高中数学延伸拓展教学的多维研究思路
2022-06-08
摘 要：高中数学教学的重要目的是提升学生的数学素养，基于教材及传统的教学习惯，可以帮学生积累数学知识、提升数学能力. 而在此基础上进行的延伸拓展，能够更为有效地让学生弄清数学概念、规律以及问题解决背后更为本质的内容. 因此，高中数学教学中的延伸拓展研究，需要从多个维度来进行. 实践表明，数学概念、规律构建、数学问题解决，尤其是学生在数学学习之后的学习反思，是有效地进行延伸拓展的重要维度.
关键词：延伸拓展；教学思路；研究维度
延伸拓展是高中数学教学的重要思路，也是促进学生数学能力提升的重要途径. 《普通高中数学课程标准》（实验稿）给出的意图很明显，高中数学教学必须结合教学内容与教学对象的具体情况，通过延伸拓展的办法，让学生就某个数学问题进行更为深入细致的研究，以进一步丰富数学问题解决的体验过程，进而培养数学知识建构与问题解决的能力.
有研究者指出，所谓延伸拓展，就是从学生的原有知识结构、认知水平出发，通过问题解决或者课题研究的方式对原有学习内容进行拓展，并在此过程中深化学生的数学知识的认识，同时深化教师对数学教学的认识的过程. 在实际教学中，延伸拓展以不同形式存在着，甚至在课程改革之前，延伸拓展实际上也就已经存在着，只不过没有冠之以延伸拓展之名而已. 目前面临的主要挑战是，延伸拓展在实际的高中数学教学中还没有真正走出常规思维中的习题变式尤其是难度递增的变式思路，也就是说对延伸拓展的材料的研究还有进一步研究的空间. 笔者将延伸拓展材料的研究称之为高中数学教学的培元固本的工作，并从多个维度对之展开了系列研究.
[?] 概念构建，基于内涵外延实现延伸拓展
数学概念是数学知识建构的基石，数学概念的教学具有理论上的重要性与实践上的次要性的矛盾. 应试状态下的高中数学概念教学，常常在新知授课习题化的思想下变成一个速成的过程. 显然，这是不利于学生有效地建构数学概念理解的，笔者以为，高中数学教学中的概念教学非但不能压缩，还应当在原有教学过程的基础上进行拓展延伸，而其方向不外乎内涵和外延两个角度. 现以“函数的奇偶性”教学为例，谈谈笔者的延伸拓展研究思路.
奇偶是学生在义务教育阶段就已经习得的概念，当奇偶与函数结合起来并以之描述函数的性质出现时，教师首先要关注的就是学生对函数的奇偶性这一概念的理解. 从数学概念构建的角度来看，苏教版高中数学教材（必修1）中对函数的奇偶性是这样定义的：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称y=f（x）是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么称y=f（x）是奇函数. 从定义本身可以看出函数奇偶性的内涵，即关键在于对于某一定义域之内如果满足自变量与应变量的对应的正负关系，那就存在着奇偶性.
学生在理解函数奇偶性这一概念的时候会有什么样的心理过程？这是笔者关注的内容，研究发现，相当一部分学生在理解的时候首先就是关注为什么要用“奇偶”来形容（前面的单调性学习也是如此），此处的奇偶与有理数中的奇偶是一回事吗？有意思的是，当这个问题出现在部分高中数学教师同行面前时，所获得的理解也是不同的. 但实际上这个问题教材是给出了回答的，在本内容引入的时候，教材给出了这样的描述：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称的现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵……而在给出了函数奇偶性定义之后，教材又强调：根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 而实际教学中，教师常常是忽视这种前后对应关系的，因而也就不能将函数奇偶性的概念进行有效的延伸拓展；反之，看到了这种对应关系，学生对函数奇偶性概念的理解就可以既有内涵，也有外延，从而可以完善这种概念理解，学生会认识到此处的奇偶并非是指能否被2整除，而是与对称相关的描述.
类似于此的概念教学中的延伸拓展，对于学生理解数学概念的最大价值在于，学生可以对数学概念产生一个完整的理解，即不仅知道函数的奇偶性是什么意思，更知道为什么会以这样的词语来描述这种特征，而这恰恰是数学概念最为本质的地方. 又如单调性，正如有学生所说的那样：当函数图象在某定义域内只呈现一种变化形态的时候，确实是够单调的.
需要指出的是，数学规律的学习中同样也存在着必要的延伸拓展的问题，考虑到其与概念建构的原理类似，这里不多赘述.
问题解决，基于发散思维实现延伸拓展
在高中数学教学中，问题解决是一个重要的任务，某种程度上讲还是关系到接受高考评价的最为核心的任务. 由于应试的存在，高中数学教学中的问题解决常常是聚合性的，也就是学生的思路常常是指向最终的唯一答案的. 这种聚合性往往是延伸拓展的大敌，从学生数学素养提升的角度来看，在日常教学中基于发散思维去培养学生的问题解决能力，也应当是高中数学教师的应然任务. 且这样的教学并不会对学生的应试能力有任何的影响，其需要的只是教师在传统的应试教学思路中付出基于延伸拓展需要而进行的发散性思维训练的勇气而已.
同样来看一个例子（考虑到现实需要，这里呈现的问题仍然是一般意义上的数学习题，而非与生活关系更为密切的、可以用数学模型来解决的现实问题，前者是后者抽象的结果）. 这则例子来源于苏教版高中数学必修2中的一个例题：判断圆（x+2）2+（y-2）2=1与圆（x-2）2+（y-5）2=16的位置关系. 一般情况下，本问题解决的思路是求出两个圆的圆心，然后再求出圆心距；将之与两圆半径之和进行比较，即可得到结果. 如果这样，那本题就是一道简单的命题，除了巩固学生的新知之外，没有其他价值.
但若从延伸拓展的角度来看，本题实际上是可以进行思维的发散性训练的，在这种发散性训练中，还可以让学生对已有的数学知识进行更有效的整合. 比如说我们可以向学生追问这样的几个问题：本问题解决的思路是什么？经由学生思考，可以梳理出是基于圆心距之和与半径之和的比较；有没有其他的解题思路？思维发散的基本提问方式；两个圆的方程可否转换为方程组？如果求解，其得到的解又有什么数学意义？ 还有研究者更精辟地指出，如果在此时超越本题，而向学生提出问题：如果将两个圆的方程相减，那将会得到什么？（这是一个高中学生能够解决的问题，但又不是教材上出现的问题；至于两圆相加得到的圆系方程，有兴趣的同行不妨研究）得到的这个直线方程与两圆又是什么样的关系？
这样的延伸拓展，可以将学生的视线延伸到原来的问题之外，也可以让学生认识到即使最为简单的数学问题，也都可以进行有价值的延伸. 当然，有价值的延伸并不一定需要延伸，但这样的意识形成，实际上有助于学生将来遇到更为复杂的数学问题时，可以以一种更理性的心态去面对，以一种更冷静的心态去将难题逐步分解成相对简单的问题. 这是实实在在的问题解决能力的体现.
学习反思，基于思维规律实现延伸拓展
高中数学学习能力的一个重要体现，就是学生的反思能力. 相对数学知识的构建而言，反思能力更加直接地指向学生的学习品质. 学习后的反思过程，原本就是学习过程的延伸，如果在延伸的过程中再加以拓展，那学生的数学学习品质就有可能得到真正的提高，而学习后的反思也正是当前高中数学教学中比较薄弱的一环.
笔者在实践中尝试在学生学习之后引导反思，从环节分类来看，也是从数学概念建构、数学规律内化、数学问题解决能力的提高等维度来进行的. 从现实角度来看，在问题解决的过程中引导学生进行学习反思，是比较重要的选择.
例如，在函数概念与基本初等函数中学习到的分段函数，教材上给出的数学问题是源于实际生活中出租车收费标准的问题：某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 试写出收费额关于路程的函数解析式.
这一问题的解决有两个过程：一是生活事实向数学表达的抽象，这一步并不复杂；二是分段函数的得出. 有学生在解题过程中会写出y=7（03）的表达式.而在教师给出y=7（0 2.4（x-3）+7（x>3）之后，有学生认为两者并无本质区别. 于是，数学形式与数学本质之间的关系就成为可以延伸拓展的重要研究命题之一. 从教师的角度来讲，教师必须知道数学内容与数学形式之间的关系，而对于学生的学习而言，需要让学生知道的则是每一个数学内容都应当有对应的数学形式，数学形式背后是数学逻辑关系的体现. 只有认识到这一点，基于分段函数的延伸拓展教学，才有了纯粹的数学意义.
因此，数学学习后的反思尤其是从某一个知识点向数学本质的延伸拓展，应当成为高中数学教师的教学自觉.
关键词：延伸拓展；教学思路；研究维度
延伸拓展是高中数学教学的重要思路，也是促进学生数学能力提升的重要途径. 《普通高中数学课程标准》（实验稿）给出的意图很明显，高中数学教学必须结合教学内容与教学对象的具体情况，通过延伸拓展的办法，让学生就某个数学问题进行更为深入细致的研究，以进一步丰富数学问题解决的体验过程，进而培养数学知识建构与问题解决的能力.
有研究者指出，所谓延伸拓展，就是从学生的原有知识结构、认知水平出发，通过问题解决或者课题研究的方式对原有学习内容进行拓展，并在此过程中深化学生的数学知识的认识，同时深化教师对数学教学的认识的过程. 在实际教学中，延伸拓展以不同形式存在着，甚至在课程改革之前，延伸拓展实际上也就已经存在着，只不过没有冠之以延伸拓展之名而已. 目前面临的主要挑战是，延伸拓展在实际的高中数学教学中还没有真正走出常规思维中的习题变式尤其是难度递增的变式思路，也就是说对延伸拓展的材料的研究还有进一步研究的空间. 笔者将延伸拓展材料的研究称之为高中数学教学的培元固本的工作，并从多个维度对之展开了系列研究.
[?] 概念构建，基于内涵外延实现延伸拓展
数学概念是数学知识建构的基石，数学概念的教学具有理论上的重要性与实践上的次要性的矛盾. 应试状态下的高中数学概念教学，常常在新知授课习题化的思想下变成一个速成的过程. 显然，这是不利于学生有效地建构数学概念理解的，笔者以为，高中数学教学中的概念教学非但不能压缩，还应当在原有教学过程的基础上进行拓展延伸，而其方向不外乎内涵和外延两个角度. 现以“函数的奇偶性”教学为例，谈谈笔者的延伸拓展研究思路.
奇偶是学生在义务教育阶段就已经习得的概念，当奇偶与函数结合起来并以之描述函数的性质出现时，教师首先要关注的就是学生对函数的奇偶性这一概念的理解. 从数学概念构建的角度来看，苏教版高中数学教材（必修1）中对函数的奇偶性是这样定义的：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称y=f（x）是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么称y=f（x）是奇函数. 从定义本身可以看出函数奇偶性的内涵，即关键在于对于某一定义域之内如果满足自变量与应变量的对应的正负关系，那就存在着奇偶性.
学生在理解函数奇偶性这一概念的时候会有什么样的心理过程？这是笔者关注的内容，研究发现，相当一部分学生在理解的时候首先就是关注为什么要用“奇偶”来形容（前面的单调性学习也是如此），此处的奇偶与有理数中的奇偶是一回事吗？有意思的是，当这个问题出现在部分高中数学教师同行面前时，所获得的理解也是不同的. 但实际上这个问题教材是给出了回答的，在本内容引入的时候，教材给出了这样的描述：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称的现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵……而在给出了函数奇偶性定义之后，教材又强调：根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 而实际教学中，教师常常是忽视这种前后对应关系的，因而也就不能将函数奇偶性的概念进行有效的延伸拓展；反之，看到了这种对应关系，学生对函数奇偶性概念的理解就可以既有内涵，也有外延，从而可以完善这种概念理解，学生会认识到此处的奇偶并非是指能否被2整除，而是与对称相关的描述.
类似于此的概念教学中的延伸拓展，对于学生理解数学概念的最大价值在于，学生可以对数学概念产生一个完整的理解，即不仅知道函数的奇偶性是什么意思，更知道为什么会以这样的词语来描述这种特征，而这恰恰是数学概念最为本质的地方. 又如单调性，正如有学生所说的那样：当函数图象在某定义域内只呈现一种变化形态的时候，确实是够单调的.
需要指出的是，数学规律的学习中同样也存在着必要的延伸拓展的问题，考虑到其与概念建构的原理类似，这里不多赘述.
问题解决，基于发散思维实现延伸拓展
在高中数学教学中，问题解决是一个重要的任务，某种程度上讲还是关系到接受高考评价的最为核心的任务. 由于应试的存在，高中数学教学中的问题解决常常是聚合性的，也就是学生的思路常常是指向最终的唯一答案的. 这种聚合性往往是延伸拓展的大敌，从学生数学素养提升的角度来看，在日常教学中基于发散思维去培养学生的问题解决能力，也应当是高中数学教师的应然任务. 且这样的教学并不会对学生的应试能力有任何的影响，其需要的只是教师在传统的应试教学思路中付出基于延伸拓展需要而进行的发散性思维训练的勇气而已.
同样来看一个例子（考虑到现实需要，这里呈现的问题仍然是一般意义上的数学习题，而非与生活关系更为密切的、可以用数学模型来解决的现实问题，前者是后者抽象的结果）. 这则例子来源于苏教版高中数学必修2中的一个例题：判断圆（x+2）2+（y-2）2=1与圆（x-2）2+（y-5）2=16的位置关系. 一般情况下，本问题解决的思路是求出两个圆的圆心，然后再求出圆心距；将之与两圆半径之和进行比较，即可得到结果. 如果这样，那本题就是一道简单的命题，除了巩固学生的新知之外，没有其他价值.
但若从延伸拓展的角度来看，本题实际上是可以进行思维的发散性训练的，在这种发散性训练中，还可以让学生对已有的数学知识进行更有效的整合. 比如说我们可以向学生追问这样的几个问题：本问题解决的思路是什么？经由学生思考，可以梳理出是基于圆心距之和与半径之和的比较；有没有其他的解题思路？思维发散的基本提问方式；两个圆的方程可否转换为方程组？如果求解，其得到的解又有什么数学意义？ 还有研究者更精辟地指出，如果在此时超越本题，而向学生提出问题：如果将两个圆的方程相减，那将会得到什么？（这是一个高中学生能够解决的问题，但又不是教材上出现的问题；至于两圆相加得到的圆系方程，有兴趣的同行不妨研究）得到的这个直线方程与两圆又是什么样的关系？
这样的延伸拓展，可以将学生的视线延伸到原来的问题之外，也可以让学生认识到即使最为简单的数学问题，也都可以进行有价值的延伸. 当然，有价值的延伸并不一定需要延伸，但这样的意识形成，实际上有助于学生将来遇到更为复杂的数学问题时，可以以一种更理性的心态去面对，以一种更冷静的心态去将难题逐步分解成相对简单的问题. 这是实实在在的问题解决能力的体现.
学习反思，基于思维规律实现延伸拓展
高中数学学习能力的一个重要体现，就是学生的反思能力. 相对数学知识的构建而言，反思能力更加直接地指向学生的学习品质. 学习后的反思过程，原本就是学习过程的延伸，如果在延伸的过程中再加以拓展，那学生的数学学习品质就有可能得到真正的提高，而学习后的反思也正是当前高中数学教学中比较薄弱的一环.
笔者在实践中尝试在学生学习之后引导反思，从环节分类来看，也是从数学概念建构、数学规律内化、数学问题解决能力的提高等维度来进行的. 从现实角度来看，在问题解决的过程中引导学生进行学习反思，是比较重要的选择.
例如，在函数概念与基本初等函数中学习到的分段函数，教材上给出的数学问题是源于实际生活中出租车收费标准的问题：某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 试写出收费额关于路程的函数解析式.
这一问题的解决有两个过程：一是生活事实向数学表达的抽象，这一步并不复杂；二是分段函数的得出. 有学生在解题过程中会写出y=7（0
因此，数学学习后的反思尤其是从某一个知识点向数学本质的延伸拓展，应当成为高中数学教师的教学自觉.