启发式教学法在线性代数概念引入中的应用
2022-06-09
《线性代数》是高等院校工科学生的三门数学公共基础课之一，与其他两门数学课程（高等数学和概率论与数理统计）不同的是，这门课程的概念多、定理多、运算规律多，并且基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和实用性。通过多年的教学工作，我们发现相当多的学生觉得课程内容过于枯燥、抽象，不理解其中概念及相关理论的来龙去脉，概念与概念之间的联系与区别，只会简单记忆概念、性质和公式，进行行列式、矩阵等的运算，而不知道如何运用《线性代数》的知识将各种实际问题抽象为一个线性代数问题并进行求解。如何将课程中抽象枯燥的概念生动形象地表达出来，产生相关理论的思想、方法和过程深入浅出地展现出来，让学生易于理解和接受，并有意识地引导他们自己去发现概念与概念之间的联系与区别，是《线性代数》课堂教学急需解决的问题。所谓启发式教学法[1，2]，就是教师在教学过程中，能够使学生通过自己的能动的思考活动，领会和理解教学内容，提高和发展其自立性和创造性，同时积极促进学生的思维活动，使他们对事物现象的本质能够自主地、容易地把握和领会的教学方法。下面我们以戴斌祥老师主编的《线性代数》教材中第二章第三节矩阵的逆一节内容为教学实例，说明如何从教材内容、教学要求和学生的实际出发，在课堂教学中运用启发式教学法引入新的概念及相关理论。
一、深挖教材内容，创设富有启发性的数学问题情境
能否在学生的"最近发展区"内创设富有启发性的数学问题情境，使问题情境与学生认知结构中的适当知识建立自然的、内在的逻辑联系，从而激活学生的数学思维，最终生成有效的教学探索活动是数学课程开展启发式教学成败的关键。《线性代数》课程主要研究对象是线性方程组，主要研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数和解的结构问题，研究工具包括行列式、矩阵和向量组。由于《线性代数》的概念、定理及性质较多，零散且繁杂，这就要求教师必须钻研教材，立足于教学要求，以课程的主攻课题为研究主线，加强即将新学习内容与学生已有的认知结构之间的联系，让学生不断地建立和改进课程知识结构网络，促进学生对新学习内容本质的理解。教材第一章引入了行列式的定义，讨论了行列式的性质和计算方法，并介绍了行列式的一个直接应用：克拉默法则。通过第一章的学习，学生明白了行列式起源于解线性方程组，应用行列式解线性方程组必须满足克拉默法则的两个前提：一是线性方程组的方程个数与未知数的个数要相等，二是线性方程组的系数行列式不等于零。同时，学生体会到由于计算行列式的方法比较灵活，计算工作量大，当系数行列式的阶数较大时用克拉默法则解线性方程组是不适用的。教材第二章第一节从所要研究的一般的线性方程组（m个方程n个未知量）引入了矩阵的定义，第二节介绍了矩阵的五类运算：矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式。到此为止，学生已经掌握了线性方程组的矩阵形式，明白了引入矩阵实际上是希望通过研究矩阵的相关理论进一步地讨论线性方程组解的理论和方法。根据以上学生认知结构中已有的课程知识，为了在矩阵的逆这一节的课堂教学中开展启发式教学，我们创设了如下数学问题情境：数的运算定义有加法、减法、乘法、除法，有了数的除法，一元一次方程ax=b，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的运算也定义有加法、减法、乘法，那么矩阵是否也可以定义一个除法，当矩阵方程AX=B满足一定的条件时，方程的解可表示为X=B÷A。
二、精心设计教学过程，开展富有启发性的课堂讲授
启发教学法倡导教师开展启发式的讲授，而不是教师简单告诉、学生被动接受的灌输式的讲授。也就是说，在课堂讲授中，要学习的主要数学内容虽然是以定论的形式呈现给学生，但教师不能径直地告诉学生有待掌握的数学知识和解决问题的过程，然后学生消极旁观地倾听并进行简单的记忆和模仿，而要引导学生使新学习的内容与已有认知结构中的适当知识建立内在的逻辑联系，并对教师的讲授做出自己的解释，构建新知识的意义，以此加以内化，从而使新旧知识融为一体。这就要求教师以数学知识为载体，精心设计教学过程，使启发指向数学思考过程和数学思维方法，并从中把握数学知识的本质。矩阵的逆这一节的主要数学内容教材是按如下顺序安排的。
为了充分暴露数学思维过程，形成启发态势，我们以创设的数学问题情境为起点，对教材内容按照知识的发生发展及数学家的思维过程和思维方法进行教学法加工，引入教学内容中矩阵的逆矩阵及矩阵的伴随矩阵这两个重要概念。
1.矩阵的逆矩阵定义的引入。首先，回顾数的乘法与矩阵的乘法的异同，说明由于数的乘法满足交换律，为此一元一次方程ax=b与xa=b同解，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的乘法不满足交换律，矩阵方程AX=B与XA=B（假设AX和XA都满足乘法定义）不一定同解，故无法找到直接定义矩阵除法的方法。另一方面，类比于数的除法是数的乘法的逆运算，b÷a=b×■=b×a-1，启发学生通过定义矩阵的逆，并结合矩阵的乘法间接实现矩阵的除法去求解相应的矩阵方程，即当矩阵A满足一定的条件时，矩阵方程AX=B与XA=B的解可分别表示为X=A-1×B和X=B×A-1。通过这样的讨论，学生很容易就明白了为什么要定义矩阵的逆，而没有定义矩阵的除法。与此同时，原来创设的如何定义矩阵除法的数学问题情境也顺利转化为如何定义矩阵的逆。然后，类比于数的逆运算，当a≠0时，数a的逆a-1存在，且满足aa-1=a-1a=1，并联想到矩阵运算中单位矩阵的作用类似于数的运算中1的作用，结合正反两方面的实例，启发学生发现不是所有的矩阵都存在逆矩阵，只有矩阵是方阵时才可能存在逆矩阵，方阵A的逆矩阵A-1存在时满足方程AA-1=A-1A=E。最后，给出方阵的逆矩阵的存在性定义，并把如何定义矩阵的逆的数学问题情境进一步转化为方阵满足什么样的条件才存在逆矩阵，存在时又如何求它。
2.矩阵的伴随矩阵定义的引入。首先，由数a的逆a-1存在的充分必要条件是a≠0和任何一个方阵A可通过行列式运算对应到一个数|A|上，启发学生产生方阵A的逆矩阵A-1存在的充分必要条件是|A|≠0的猜想。然后，引导学生证明该猜想。必要性的证明由逆矩阵A-1存在时满足的方程AA-1=A-1A=E两边同时取行列式运算即能得到。充分性的证明，可引导学生依据方阵的逆矩阵的存在性定义和矩阵的乘法定义具体化为：在方阵A=（aij）n的行列式|A|≠0的条件下，一定能够找到一个方阵B=（bij）n，使得■a■b■=1，i=j0，i≠j。接着，回顾行列式|A|的代数余子式Aij的性质■a■A■=|A|，i=j0，i≠j，并将其与■a■b■=1，i=j0，i≠j进行比较，启发学生发现当|A|≠0时，方阵B一定存在且B=（bij）n=■■=■=■。此时，猜想得到证实，并进一步得到方阵A的逆矩阵A-1存在时A-1=■。最后，引入方阵A=（aij）n的伴随矩阵A*=[（A■）n]'的概念，并给出伴随矩阵的重要性质A*A=AA*=|A|E和伴随矩阵描述下的矩阵可逆的充分必要条件及其证明过程。
参考文献：
[1]鲍培文.线性代数启发式教学改革的新思路[J].湘潭师范学院学报（自然科学版），2009，（31）.
[2]韩龙淑.数学启发式教学研究[D].南京师范大学，2007：8-17.
一、深挖教材内容，创设富有启发性的数学问题情境
能否在学生的"最近发展区"内创设富有启发性的数学问题情境，使问题情境与学生认知结构中的适当知识建立自然的、内在的逻辑联系，从而激活学生的数学思维，最终生成有效的教学探索活动是数学课程开展启发式教学成败的关键。《线性代数》课程主要研究对象是线性方程组，主要研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数和解的结构问题，研究工具包括行列式、矩阵和向量组。由于《线性代数》的概念、定理及性质较多，零散且繁杂，这就要求教师必须钻研教材，立足于教学要求，以课程的主攻课题为研究主线，加强即将新学习内容与学生已有的认知结构之间的联系，让学生不断地建立和改进课程知识结构网络，促进学生对新学习内容本质的理解。教材第一章引入了行列式的定义，讨论了行列式的性质和计算方法，并介绍了行列式的一个直接应用：克拉默法则。通过第一章的学习，学生明白了行列式起源于解线性方程组，应用行列式解线性方程组必须满足克拉默法则的两个前提：一是线性方程组的方程个数与未知数的个数要相等，二是线性方程组的系数行列式不等于零。同时，学生体会到由于计算行列式的方法比较灵活，计算工作量大，当系数行列式的阶数较大时用克拉默法则解线性方程组是不适用的。教材第二章第一节从所要研究的一般的线性方程组（m个方程n个未知量）引入了矩阵的定义，第二节介绍了矩阵的五类运算：矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式。到此为止，学生已经掌握了线性方程组的矩阵形式，明白了引入矩阵实际上是希望通过研究矩阵的相关理论进一步地讨论线性方程组解的理论和方法。根据以上学生认知结构中已有的课程知识，为了在矩阵的逆这一节的课堂教学中开展启发式教学，我们创设了如下数学问题情境：数的运算定义有加法、减法、乘法、除法，有了数的除法，一元一次方程ax=b，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的运算也定义有加法、减法、乘法，那么矩阵是否也可以定义一个除法，当矩阵方程AX=B满足一定的条件时，方程的解可表示为X=B÷A。
二、精心设计教学过程，开展富有启发性的课堂讲授
启发教学法倡导教师开展启发式的讲授，而不是教师简单告诉、学生被动接受的灌输式的讲授。也就是说，在课堂讲授中，要学习的主要数学内容虽然是以定论的形式呈现给学生，但教师不能径直地告诉学生有待掌握的数学知识和解决问题的过程，然后学生消极旁观地倾听并进行简单的记忆和模仿，而要引导学生使新学习的内容与已有认知结构中的适当知识建立内在的逻辑联系，并对教师的讲授做出自己的解释，构建新知识的意义，以此加以内化，从而使新旧知识融为一体。这就要求教师以数学知识为载体，精心设计教学过程，使启发指向数学思考过程和数学思维方法，并从中把握数学知识的本质。矩阵的逆这一节的主要数学内容教材是按如下顺序安排的。
为了充分暴露数学思维过程，形成启发态势，我们以创设的数学问题情境为起点，对教材内容按照知识的发生发展及数学家的思维过程和思维方法进行教学法加工，引入教学内容中矩阵的逆矩阵及矩阵的伴随矩阵这两个重要概念。
1.矩阵的逆矩阵定义的引入。首先，回顾数的乘法与矩阵的乘法的异同，说明由于数的乘法满足交换律，为此一元一次方程ax=b与xa=b同解，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的乘法不满足交换律，矩阵方程AX=B与XA=B（假设AX和XA都满足乘法定义）不一定同解，故无法找到直接定义矩阵除法的方法。另一方面，类比于数的除法是数的乘法的逆运算，b÷a=b×■=b×a-1，启发学生通过定义矩阵的逆，并结合矩阵的乘法间接实现矩阵的除法去求解相应的矩阵方程，即当矩阵A满足一定的条件时，矩阵方程AX=B与XA=B的解可分别表示为X=A-1×B和X=B×A-1。通过这样的讨论，学生很容易就明白了为什么要定义矩阵的逆，而没有定义矩阵的除法。与此同时，原来创设的如何定义矩阵除法的数学问题情境也顺利转化为如何定义矩阵的逆。然后，类比于数的逆运算，当a≠0时，数a的逆a-1存在，且满足aa-1=a-1a=1，并联想到矩阵运算中单位矩阵的作用类似于数的运算中1的作用，结合正反两方面的实例，启发学生发现不是所有的矩阵都存在逆矩阵，只有矩阵是方阵时才可能存在逆矩阵，方阵A的逆矩阵A-1存在时满足方程AA-1=A-1A=E。最后，给出方阵的逆矩阵的存在性定义，并把如何定义矩阵的逆的数学问题情境进一步转化为方阵满足什么样的条件才存在逆矩阵，存在时又如何求它。
2.矩阵的伴随矩阵定义的引入。首先，由数a的逆a-1存在的充分必要条件是a≠0和任何一个方阵A可通过行列式运算对应到一个数|A|上，启发学生产生方阵A的逆矩阵A-1存在的充分必要条件是|A|≠0的猜想。然后，引导学生证明该猜想。必要性的证明由逆矩阵A-1存在时满足的方程AA-1=A-1A=E两边同时取行列式运算即能得到。充分性的证明，可引导学生依据方阵的逆矩阵的存在性定义和矩阵的乘法定义具体化为：在方阵A=（aij）n的行列式|A|≠0的条件下，一定能够找到一个方阵B=（bij）n，使得■a■b■=1，i=j0，i≠j。接着，回顾行列式|A|的代数余子式Aij的性质■a■A■=|A|，i=j0，i≠j，并将其与■a■b■=1，i=j0，i≠j进行比较，启发学生发现当|A|≠0时，方阵B一定存在且B=（bij）n=■■=■=■。此时，猜想得到证实，并进一步得到方阵A的逆矩阵A-1存在时A-1=■。最后，引入方阵A=（aij）n的伴随矩阵A*=[（A■）n]'的概念，并给出伴随矩阵的重要性质A*A=AA*=|A|E和伴随矩阵描述下的矩阵可逆的充分必要条件及其证明过程。
参考文献：
[1]鲍培文.线性代数启发式教学改革的新思路[J].湘潭师范学院学报（自然科学版），2009，（31）.
[2]韩龙淑.数学启发式教学研究[D].南京师范大学，2007：8-17.