积累数学活动经验，渗透函数思想方法

文/郭宝珠

课前思考

“成正比例的量”是人教版六年级下册第三单元教学的内容，这节课是在学生已经认识了比和比例的知识、常见的数量关系的基础上进行编排的。这是一节概念课，通过本节课的学习，帮助学生理解正比例的意义，能找出生活中成正比例量的实例，并能应用知识解决一些实际问题，同时初步渗透函数思想。

本人曾多次执教过这节课，但每次总觉得课堂气氛沉闷，学生的学习积极性不高，学生只是机械的跟着老师完成下面的教学环节：

教师出示例题中的表格，引导学生观察并回答下列问题。

表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？

写出几组这两种量中相对应的两个数的比，并比较比值的大小。

这两种量成正比例吗？为什么？

思考一

“为什么？”——为什么要学习“正、反比例这部分的知识”？在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。即“学习这部分的知识有助于逐步培养学生的代数思维，更好的实现小学与中学数学学习上的衔接”。

思考二

“是什么？”——这一知识的本质是什么？教材中用了一大段语言（共65个字）描述了成正比例的量和正比例关系，其实它就是学生今后要继续学习的正比例函数的雏形，是研究两个相关联的变量之间的一种数学模型。说到函数，老师们可能并不陌生，虽然小学阶段不出现函数这一概念，但在小学阶段始终都渗透着函数思想，因为有变化的地方都蕴含着函数思想。

思考三

“怎么学?”——抓住本质，激活元认知，渗透函数思想。

函数的核心是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’（关系）。”因此要为学生提供熟悉的、直观的情境让学生感悟生活中存在许多变化的量，而这些变化的量又有一定的联系，如一个量的变化会引起另一个量的变化，而我们要探究的是相关联的量的“变化规律”。

教学实践：

（一）认识生活中变化的量，初步感知相关联的量。

（1）师：同学们，在今年的春晚中有一个节目感动了全国许多的观众，它就是“时间都去哪儿了”。现在让我们随着音乐，再来欣赏一下这个节目。在欣赏的同时，请认真观察，看看你能发现哪些数学信息。(课件出示5张大萌子成长的照片)

（2）学生观察图片并发现变化的量（年龄、身高）。

（3）把这些数据整理成表格，请看。

观察表格，说说小女孩的身高是怎样变化的？

师：（小结）身高随着年龄的变化而变化，像这样一种量的变化会引起另一种量的变化，在数学上我们把这样的两种量叫做相关联的量。

（二）自主探究，学习新知。

1.联系生活，进一步感知相关联的量。

（1）在生活中，你还知道哪些两种相关联的量，能举些例子吗？

（2）老师也为大家提供了一些例子，你们能从中找到两种相关联的量吗？

情境1：（图片形式呈现）

师：看完了春晚，小明领到了1000元压岁钱，正在计划着怎么用。

计划用去100元，还剩下900元。

计划用去200元，他还剩下800元。

计划用去300元，他还剩下700元。

情境2：圆的半径和周长（课件动态呈现画圆的过程）

情境3：行驶的汽车的视频。

师：（小结）只要仔细观察，生活中有很多像这样相关联的量，也就是一个量总是随着另一个量的变化而变化。那么在变化的过程中他们有什么规律吗？

2.探索相关联的量，研究变化规律。

情境4：书本情境图。

师：请同学们拿出答题卡1（例1），按照要求，填写表格，并回答问题。

例1：

（1）请同学们根据图中的信息填表格。

（2）观察表格，说说你有什么发现？

师：现在，谁来说说你有什么发现？

师：是的，总价随着本数的变化而变化，在这变化的过程中有什么是不变的吗？

生：单价。

师：单价真的是不变的吗？谁会用数据来说明？

生：15÷1=15（元），30÷2=15（元），

师： 这个比值15实际上表示什么？（单价）

师：他们的比值都是15，所以说比值相等，也可以说单价是一定的。

师：（小结）现在咱们来回顾一下，刚才是怎样研究这道题的？

（1）通过观察我们发现，总价和本数是两种相关联的量，总价随着本数的变化而变化。（2）通过计算我们还发现，总价和本数的比值（单价）是一定的，也就是不管本数与总价怎样变，但单价始终不变。

3.进一步探究，感悟成正比例的量。

（1）同桌合作探究。

师：你会用刚才这样的方法来研究这些例子吗？（有困难的同学，可以借助以下的问题进行研究？）

①表格中，有哪两种量？它们是不是相关联的量？

②写出几组这两种量对应的两个数的比？算一算他们的比值相等吗？

（2）汇报交流（略）

（3）观察比较，揭示规律。（课件：出示下面三个表格）

师：现在老师把刚才咱们研究的三件事放在一起，你有什么发现吗？

生：事情不一样，但它们的意思都一样。

生：都是相关联的两个量，一个量变化，另一个量也随着变化。

生：他们的比值是一定的。

师：说得真好，事情不一样，但它们却有共同的地方？

看！两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，当他们相对应的比值一定时，我们就把这两种量叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。（板书课题：成正比例的量）

4.归纳概括成正比例量。

（1）结合以上3个例子说一说谁和谁是成正比例的量，为什么？

（2）不用例子，你会用自己的语言说说什么是成正比例的量吗？

（3）请翻开书P39页，读一读书上的概念并会用字母表示。

5.用图像表示成正比例的量。

（1）师：（课件出示坐标图）你知道横轴表示什么？纵轴表示什么吗？

师：如果把这些点描在图中，并把它们连起来，想象一下会是怎样的一条线呢？

（2）师：仔细观察，老师画的跟同学们的有什么不一样？（从零开始）

师：是啊，成正比例的图像是经过原点的一条直线。

师：想象一下，如果这辆车一直开下去，会是怎样的情形？

（3）师：不用计算，根据图像判断，如果汽车行驶2.5小时，路程是多少千米？

如果汽车行驶了360千米，用了多少时间？

小结：这条直线上的每一个点，都有一对数字与它一一对应。

三、巩固应用，判断成正比例的两个量。（略）

教后反思

本节课学生对正比例关系的理解有了质的突破，关键是教师抓住了知识的核心，设计了有价值的探究活动，让学生在观察、比较、分析、抽象、概括的数学活动中建构知识体系，感悟函数思想方法。

1.激活经验，直观感知。

激活生活经验，让学生充分感知相关联的量。学生举例后，教师又提供了4组的例子，这些例子的呈现方式有静态的图片、动感的视频等，从不同的视觉感官上激活学生的生活经验，帮助学生直观的感知一种量的变化会引起另一种量的变化。

2.自主探究，积累数学活动经验。

“数学基本活动经验”的内涵是“指学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的学习策略与方法。”本节课为学生提供了2次自主探究的机会，首先在例题的教学中，教师让学生根据购买图书的直观图和数据填表格，然后同桌交流“你能结合数据说说书的总价与数量是怎样变化的吗？”从学生的表现来看他们习惯比较两个量的增减变化，习惯把两个量进行四则计算。怎样把学生的思维引到比较“比值”上呢？教师适时的追问很重要，如“在这变化的过程中有什么是不变的吗？”“谁会用数据来说明”。通过追问，让学生在思维的冲突中思考，不管数量与总价如何变，单价始终不变，并通过小结帮助学生完善探究的策略和方法。“你能用刚才的方法研究下面的题目吗？”接着教师再次给足时间让学生探究，学生在探究中进一步感悟相关联的两个量在“变化中的不变关系”，通过观察、比较，突出了“成正比例的量”的本质特征，让学生经历了自主构建知识的过程，体会到数学知识是怎样从具体的事物中抽象、概括出来的，做到知其然更知其所以然，而且积累了数学活动经验。

3.数形结合，渗透函数思想方法。

本节课除了从“数”的角度引导学生感悟变量之间的相互依存关系；还从“形”的角度丰富学生的学习体验，渗透函数思想方法。这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有见过图像，不知道图像是什么样的，因此教师在这部分内容的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，如：“如果把这些点描在图中，并把它们连起来，想象一下会是怎样的一条线呢？”“你们画的图与老师画的有什么不同？”“如果这辆车一直行驶下去，会是怎样的情形呢？”教师通过这些问题让学生认识到正比例关系的图像是一条经过原点的直线，它可以延伸，即不断的运动、发展、变化。接着又通过一组的问题，如：“不计算，你能知道这辆汽车4.5小时行驶多少千米吗？”“行400千米呢？”引导学生观察发现，在这条直线上的每一个点都有一对数字与它一一对应。在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散的连起来，让静止的动起来，让变量之间的抽象关系显得更加形象、直观，这个过程就是函数思想方法渗透的过程。

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参考文献

[1]人教版数学六年级下册《教师教学用书》

[2]刘加霞.《小学数学课堂的有效教学》

【作者简介】

郭宝珠，福州金山小学副校长，小学中学高级教师。

（作者单位：福建省福州金山小学）