还原法在小学数学解题教学中的应用

江苏扬州大学教育科学学院（２２５００２）　李玉媛

我们在解决问题时通常是从已知条件出发，通过分析思考，找出解题的方法。然而，有的问题按照这种思路着手就比较困难，若从题目的已知量出发，利用已知条件倒着推理，就会迎刃而解，这种思考问题的方法通常称为还原法或倒推法，其实质就是“倒过来推算”。但是还原法离不开还原图，只有数形结合，还原法才会如虎添翼。下面结合具体的事例，谈一谈还原法在小学数学解题中是怎样被灵活运用的，并且还原图又是如何巧妙地渗透其中的。

一、 “单个对象”，按部就班

什么叫“单个对象”呢？本文的“单个对象”是指在一道完整的题目中，主语和总量有且只有一个，且主语的总量不管经过怎样的变化，最终所求的对象还是这个主语的总量。例如，商店运来一批苹果，第一天卖掉这批苹果的一半，第二天卖掉第一天剩下的一半多１０斤，第三天又卖掉第二天剩下的一半少５斤，这批苹果还剩２０斤，问这批苹果原来有多少斤？

在这一题中，这批苹果是主语，即上文所提到的“单个对象”，不管卖多少天以后，最后的问题还是求这批苹果原来的斤数。像这类题型，一般要借助流程图或还原图或倒推图，可以根据学生的身心特征和解题需要，作不同的图形。下面介绍两种方法，一种是流程图的画法，如下：

首先作流程图很简单，即题目怎么说就怎么画，“这批苹果”和“每次卖剩下的苹果斤数”用方框来表示，然后从结果出发往前倒推，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，一直推算出第一个方框的得数，即这批苹果原来的斤数。但是在作这个图时，学生常常易犯两个错误：一是题目中的“多１０斤”及“少５斤”在流程图中到底是加还是减，小学生往往会有看到“多”就用加法，看到“少”就用减法的错误定向思维，此时一定要让他们理解流程图中每个方框所表示的意思。第一个方框表示“这批苹果的总斤数”，这个学生很容易理解，特别要注意的是第二个方框与第三个方框的意思，它们表示的是每次卖完剩下的斤数，让学生思考“卖的越多剩的就越少”，当学生理解了这句话后就不容易犯错了。“多卖１０斤”就“少剩１０斤”，在图上应该标“－１０”，同理“少卖５斤”当然就“多剩５斤”，即“＋５”。二是作完图后计算时容易出错。他们常常会这样做：“２０－５×２＝３０，３０＋１０×２＝８０，８０×２＝１６０”，我们不妨仔细看一下学生做题的过程，加减乘除在一起时，运算顺序被学生忽视了，他们列出的等式缺少括号，上述等式根本就是不成立的。为了防止出错，在这里一定要强调混合运算的顺序，不然就引导学生一步步地计算。

另一种是借助线段来作还原图或倒推图，如下：

与第一种方法相比，第二种方法的作图稍显复杂，但两种方法的实质是一样的，都是从后往前倒推，而且第二种方法呈现了苹果售出的整个变化过程，一目了然。随着学生身心年龄的变化，两种作图方法都需要掌握。同样，学生在用这种方法解题时也常会犯两个错误。第一，作图时每条线段所对应的具体数据容易混乱。这就要求学生在一开始作图时，及时标上数据，每条线段都要对应无误，而且每次都要画出“剩下的苹果斤数”所对应的线段长度，以便计算方便。第二，计算出的结果不知道代表什么数据，最终不知所云。其实这种错误归根结底还是由于在作图时没有理清数据，没有理解每条线段所代表的含义。因此，作图时一要理清数据，二要注意及时做数据标识。

二、 “多个对象”，灵活运用

根据上文所提及的“单个对象”，不难理解“多个对象”的意思，简单地说就是，多个主语同时在发生变化，而且总量不止一个，所求的对象可能不止一个，也可能只求多个主语之一。例如，有４８只麻雀停在三棵树上，不久６只麻雀从第一棵树上飞到第二棵树上，又有８只从第二棵树上飞到第三棵树上，这时，三棵树上的麻雀只数都相等。问三棵树上原来各停了多少只麻雀？

很明显，这道题中主语有三个，即三棵树上的麻雀数量，而且这三棵树上的麻雀数量都在变化，最终结果是三棵树上的麻雀只数相等，求这三棵树上原来的麻雀数量。这种“多个对象”的还原应用题涉及多个量之间的关系，学生开始接触时不知道从何入手，所以我们要引导学生理清数量关系，倒着推理即可。一般解题示意图可以如下：

由此图我们不难发现，这一题是从“三棵树上的麻雀只数都相等”这句话往前推的，此时三棵树上的麻雀只数都是１６只。其次，“又有８只从第二棵树上飞到第三棵树上”，则第三棵树上原来有８只，第二棵树上原来有２４只。最后，“不久６只麻雀从第一棵树上飞到第二棵树上”，那么最初第二棵树上应有１８只，第一棵树上应有２２。所以，三棵树上原来的麻雀只数分别为２２只、１８只及８只。解题时学生需要注意两点：一是借助示意图从最后一句话倒着推理；二是计算时想着“求的是原来的只数”，那么现在的只数必须要还原，即“得到的必须减去，失去的必须加上”。

三、 “不同对象”，确定核心

顾名思义，“不同对象”就是应用题中的主语不止一个，但是与“多个对象”的题型又有什么区别呢？下面结合例题来解析。例如，商店运来一筐苹果，连筐重１０２千克，上午卖掉这筐苹果的一半后，下午又卖掉剩下的一半，此时连筐还重２７千克，问这筐苹果原来重多少千克？筐重多少千克？

初看时这道题目有点像上述“单个对象”的题型，这也是众多学生易犯错的地方。有的学生不管三七二十一，一看题目就画方框流程图，结果全部错误。仔细思考一下这里的主语是“苹果的重量加上筐的重量”，而卖的是苹果，筐可是不卖的，筐的重量一直都不变。很明显也不像“多个对象”的题型，那么又该怎么思考呢？下面介绍常用的两种方法。

一是将这筐苹果看成未知量，先求筐的重量。解法示意图如下：

由图可以看出，既然一筐苹果原来的重量不知道，筐又不能拆分开卖，且又不知道剩下的苹果重量，题目中的条件都跟苹果的筐有关系，每次又是对半卖出去的，那么我们就按照剩下的苹果斤数和一个筐的重量，即（３），将这筐苹果平均分成４份，并且每一部分都添上一个筐的重量，即（１），这样就很容易算出（１）是（３）的４倍，即１筐苹果的重量加上４个筐的重量是１０８千克，再与条件“１筐苹果的重量加上１个筐的重量是１０２千克”比较，就很容易求出一个筐的重量是２千克。

二是将这筐苹果看成未知量，先求这筐苹果的重量。由于一筐苹果连筐重１０２千克，剩下的连筐重２７千克，那么卖掉的就是７５千克，而卖掉的苹果正好是这筐苹果的３／４，很容易就求出这筐苹果的重量。这种借助份数或者比例来还原的方法在小学数学解题中也经常用到。

“授人以鱼，不如授人以渔”，教会学生解题的方法，领略解题的过程，不仅是新课改的要求，也是２１世纪人才发展的需要。还原法既符合小学生的顺向思维，又符合小学生的直观思维，是小学数学解题的灵丹妙药。这类题目所要求的一般都是不断变化的主语的原来数量，但要区分类型，对症下药。同时，适当的作图也很重要，作图是为了辅助做题，不需要用直尺作得那么精确，那么完美，只需要草图，当然必须清楚且有条理，注意画图过程中的细节，养成良好的习惯。

（责编　罗　艳）