，笔者建议可根据教师目前缺失的知识内容开设更多专业课程门类，如丰富“图形与几何”领域的内容，增设概率、统计、理财等章节内容，让师范生透过对数学专业知识的深入学习提高数学素养，获得数学理论、探究方法与思维能力等。同时，亦要注重数学专业知识的系统性和开放性，不仅提高他们对数学知识掌握的深度与广度，亦提高他们的创新能力，为未来创新教育做铺垫。除了加强数学专业知识外，数学课程亦应该加强课程的实践性与应用性，注重教育知识与学科知识的有机融合，使之内化为教师的实际能力。
2. 注重在职教师培训的技巧和实效。
我国重视教师职业培训和继续教育，各种培训层出不穷，已经形成了“模式”和“套路”。然而，当前中小学教师的继续教育工作，更多的着眼于教师的职业道德、教育理论、教育教学能力等方面的培训上。其实，教师继续教育的任务，就其目标和内容来说，不能把学科本体知识和教育教学知识割裂开来，应该把本体性知识和条件性知识、实践性知识统筹起来。
培训机构既要展示教学方法和技巧，亦要将数学理论与教学实践相结合，加强知识点的系统性以及结论的严谨性。举例来说“圆的认识”，修订后的人教版教材就未给“圆”下明确的定义，只是说“从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆”。然后问：“你能在纸上画一个圆吗？”意在让学生观察与操作。虽然书上没给“圆”下明确的定义，但在培训中，应当让教师明了圆是一类事物，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，即“一中同长”，这是圆的本质属性。圆的概念就是这一本质属性的反映。应当让教师在教学中把握圆的本质属性，有效建构数学模型，提高学生解决问题能力。同时，还要让教师正确了解圆的相关知识，如弧和弦、内心和外心、圆心角和圆周角、外接圆和内切圆等。使之在探究事物本质，沟通知识联系中更加应对自如，为学生的可持续发展服务。
3. 帮助教师实现自我的提升与飞跃。
本体性知识是教师胜任职位的根本。它要求教师对学科知识的掌握要有一定的深度和广度，要了解学科知识的背景，发生、发展的过程，掌握该学科的实验和研究方法，同时完成学科知识的自我消化和吸收，并清楚准确地表达。学校及研训单位要让教师深刻地意识到，丰富的本体性知识能够帮助我们更好地调控课堂，激发学生的求知欲，引导学生有效建构、合情推理、正确表达。活到老学到老，再忙也不忘“充电”。储备充分了，解读到位了，教师才能轻松应对学生提出的各种奇思妙想，才能引领学生发现、提出问题，分析和解决问题，进而让教师在教学中思考，在思考中提升，在提升中飞跃。
（作者单位：福建省福州教育学院附属第一小学）
【考题1】一个32 cm×40 cm的矩形，其中，点A、B、C、D分别在它的四条边上，如图1所示。已知点C比点A低20 cm，点D比点B更靠近左侧8 cm，请问四边形ABCD的面积为多少cm2？
正确率：准入45？郾1%，在职12？郾2%。
【考题2】在图2中，点A与点B分别为半径14 cm与半径28 cm的两个四分之一圆的圆心。请问图中区域I与区域II的面积之差为多少cm2？（取π=）
正确率：准入52？郾6%，在职16？郾9%。
【考题3】在一个正三角形中内接一个圆。圆内又接一个正三角形，如右图。外面的大三角形和里面的小三角形的面积比是多少？
正确率：准入62？郾3%，在职25？郾5%。
【教学案例1】三角形的内角和。
三角形的内角和推导出来后，教师：“三角形的内角和是？”学生：“180°。”可是，有一位将三角形画在篮球面上的学生说：“老师，这个三角形的内角和大于180°。”教师（略一停顿）强调说：“所有的三角形内角和都是180°。”
【评析】其实，“三角形内角和等于180°”只是“欧几里得平面几何学”中的一个定理。但如果在非欧几何里，三角形的内角和就不一定等于180°。
【教学案例2】轴对称图形。
教师展示美丽的“爱心”“蝴蝶”“脸谱”图案。教师：“看，把它们对折，能完全重合，因此它们都是对称图形。”一位眼尖的学生说：“蝴蝶左边的一个黑点比右边的小，不完全对称，所以它不是对称图形。”学生议论纷纷，教师莫衷一是。
【评析】其实，对称图形作为一种基本的图形变换，表现的方式很多，轴对称图形是研究平面图形而不是实物，呈现图形时，教师应该处理好生活与数学的关系，对生活原型进行加工，舍弃非本质属性。“蝴蝶”图案，教师课前可以进行处理和矫正。当然，图案中的一个“小黑点”也可看做“非本质”因素，可不予考虑。
【教学案例3】教师编题。
教师编题，学生练习，其中有两道题如下：
①求直角梯形的周长与面积（单位：cm）。（图4）
②一张长方形纸折成图5形状，求阴影面积。
【评析】教师在出题过程中不够细心的情况屡见不鲜，如以上两题，教师给的条件有误。在直角三角形中，三边的关系应符合勾股定理。
【教学案例4】教师讲评。
图6是一个长方体的展开图。如果F面在前面，从左面看是B面，那么哪一面在上面？
教师讲评，结论为：C面。
【评析】上题应该有两种答案，教师所答的只为其中一种。F面上翻时，正确答案是E。F面下翻时，正确答案是C。多数教师在解题过程中容易因见过太多相似题目而不加思考，不以不同角度审视题目，因而无法带动学生多方面思考。
在组织教师集备的时候，当被问到诸如这样的问题：“你了解小学几何中的蝴蝶定理吗？”“两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？”“你知道斐波那契数列吗？”“你清楚慕课是什么吗？”等，知之者不多。还有一些问题如：“周长能不能指？面积能不能摸？”“立体图形有周长吗？”“为什么三角形不叫三边形？”“圆的直径就是圆的对称轴，对吗？”等，教师也难以从专业的角度进行分析与思考。
从上述调查中我们发现，在职教师和准入教师的学科本体知识都存在缺失现象，且在职教师比准入教师缺失的比率更高。课堂观察和调研中我们发现，教师在概念、定理教学，编题、审题、解题等方面的处理都不是很到位，对某些概念的内涵与外延，规律的现象与本质，目标的分解与重组，数据的分析与推断等均有缺失，且日益明显。那么，缺失的原因是什么？
1. 教师职前的专业知识不扎实。
在答题调查中，准入教师的解题正确率不高，显示出教师职前在部分领域中数学知识掌握不扎实，分析、解决问题能力不强。如题3，受考查的准入教师鲜有“将圆内接正三角形旋转180度”，即对图形进行运动变化、灵活解答，而是通过假设半径，分别求出大、小三角形的面积之后再求出它们的面积比，这暴露出了准入教师创新能力不足的问题。一名新教师在教学“角的度量”时，学生问：“周角是一条射线，一条边吗？”教师无法回答。其实，在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图像。任何角都是由相交的两条边组成的，只不过周角是特殊的角，它的两条边重合了，所以只要它作为角的条件存在，就是两条射线。
2. 教师入职后的教学存在思维惯性。
惯性思维常会造成个人思考事物时出现盲点，而且缺乏创新或改变的可能。本文中的教学案例三“教师编题”和教学案例四“教师讲评”，教师所犯的错误并非完全因为知识遗忘，也可能是因为接触太多，形成了思维惯性。“女生有x人，男生人数是女生的2倍，则2x+x代表男、女生人数之和，那么2x-x代表什么？”大部分教师的答案是“代表男、女生人数之差”，但其实它也代表女生的人数。
3. 课标的修订与课程的改革。
《义务教育数学课程标准（2011）》修订后，为了充分考虑数学本身的特点并体现数学的本质，在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，更重视学生已有经验和实际生活。课改后的数学课程无论从形式上还是内容上都有很大的变化：结论少了、探究多了，模式少了、创新多了，封闭少了、开放多了。这种变化在提高知识学习灵活性的同时，也大大提高了对于教师学科知识的要求。
随着社会发展与科技进步，学生的知识来源越来越丰富，且学生在课堂中的主体地位越来越被重视，教学过程中师生的互动增加，学生的思维被激活。在这样的环境下，教师知识的盲点就逐渐暴露了出来。针对造成小学数学教师本体性知识缺失的原因，笔者提出以下对策。
1. 优化职前学科课程的内容与设置。
为了提高职前教师的数学水平，教育类专业的课程体系、教学内容等方面亦需要加快改革和调整的步伐。提高数学专业课程设置的时效性和针对性是提高教师数学本体知识的关键。因此，笔者建议可根据教师目前缺失的知识内容开设更多专业课程门类，如丰富“图形与几何”领域的内容，增设概率、统计、理财等章节内容，让师范生透过对数学专业知识的深入学习提高数学素养，获得数学理论、探究方法与思维能力等。同时，亦要注重数学专业知识的系统性和开放性，不仅提高他们对数学知识掌握的深度与广度，亦提高他们的创新能力，为未来创新教育做铺垫。除了加强数学专业知识外，数学课程亦应该加强课程的实践性与应用性，注重教育知识与学科知识的有机融合，使之内化为教师的实际能力。
2. 注重在职教师培训的技巧和实效。
我国重视教师职业培训和继续教育，各种培训层出不穷，已经形成了“模式”和“套路”。然而，当前中小学教师的继续教育工作，更多的着眼于教师的职业道德、教育理论、教育教学能力等方面的培训上。其实，教师继续教育的任务，就其目标和内容来说，不能把学科本体知识和教育教学知识割裂开来，应该把本体性知识和条件性知识、实践性知识统筹起来。
培训机构既要展示教学方法和技巧，亦要将数学理论与教学实践相结合，加强知识点的系统性以及结论的严谨性。举例来说“圆的认识”，修订后的人教版教材就未给“圆”下明确的定义，只是说“从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆”。然后问：“你能在纸上画一个圆吗？”意在让学生观察与操作。虽然书上没给“圆”下明确的定义，但在培训中，应当让教师明了圆是一类事物，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，即“一中同长”，这是圆的本质属性。圆的概念就是这一本质属性的反映。应当让教师在教学中把握圆的本质属性，有效建构数学模型，提高学生解决问题能力。同时，还要让教师正确了解圆的相关知识，如弧和弦、内心和外心、圆心角和圆周角、外接圆和内切圆等。使之在探究事物本质，沟通知识联系中更加应对自如，为学生的可持续发展服务。
3. 帮助教师实现自我的提升与飞跃。
本体性知识是教师胜任职位的根本。它要求教师对学科知识的掌握要有一定的深度和广度，要了解学科知识的背景，发生、发展的过程，掌握该学科的实验和研究方法，同时完成学科知识的自我消化和吸收，并清楚准确地表达。学校及研训单位要让教师深刻地意识到，丰富的本体性知识能够帮助我们更好地调控课堂，激发学生的求知欲，引导学生有效建构、合情推理、正确表达。活到老学到老，再忙也不忘“充电”。储备充分了，解读到位了，教师才能轻松应对学生提出的各种奇思妙想，才能引领学生发现、提出问题，分析和解决问题，进而让教师在教学中思考，在思考中提升，在提升中飞跃。
（作者单位：福建省福州教育学院附属第一小学）