设计力求“四控”实施要求“四明”——在解题教学中因材施教、各得其所的实践

浙江杭州市萧山区义桥镇渔浦小学（３１１２５６） 孙红谊

数学的解题教学需要一定的理论做指导，且不能就题论题，更不能单纯追求数量，把学生推进“无边的题海”。对我们一线教师来说应当全面了解数学问题的意义、特点，以及数学问题的结构和类型，在指导学生解题时，既能高屋建瓴，又能投其所需，恰到好处，力求通过解答一个题，解决一大片题，从而起到“以一当十，以十胜百”的效果。

我努力做到掌控首要环节，监控主要步骤，调控重要解法，自控必要评价，使每个学生能明白做什么，明确怎么做，明晰咋做好，明了做对吗？真正让学生亲历解题的思维过程，体会到解题成功之喜悦，感悟到解题的无穷乐趣。

波利亚的《怎样解题》在全球范围内有很大的影响和反响，在具体设计和实施解题教学时我遵照波利亚的“四个解题步骤”，牢牢地把握“弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾反思”这四个解题步骤。

一、掌控选题审题是不可或缺的首要环节，明白选什么做什么

经过多年的发展和积累，数学题的题型在不断翻新，题目的数量已经多得数不清了，“题库”、“题典”等层出不穷，大量的题海淹没了学生的解题兴趣。为改变现状，必须首先解决——选题和审题，要求每位学生一拿到题目，首先要考察“题目要求我们做什么？”

１．选题

陈省身在上海的一次学术报告会上再次论述了一个１８世纪法国数学家拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）的标准：“好的数学问题应满足两个条件：①易懂，走在马路上向任何一个人都能讲清楚；②难攻，这种数学问题必须相当困难，但又不是无法攻克的。”

因此，在选择数学题目时要明确怎样的题目才是有质量的题目。一句话，就是“浅入深出”，即数学情景比较简单，但包含了深刻的道理。我做了以下尝试。

如在分数、百分数应用题的解题教学中，我没有依照课本内容照本宣科，而是引用了一首儿歌：蝴蝶风筝多漂亮，八米高空随风扬，五分之三绳在手，风筝绳子有多长？

先让全体学生齐声读一遍，随即提示他们画图解答。

大部分学生都画出：

连解题能力较弱的学生Ａ也画了以下图形：

当我问他为什么这样画时，他还胆怯地说：“老师，我这样画可以吗？因为2/5是在空中的，所以，我想把它放在上端。”我惊呆了！作为老师我总是按部就班地认为线段图就应该在水平线上显示，这位学生的创意是多么的值得学习。这个生动的事例使我明白，能让学生从审题中悟出许多数学思想和方法的题目就是好题目。对教师来说，我认为在选题时至少应该做到：

（１）系统掌握教材上的例题和习题；

（２）认真做好有代表性的热点、考点题；

（３）动手探索一些实践性的应用问题；

（４）让学有余力的学生涉猎一些思考题、压轴题。

２．审题

对学生来说，审题时主要分清两类内容：

其一，为纯数学问题，所提出的问题来自数学的本身，解决问题的方法大多需要相关课本内容的思想方法。

其二，应用数学问题，问题来自现实生产、生活中的实际的需要，审题时要首先对问题的情景进行分析，把数学问题转化为已掌握的若干基本问题，然后运用数学方法来解答。

二、监控解题过程是不能忽视的主要步骤，明确怎么做

经常在学生中听到这样的声音：“在听老师讲解时我好像都听懂了，但一到自己独立做题时我好像有‘恐惧感’，一见题目就心慌意乱，无从着手。”大部分学生怕解题的心理，实际上就是读题后没有办法“悟出题旨的意图”。因此，面对水平参差不齐的学生，在题目出示后，我分别用提示、暗示、揭示、显示的方法进行“点拨式监控”，收到了不错的效果。

例如，把一个长方体用一个平行于底面的面截掉高的２ｃｍ后，这个长方体成为一个正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了４８平方厘米，求正方体的体积和表面积各是多少。

这道题是稍有点难度的几何综合题，对想象力较好的学生来说并没有什么困难，但对于一般学生及中下水平的学生来说，却不容易理出解题思路。这时就完全需要教师监控解题过程，才能使每位学生明确怎么做了。

我对任教的两个班级采用了不同的教学方法，在五（１）班教学时采用“放羊式，自练”，结果其正确率只有４０﹪，而在五（２）班用“点拨式监控”，正确率为８０﹪。

“点拨式监控”：

１．从字面上找关键词：２厘米，减少了，表面积，体积。

２．从图形变化关系暗示：如图1。

３．从思维的逻辑推理揭示：长方体→减少→正方体。

４．从疑点、难点处显示。（割开的地方有两个正方形的面）

经点拨后，全班学生都沉浸在热切希望解决问题的状态中，很快知道减少部分的表面积：设长方体底面边长为ｘ，２ｘ×４＝４８，ｘ＝６，即正方体的表面积是２１６平方厘米，体积是２１６立方厘米。

三、调控多种解法是不难掌握的重要途径，明晰还能咋做

在解题教学中，大部分学生解答完一道数学题，就习惯地认为任务完成，万事大吉了，而对于解题是否正确，是否还有更适合自己的解法，根本不去思考。因此我在教学中注重解题教学的“四重境界”，即“一听就会做，一点就能透，一时忘不了，一生均管用”。

例如，某班学生中，男生人数比女生多1/4，问女生人数比男生少几分之几？

一重境界（一听就会做）：由于男生人数比女生多1/4，可假设女生人数为４份，那么男生为５份。所以女生人数比男生人数少１份。

以上“四重境界”的解法，解法１从分数意义出发加上图示直观易懂；解法２较解法１抽象，但算理清晰，列式简便；解法３思维独特，列式简捷；解法４把用字母表示数当作常规解法，一生管用。

四、自控环节的正误是不容置疑的必要评价，明了做对了吗

在日常测查或期中、期末测查中，常常有一个怪现象：成绩较好的学生都会大声惊呼：“我在做选择题时不小心给选错了，真可惜！”……而成绩中下游的学生则表现得很满意，或毫不在乎……究其原因，是以上大多数学生没有反思自己的解答是否合情合理。

为此在解题教学中我设置以下“四关”：

其一，过反思理解关。指自己有否看错、写错、想错，以及有否看清题旨，理清题意，联想到的数学知识和技能是否有误。

其二，过反思计算关。注重在计算时严格遵照“一步一个脚印，一步一个回头”，“落笔”反思。

其三，过反思步骤关。主要自主回顾解题步骤及格式是否规范，单位是否统一，图文是否匹配，答语是否合意。总之要求表述更加完整，解题圆满。

其四，过自我评价关，明白是否正确。答案是否正确是数学解题的第一保证，但是否有多解，巧解，最简解法，是否有适合自己现有水平的个性解法，要求自我考量，自我认定。

如计算题：

此题有三处不符合要求：１．错在分数化小数；２．近似数代替准确数；３．1/7错化成了０．７。

正解：

总而言之，数学解题教学不仅仅是教会学生解题目，教师在设计题目时要关注学生的学习兴趣，要帮助学生树立信心，要教导学生有耐心和决心，要有“胜不骄，败不馁”的精神。

由于每个学生都有不可复制的个性特点和学习差异，且人生观和价值观也不尽相同，因此，教师设计题目和指导解题时一定要在不同层次的阶梯上“种植”不同价值的“果树”，要使每个学生都有希望经过自己的努力后摘取与学习能力相当的真正的学习“果实”。这正是孔子先生所教诲的“因材施教”，“各尽其能，各得其所”。

诚然，谁也无法教会学生解答所有数学问题，培养学生通过有限的题目来领悟那种解无数道题目的机智，才是最重要的。

（责编　金　铃）