几何形体教学中有效落实系统思想例谈

浙江常山县天马二小（３２４２０２）　黄美建

数学思想方法是数学的灵魂。《数学课程标准》中明确指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”小学数学“空间与图形”领域中涉及的数学思想有很多，下面笔者从几何形体教学中有效落实系统思想方面，谈一些自己的心得。

所谓系统思想，就是要求人们以系统要素相互关联的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，得出研究和解决问题的最佳方案。系统思想对数学问题的观察、分析是从宏观和大处着手，整体把握，化零为整的。

一、解析公式——感悟系统思想

小学数学“空间与图形”领域，学生第一次接触系统思想是在三角形面积公式的学习中，由于处于这个年龄段的学生的认知特点对单个元素敏感度较高，对整体认识、系统认识的敏感度较低，再加上是第一次接触系统思想，所以他们自身的认识是苍白的。因此，在总结出三角形的面积公式后，教师要有意识地解析公式：“在三角形面积公式中，知道哪些条件就可以求出三角形的面积？”学生会很自然地会说出“知道底和高，就能求出三角形的面积”。这时，教师要及时进行追问：“还知道什么条件也能求出三角形的面积？”如果学生答不出来，教师要有意识地引导，并用彩色粉笔在三角形面积公式“底×高”的下面划一下，强化学生的感官刺激，让学生直观感受到“知道底×高的积，也能求出三角形的面积”，初步感悟系统思想。

在几何形体的面积、周长或体积计算中，还有几处用到系统思想：一是梯形的面积计算。在学生总结出梯形的面积公式后，教师要及时引导学生自主解析公式。由于学生有解析三角形面积公式的经验，大部分学生能从单个元素的角度计算梯形面积，而且有一部分优秀学生能从系统的角度解析梯形面积公式，如“知道梯形上底与下底的和与高，也能求出梯形的面积”。如果学生说出“知道梯形上底加下底的和乘高的积，也能求出梯形的面积”，教师就要肯定学生，因为这时学生已经知道从系统、整体上把握梯形的面积公式。二是长方体、圆柱体的体积计算。教材已经用公式总结长方体、圆柱体的体积计算，即长方体、正方体、圆柱体都可以用“底面积×高”求出体积。三是圆的面积公式。由于学生已有解析公式的经验积累，课堂教学中，教师可以放手让学生自主解析圆的面积公式。这时学生不仅能从单个元素的角度进行思考，如“知道圆的半径就能求出圆的面积”，而且能从系统中把握圆的面积公式，通过ｒ２求出圆的面积。课堂教学中，通过第一次教师“引”出系统思想、第二次师生合作“导”出系统思想、第三次学生“说”出系统思想，使学生在多次的数学活动中感悟系统思想，并且印象深刻。

二、练习尝试——理解系统思想

学生能从整体上把握公式，如果没有相应的巩固练习，并不能真正理解系统思想。“我看见了，就忘记了；我听见了，就知道了；我做过了，就理解了。”这里说明听只能听懂，做才能会做。课堂教学中，教师要让学生真真切切地理解系统思想，可通过练习这一途径达到目标。所以，在学生解析公式之后，教师可以先让学生做“已知单个元素，求面积”的基本练习，再提供“已知整体，求面积”的练习。

例如，教学“三角形的面积”一课时，教师出示这样一道题：“如图１，已知长方形ＡＢＤＣ的面积是２４平方厘米，三角形ＡＥＣ的面积＝（ ）平方厘米。”当学生解答之后，教师要让学生说说是怎么想的、为什么这样做，引导学生明确已知长方形的面积，也就是知道了三角形AEC底乘高的积，再通过“积÷２”就能求出三角形的面积。这样教学，使学生在做数学、说数学的过程中理解系统思想。

又如，在学生学习梯形面积之后，教师可出示以下有关系统思想的基本练习：“如图2，张大爷用篱笆围一块梯形菜地，一面靠墙。篱笆全长４８米，这块地的面积是多少平方米？”再如：“如图３，已知正方形面积是２０平方厘米，求圆的面积。”这些练习都是已知一个整体、一个系统，求面积的直接应用。通过直接应用，加深学生对系统思想的直观认识，有效促进学生理解系统思想。

三、系统应用——深化系统思想

“学无定法，贵在得法”，这个法就是数学思想。要让教材体系中的数学思想转化为学生头脑中的个性化的数学思想，系统的变式发展训练是一条有效途径。系统的变式发展训练，既能让内隐的数学思想外显化，又能适当降低思维难度，给学生自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想，提升思维能力。因此，在练习课或复习课中，教师要有意识地安排系统的变式练习，促进学生思维的发展。

例如，学习圆的面积计算后，教师可以出示一些运用ｒ2求面积的系统变式练习，使学生突破原有的思维定式，发展思维能力，有效促进数学思想——系统思想的内化。

例１．如图４，正方形ＯＡＢＣ的面积是１０平方厘米，Ｏ是圆心。求圆的面积。

例１为基础题，由于有新授时的解析、尝试练习时的体验，教师可放手让学生独立完成，这样使学有困难的学生在优生汇报中经历一次“再学习”的过程，逐步领会系统思想。

例２．如图５，正方形ＡＢＣＤ的面积是４０平方厘米，求圆的面积。

例２为发展题，但由于有例１的铺垫，优生能自觉地把例２转化为例１——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如图６），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以求出每个小正方形的面积，也就是求出ｒ2的值，再运用ｒ2的值求出圆的面积。从例１到例２，例１是例２的数学模型。在中等生面对题目束手无策时，教师要引导学生充分比较图５和图４，提示学生能否将图５和图４建立联系，进行适当的转化。在优生汇报后，教师要及时引导学生反思总结，使他们深化所学的系统思想、化归思想、模型思想。

例３．如图７，已知正方形ＡＢＤＣ的面积是２０平方厘米，求圆的面积。

例３为变式发展题，学生初看此题无从下手。此时，教师要给予适时的引导：“求圆的面积，要知道什么条件才可以解答？”生：“ｒ或ｒ２。”教师再问：“题目中没有告知圆的半径，有没有办法创造出半径？”“创造出的半径能否和正方形的面积建立联系？有怎样的联系？”通过教师的暗示与引导，学生就会想到画两条对角线（如图８），创造出圆的４条半径，这样就把正方形平均分成４等分，每个小三角形的面积是２０÷４＝５（平方厘米），由于ｒ×ｒ÷２＝ｒ２÷２＝５，所以ｒ２＝１０，这样就可以求出圆的面积。

通过系统的变式发展训练，引导学生的思维经历了知识发生、发展的过程，并通过反思、梳理、调控，使学生在脑海中形成一个含金量很高的思维链。上述教学，通过三个例题的比较，学生发现了这一系列图形题的共性——用ｒ２求圆面积，从而深化了系统思想。

总之，要让教材中的数学思想转化为学生头脑中的数学思想，教师要充分挖掘教材，让学生适时感悟。如果学生感悟不到或感悟不深，教师要适时给予引导，必要时可以明示，然后通过系统训练，使学生理解、深化所学的数学思想。

（责编　蓝　天）