浅谈方程思想在初中数学中的应用

文/殷惠琴

【摘 要】本文基于作者多年的初中数学教学经验，首先概括了方程思想的定义，并结合具体习题重点介绍了方程思想在代数以及几何方面的应用。最后分析了方程思想在初中数学应用当中存在的主要问题以及解决对策。本文的研究成果将对方程思想在初中数学中的应用具有一定的贡献意义。

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关键词 初中数学；方程思想；应用；问题；对策

前言

刚刚升入初中的学生，往往把初中数学看作是“计算”的代称。这是因为在小学阶段，他们一直都在计算，而且是最原始的计算（四则运算）。所学的方程知识，只是利用互逆运算来解方程。谈及方程思想，最早的应用还应该算是初中，初中数学的教学当中，让学生体会方程的优越性是教学的重要内容之一。通过对方程以及方程思想的进一步了解，让学生更好的学习方程、应用方程，真正意义上实现算数向代数的转变。

1.方程思想的定义

初中数学教材中涉及的方程思想主要立足于具体数学问题的数量关系，然后通过学生正确理解将问题中所给的语言文字转化成为相关的数学语言以及数学量，进而转化成既定的数学模型。这里提到的数学模型包括方程、不等式、混合式(方程与不等式共存)等，然后通过计算获得方程或者不等式的解，从而使得数学问题得到解决。值得强调的是，方程思想的适用范围很广，它并不是只针对方程问题存在。就像前面提到过的不等式等同样用到了方程思想。随着初中数学进一步学习，我们便能够体会到方程思想的用处很广，它会潜移默化的影响学生的解题思路，帮助学生提高解题能力。

笛卡尔将方程思想进行了具体的概括，他认为的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。在数学领域，几乎到处都会有等式或者不等式存在。初中数学作为数学教育的基础教育，大部分内容也都是建立在等式与不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具体应用到初中数学上来，设未知数、列方程、研究方程、解方程都是学生应用方程思想的重要体现。

不得不介绍一下方程，方程作为方程思想的载体，是初中数学方程思想的主要体现。但是二者是有区别的，其根本区别在于方程属于具体的知识体系，而方程思想属于认知体系。方程思想是一种良好的思维模式，它是对方程知识熟练掌握后的一种升华。方程思想在初中数学的应用是相当广的，通过方程应用题的解答，可以让学生很清楚的了解方程相对于算数的简单性，而且学生理解起来也并不是很难。通过不断的加强相关的锻炼，使初中学生能够轻松准确的根据具体应用题型列出方程式是初中数学教学方程思想的重要部分。除此之外，教师还应该引导学生在学习之中多多联系实际，以便将方程思想运用到实际中去。

2.初中数学中方程思想的应用

2.1方程思想在代数中的应用

首先对于一些概念性的问题可以用方程的思想来解决。例如m/3+1与（2m-7）/3互为相反数，求m的值；p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q坐标。下面结合具体例子谈一下方程思想在代数中的应用。

(1)一元一次方程的应用

例：小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄， 今年到期后， 扣除利息税（税率为20%）， 所得利息为48.60元，恰好购买一只手表。问小明爸爸前年存了多少元？

分析：利息全额-利息税=48.60。

解：设小明爸爸前年存了x元。则根据题意，得

X×2×2.43%-X×2×2.43%=48.60

解这个方程，得 x=1250

经检验，符合题意。

答：小明爸爸前年存了1250元。

(2)二元一次方程组的应用

例：蔬菜公司收购140吨蔬菜，准备加工后投放市场销售。公司的加工方式分为两种：一种为精加工，每天可以加工6吨；另一种为粗加工，每天可以加工16吨。公司打算用15天时间完成蔬菜的加工。请制定加工方案。后又知蔬菜粗加工后利润为1000元/吨，精加工后为2000元/吨，计算加工方案获得的利润是多少？

分析：问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数。我们不妨用列方程组的办法来解答。

解：设应安排x天精加工，y天粗加工。根据题意，得

x+y=15

6x+16y=140

解这个方程组，得

x=10

y=5

出售这些加工后的蔬菜一共可获利

2000×6×10＋1000×16×5＝200000（元）

答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元。

(3)分式方程的应用

例：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

分析：甲和乙的输入速度之间有关系，时间相差2小时。则可设速度或时间。

解：设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩。根据题意，得

2640/2x=2640/x-2×60

解得 x＝11。

经检验，x＝11是原方程的解。并且x＝11，2x=22，符合题意。答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩。

2.2方程思想几何上的应用

方程的思想在几何中也有应用。最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。如：若三角形三个内角之比是1：1：2，则这三角形是什么三角形。解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，则x+x+2x=180，解方程得x=45，因此可以知道三角形为等腰直角三角形。

从上面的例子看出，方程思想就是利用方程的观点、知识解决问题。方程是代数中的重要内容，学生把方程学好了，就能利用已有的知识解决后学的内容，从而获得学习的兴趣。学习兴趣的提高是学习最有效的动力，有动力才能进步。

3.初中生在方程思想应用时存在的问题

分析初中生在方程思想的应用时存在的问题，应该从初中数学方程应用题的错误原因入手，笔者认为方程应用题的做答是初中学生利用方程思想的集中表现。根据笔者多年的任教经验，学生在做方程解题时出现问题的情况还是很多的，其原因多种多样。除去一些学生的个人原因，大部分错题原因可以概括为在应对方程应用题时，不能对题意做出正确的解读，也就不能分析出已知量和未知量的关系，无法正确列出方程式，导致做题错误。

大多数的初中生总是按照小学时养成的固定思维模式去分析题意，从而导致对题目理解起来较困难，甚至出现错误理解。当然学生在题意理解方面出现问题并不等同于学生在语言方面存在不足，其主要原因还是认知模式的影响。初中生缺乏对方程思想的重视，不能很好的将方程思想运用到做题中去。教师在日常的教学活动中，应该积极培养学生的方程意识，让学生能利用方程思想准确的分析数学语言并找出题中的已知量与未知量，从而列出相关的等式或者不等式，解决问题。

4.解决对策

解决函数应用当中存在的问题需要通过教学实践并结合各方面因素。相关学者将培养中学生方程思想的途径概括为以下几点，这也是解决方程应用的关键所在。

(1)注重学生方程基础知识的练习；

(2)要注重对学生初中数学整体知识的培养;

(3)在平时的练习过程中不断完善学生的认知体系:

(4)教师在方程应用题的讲解时，应该注重思考过程而非结果;

(5)鼓励学生遇到问题时主动构建方程模型。

方程思想作为初中数学的一种解题思想，应用时的主要步骤就是首先通过设元寻找未知量与已知量的等量关系，进而构造方程或者方程组。然后对其求解完成未知量向已知量的转化。设元是一种未知转化为已知的手段，通过设元可以寻找已知与未知之间的等量关系，进而造方程或方程组。想要真正的避免进入方程思想应用的误区，首先就应该具备用方程思想解题的意识，有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是还是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识。还有一些综合性的问题，需要通过构造方程来解决，所以在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法。并且要掌握运用方程思想解决问题的要点。还应意识到除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程，函数，不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。

5.结语

方程思想是对具体数学量的划分，包括已知量和未知量。然后分析它们之间的关系列出方程式(等式或者不等式)，再通过解方程、分析方程等方法解决问题。方程思想作为重要的数学思想，能体现出数学的本质、数学能力以及数学的学科特点。对于初中学生而言，加强方程思想的训练能够不断的提高学生思维的灵活性，进而提高初中学生的解题效率。

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参考文献

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[2]覃涛.培养中学生方程思想的意义和途径.华中师范大学.2005

[3]李汇云.试谈数学中的方程思想.数学教学通讯.2001年第3期(总第136期)

[4]张志存.例谈方程思想在解题中的应用.中国教育与教学.2006年10月.第4卷第8期

（作者单位：江苏省昆山市娄江实验学校）