褪却浮华看数学——在磨课中认识《平均数》的概念性

◇山东省东营市东营区第一中学 成艳芳

摘要：《平均数》教学看似简单，其实不然，很多教师将它作为应用题教学，更是曲解了教材的编写意图。其实学习求平均数，要学习的知识点很多：为什么要学习平均数？它有什么特点和作用？求平均数的方法有哪些？生活中有什么地方要用到平均数？这些都是应该关注的问题。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 ：概念性；特点；方法

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）15-0033-02

笔者在“东营市小学数学青年教师重点培养对象”评选中执教了《平均数》一课。刚看到这个课题时，笔者非常兴奋，觉得这部分内容很简单。在备课的过程中，认为只要学生对基本的数量关系式：总份数÷份数=平均数，牢牢掌握就可以了。在磨课时，笔者也急于将求平均数的规律抛给学生，认为只要学生掌握了关系式，就能解决所有的问题了。事实上，笔者曲解了教材的编写意图。

后来，笔者查阅了大量有关平均数的资料，又经过反复备课，发现其实学生学习“平均数”，要学习的知识点很多，包括：平均数产生的意义，平均数有什么特点和作用，求平均数的方法有哪些，生活中什么地方要用到平均数……这些都是本节课应该关注的问题。基于以上几点认识：在教学时，笔者选择与学生息息相关的“争夺小明星”的事例来吸引学生，激发学生的学习兴趣，同时渗透生活中处处有数学的理念。

首先，对教材进行分析，确定教学目标。例1：理解平均数含义，掌握计算法；例2：体会平均数在统计学中的作用。确定好目标以后，就可以进行分析：

平均数的意义包含以下内容：

一、带着教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 语进课堂

本节课的教学任务可以概括为7个教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 。

1.代表性：平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据（虽然碰巧可能等于某个原始数据），但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。

2.虚拟性：平均数的概念与过去学过的平均分的意义是不完全一样的，平均数是一个“虚拟”的数，是借助平均分的意义通过计算得到的。如把12块糖平均分给3个孩子，平均每人分得4块，这个“4块”是每个孩子实际分得的数；如果说3个孩子一共有12块糖，平均每个孩子有4块，这个“4块”就是平均数，因为不一定每个孩子都有4块糖。由于平均数不是一个“真实”的值，所以要充分利用教具、学具，用直观的方式帮助学生理解平均数的含义。

3.集中趋向性：表现为平均数的大小是在最大数与最小数之间的一个数。

4.敏感性：平均数的敏感性是指一组数的平均数易受这组数据中的每一个数据的影响，可以说“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”。

5.移多补少：通过观察、比较，找出哪组多，多几个，然后把多的一部分平均分成几份，其中的一份补给少的那一组，这样几组物体的数量同样多，这就叫移多补少。

6.先合后分：先算出总数，然后用总数÷总份数。

7.设置基准数：以最小的数为标准，将多出来的合在一起进行平均分，然后将基准数与平分得到的数相加。

二、怎样让学生体会平均数产生的必要性

第一次磨课：为了“教”而“教”

出示教师分配跳绳的情境图：4位学生拿的跳绳数量分别是7、5、8、4根。

学生争论：你们组拿了8根，我们组只有4根，这样分不公平。

师：对呀，这样分不公平。要使每个小组拿到的跳绳同样多，怎么办呢？你们愿意帮帮他们吗？现在就以小组为单位，用桌面上的圆片代替跳绳摆一摆、分一分，使这几个小组拿到的跳绳一样多，好吗？现在开始。

（学生动手分配学具。）

师：你愿意把你的想法展示给大家吗？

生1：重新分，把这些跳绳平均分成4份。

师：像这个同学说的先合起来再平均分，这种方法可以取个什么名字？

生：先求和再平分。

师：我们可以把它概括为：先合后分。（板书：先合后分）

生2：把多出来的补给少的。

师：把多的补给少的，那这种方法可以取个什么名字呢？

生：取长补短。

生：取多补少。

生：移多补少。

师：意思都差不多。我们把这种方法称为：移多补少（板书：移多补少）。

师：开始几个小组拿的跳绳一样多吗？在数量上我们说不相等。后来我们经过移多补少、先合后分等方法，（演示分的过程）使得每个小组拿到的跳绳一样多。那么这个一样多的数，给它起个什么名字呢？（教师板书：平均数）。

接着，让学生体会平均数的虚拟性和趋向性，因为时间关系，没能让学生体会到平均数的敏感性。

问题研讨。课后发现：学生为什么要学习平均数？平均数是什么？学生对此仍然不清楚，整个环节都是跟着教师走。

第二次磨课：为了“学”而“教”

出示班中学生的得星情况：

1.根据小红和小明的得星情况评选听课小明星。

A.出示星期一的得星情况。

师：星期一谁的表现好？

生：小明。因为7>4。

师：刚才他用“一一对应”的方法比较出了他俩的表现情况。

B.出示两天的得星情况。

师：现在谁的表现好？

生：一样好，因为7+5=12，4+8=12。

师：刚才他用求和的方法比较出了他俩的表现情况。

C.出示一周的得星情况。

师：现在谁的表现好？

生1：小红。因为她一共得了25颗星，而小明只有24颗。

生2：小红的也只能算4天的，因为小明只有4天。

生3：这两种计算方法都不公平。

师：那怎么办呢？我们现在先来看小明的得星情况。你能想办法知道小红平均每天得到几颗星吗？现在请你用圆片代替小星星，摆一摆、试一试。

学生在后面出现了各种求平均数的方法。

问题研讨：以认知冲突，使学生感受到平均数产生的必要。但学生没有体会到平均数的“代表性”。即：为什么要将小红每天得到的星星变得同样多？为什么同样多之后才能进行比较？基于以上思考，我们进行了第三次磨课。

第三次磨课：为了“学”而“学”

出示班中学生的得星情况：

1.根据小红和小明的得星情况评选学习小明星。

A.出示周一的得星情况。

师：星期一谁的表现好？

生：小明。因为7>5。

师：刚才他用一一对应的方法比较出了他俩的表现情况。

B.出示两天的得星情况。

师：现在谁的表现好？

生：小明。因为7+5=12，5+5=10。

师：刚才他用求和的方法比较出了他俩的表现情况。

C.出示一周的得星情况。

师：现在谁的表现好？

生1：小红。因为她一共得了25颗星，而小明只有24颗。

生2：小红的也只能算4天的，因为小明只有4天。

生3：这样比较不公平，小红星期五得到的星星特别多，如果只算到周四太可惜了。

生4：如果使他们各自每天得到的星星变得一样多就好比较了。

（学生产生了认知冲突，从而体会到了学习平均数的重要性及平均数所具有的代表性。）

师：对。如果他们每天得到的星星一样多，不管出勤几天就都容易比较了。

生5：老师我有办法了。因为把6移给4，一颗星，小红平均每天得到5颗星。小明7移给5，1颗星；8移给4，2颗星，这样平均每天是6颗星，平均每天得到的星星应该比5多。

师：这位同学说得对吗？现在请你利用手的材料（象形统计图、圆片），试一试能不能解决这个问题。

学生纷纷投入到探索中，各种计算平均数的方法也相应而出。

问题研讨：学生不仅感受到了平均数产生的必要，而且体验到了平均数的“代表性”。即：为什么要将小红每天得到的星星变得同样多？因为它可以代表小红的一般水平。同时，学生在产生认知冲突后，可以自主选择学具进行问题的研究，充分体现了学生在课堂中的主体性。

三、在实践中体验平均数算法的多样化

很多教师只为得出平均数的求法，建构解题模型，为后续解决“平均数应用题”服务。对于“平均数的求法”，虽然由于学生有“平均分”知识和生活常识为起点，求简单数据的平均数已经不成为学生学习的重点、难点。但在教学“移多补少”这个方法的同时，更应该借助学具、课件等，让学生直观感知求“平均数”的算法具有多样化的特点。

基于以上特点，在实际的教学过程中，笔者发现学生看到象形统计图想到的方法只有一个：移多补少。为了便于学生理解更多的求平均数的方法，笔者给学生提供了两种材料：象形统计图和实物圆片。学生可以借助圆片摆一摆、分一分，使每份变得同样多。在操作过程中，学生的算法出现了多样化：有的学生选择象形统计图，直接在象形统计图上画一画、补一补；有的学生选择用圆片摆一摆、分一分，在摆和分的过程中，出现了“移多补少”、“先合后分”及“设置基准数（以最小的数为标准，将多出来的合在一起，再平分）”的方法；也有学生选择了列式计算的方法。在探究求平均数方法的过程中，学生的直觉思维借助直观教学得到了最大化发展。

由此看出，《平均数》是一个非常抽象的概念性教学。教材给出的主题图看似应用题教学，其实不然，因此，要想完成设定的教学目标，可不是一件易事。教师首先要深挖教材，其次找准学生的知识生长点，才能真正使学生掌握有效的知识，从而给予学生学习的“支点”。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：

[1]曹培英.回归平均数的统计意义[J].小学数学教师,2011,(9).

（编辑：朱泽玲）