电磁感应现象中的双杆模型归类与剖析
2022-06-08
【论文摘要】电磁感应现象的知识应用历来都是高考的重点，其中有关杆切割磁感线的问题是典型的综合题之一，其综合性强、能力要求高，是高考命题的热点。利用模型化的思想构建出可能会出现的双导体杆切割问题，引导学生快速找到此类问题的解题方向，有助于培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。
【论文关键词】双导体杆；动力学关系；功能关系；交替切割；稳态
在电磁感应问题中，常遇到杆在匀强磁场中切割磁感线运动的问题，这类题目的共同特征是导体杆沿互相平行的轨道做切割磁感线运动，简称为“杆+导轨”模型。其中，有关双导体杆的切割磁感线问题是此类模型的难点，这类问题的特点是研究对象多、运动情况复杂、知识和能力的综合性强，不仅要用到电磁学中的有关规律，还要涉及到力学中的有关规律。本文就双导体杆切割磁感线问题归纳可能构建的题型及相应的解题策略。
1.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆处于静止。
例1如图1甲所示，固定在水平桌边上的L双轨型平行金属导轨足够长，倾角θ=53°，间距L=2m，电阻不计。导轨上两根金属棒a、b的阻值分别为R1=25Ω，R2=4Ω。a棒的质量m1=5.0kg，b棒质量m2=1.0kg。a棒与导轨间的动摩擦因数μ1=2/15，b棒与导轨间的动摩擦因数μ2=0.5。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中。现将a棒从导轨上离桌面某一高度处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，b棒也恰好开始滑动，且a棒下滑阶段，通过a棒的电荷量为q=2C，g取l0m/s2。
（1）求在a棒整个下滑阶段，b棒中产生的热量；
（2）若a棒无论从多高的位置释放，b棒都不动，求a棒的质量满足的条件。
解析（1）因两棒串联，所以两棒所受安培力大小相等。在b棒刚滑动时，设a棒的速度为v，此时对b棒有：BILsin37°=μ2（m2g+BILcos37°），
且I=，联立解得：v=1.5m/s。
设a棒下滑的距离为x，
则q=，得x=1.2m。
对整个系统由功能关系得：
Q=（m1gsin53°-μ1m1gcos53°）x-m1v2，
由串联电路知识可得：b棒产生的热量
Q'=Q，
联立上述方程并代入数据得Q'=25.05J。
（2）分析可知，当a棒匀速运动时，b棒都未滑动，则满足题目要求。
匀速运动时对a棒：F=mgsinθ-μmgcosθ，
此时对b棒：F·sin37°≤μ2（m2g+Fcos37°），
代入数据解得：m≤kg≈3.47kg。
思路点拨：两导体杆虽都分布于磁场内，但在运动过程中只有其中一根杆在切割磁感线，该模型的本质仍为单杆问题。分析此类题型可分别对两根导体杆进行受力分析，切割杆可按单杆模型对其动态分析，静止杆可利用平衡方程进行处理，然后以电流强度作为桥梁联立求解即可，但在分析时要注意电源的位置及双杆的连接方式。
2.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆与磁场方向共线运动（v∥B）。
例2如图2甲所示，弯折成90°角的两根足够长的金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L=0.2m，电阻不计。质量m=0.1kg，电阻R=0.1Ω的金属杆a、b与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，整个装置处于磁感应强度B大小为1.0T、方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中。t=0时刻开始，a杆以初速度v0沿右导轨平面下滑。t=ls时刻开始，对a杆施加一垂直a杆且平行右导轨平面向下的力F，使b杆开始做匀加速直线运动。b杆运动的v-t图像如图2乙所示（其中第1s、第3s内图线为直线）。若两杆在下滑过程中均保持与导轨垂直且接触良好，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）a杆的初速度v0；
（2）若第2s内力F所做的功为9J，求第2s内b杆所产生的焦耳热。
解析（1）由题意第1s内对b杆：由图2乙得：a1=4m/s2。
由牛顿第二定律得：
mgsin53°-μ（mgcos53°+FB1）=ma1。
设1s时a杆速度为v1，第1s内a杆：E=BLv1，I=，FB1=BIL，解之得：v0=v1=1m/s。
【论文关键词】双导体杆；动力学关系；功能关系；交替切割；稳态
在电磁感应问题中，常遇到杆在匀强磁场中切割磁感线运动的问题，这类题目的共同特征是导体杆沿互相平行的轨道做切割磁感线运动，简称为“杆+导轨”模型。其中，有关双导体杆的切割磁感线问题是此类模型的难点，这类问题的特点是研究对象多、运动情况复杂、知识和能力的综合性强，不仅要用到电磁学中的有关规律，还要涉及到力学中的有关规律。本文就双导体杆切割磁感线问题归纳可能构建的题型及相应的解题策略。
1.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆处于静止。
例1如图1甲所示，固定在水平桌边上的L双轨型平行金属导轨足够长，倾角θ=53°，间距L=2m，电阻不计。导轨上两根金属棒a、b的阻值分别为R1=25Ω，R2=4Ω。a棒的质量m1=5.0kg，b棒质量m2=1.0kg。a棒与导轨间的动摩擦因数μ1=2/15，b棒与导轨间的动摩擦因数μ2=0.5。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中。现将a棒从导轨上离桌面某一高度处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，b棒也恰好开始滑动，且a棒下滑阶段，通过a棒的电荷量为q=2C，g取l0m/s2。
（1）求在a棒整个下滑阶段，b棒中产生的热量；
（2）若a棒无论从多高的位置释放，b棒都不动，求a棒的质量满足的条件。
解析（1）因两棒串联，所以两棒所受安培力大小相等。在b棒刚滑动时，设a棒的速度为v，此时对b棒有：BILsin37°=μ2（m2g+BILcos37°），
且I=，联立解得：v=1.5m/s。
设a棒下滑的距离为x，
则q=，得x=1.2m。
对整个系统由功能关系得：
Q=（m1gsin53°-μ1m1gcos53°）x-m1v2，
由串联电路知识可得：b棒产生的热量
Q'=Q，
联立上述方程并代入数据得Q'=25.05J。
（2）分析可知，当a棒匀速运动时，b棒都未滑动，则满足题目要求。
匀速运动时对a棒：F=mgsinθ-μmgcosθ，
此时对b棒：F·sin37°≤μ2（m2g+Fcos37°），
代入数据解得：m≤kg≈3.47kg。
思路点拨：两导体杆虽都分布于磁场内，但在运动过程中只有其中一根杆在切割磁感线，该模型的本质仍为单杆问题。分析此类题型可分别对两根导体杆进行受力分析，切割杆可按单杆模型对其动态分析，静止杆可利用平衡方程进行处理，然后以电流强度作为桥梁联立求解即可，但在分析时要注意电源的位置及双杆的连接方式。
2.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆与磁场方向共线运动（v∥B）。
例2如图2甲所示，弯折成90°角的两根足够长的金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L=0.2m，电阻不计。质量m=0.1kg，电阻R=0.1Ω的金属杆a、b与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，整个装置处于磁感应强度B大小为1.0T、方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中。t=0时刻开始，a杆以初速度v0沿右导轨平面下滑。t=ls时刻开始，对a杆施加一垂直a杆且平行右导轨平面向下的力F，使b杆开始做匀加速直线运动。b杆运动的v-t图像如图2乙所示（其中第1s、第3s内图线为直线）。若两杆在下滑过程中均保持与导轨垂直且接触良好，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）a杆的初速度v0；
（2）若第2s内力F所做的功为9J，求第2s内b杆所产生的焦耳热。
解析（1）由题意第1s内对b杆：由图2乙得：a1=4m/s2。
由牛顿第二定律得：
mgsin53°-μ（mgcos53°+FB1）=ma1。
设1s时a杆速度为v1，第1s内a杆：E=BLv1，I=，FB1=BIL，解之得：v0=v1=1m/s。