注重“变式” 力求“三会”——如何解决高中数学学习中“懂而不会”的问题

◆福建省宁德市柘荣一中 吴雪光

【摘 要】“懂而不会”是高中各门课程教学中普遍存在的一种现象，数学学习中的“懂而不会”的现象尤为突出。如何使学生在数学学习中尽最大可能消除“懂而不会”的现象？在教学中可注重概念变式，使学生“会说”；注重问题变式，使学生“会辨”； 注重习题变式，使学生“会用”。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 变式；会说；会辨；会用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）27-0072-02

“懂而不会”是指学生在学习新知识时，课上能听懂教师讲的内容，课后却不会灵活运用，产生这种现象的原因是多方面的，既有教师的问题，也有学生的问题。王光明教授曾针对数学学习中的“懂而不会”现象进行了探讨剖析，他在《数学学习中的“懂而不会”现象”》一文中指出：“懂而不会”中的“懂”是一种错误的个人体验，而“不会”是不真正“懂”（理解数学知识）的必然表现。高中数学学习中的“懂而不会”现象尤为突出，本文就如何使学生在数学学习中消除“懂而不会”现象谈谈认识。

一、注重概念变式，促使学生“会说”

学生“会”的最基本标志是“会说”，概念教学在数学教学中的比重较大，能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。在数学教学中，数学概念的内涵需要让学生熟记，数学概念在数学知识体系中的地位和关系需要让学生理清，更重要的是要让学生会说概念。要达到这一目标，教师可在教学实践中通过变式教学，让学生体验概念，历经抽象、概括、具体化形成过程，以使获得的概念更加准确、稳定。

如在教学“指数函数”概念时，可这样进行变式教学：

1.提出问题：我有一张白纸，把它撕成两半，将它们重叠后再撕一次，重叠后再撕一次，那么，撕扯3次后把所有的纸重叠放置有多少层？5次呢？15次呢？

2.若一张纸厚0.1毫米，那么撕纸15次后把所有的纸重叠放置有多高？

3.若一张纸厚0.1毫米，那么撕纸多少次达到你本人的身高？

4.你能建立起“纸的张数y与撕纸的次数x”之间的函数关系式吗？

引入指数函数定义后，为了加深对概念的理解，可再提出问题：y=2ax与y=a2x 是不是指数函数？

又如，在教学“向量概念”时，为了让学生感受引入概念的必要性，笔者是这样处理的：先出示题目：甲以4千米/小时、乙以5千米/小时的速度，从同一地点出发向东行走，3小时后，他们相距3千米。甲、乙两人分别以4千米/小时、5千米/小时的速度从同一地点出发，甲向东，乙向西，3小时后，他们相距27千米。他们的行走速度一样，为什么3小时后的距离相差这么大？”通过这个例子，让学生直观地感受到“既有大小又有方向的量”是客观存在的，从而引出学习内容就水到渠成了。接着，笔者再引用以下两个问题：

问题1：你能否再举出一些既有方向、又有大小的量？

问题2：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请举例。

问题1激活了学生已有的知识经验和生活经验，轻松地举出物理中学过的如重力、浮力、作用力等量；问题2突出了向量与数量的本质不同，学生所举的例子有体重、视力、周长等，因为让学生通过举出一些典型、丰富的实例，可以观察到他们对概念属性的领悟，从而初步认识概念，为进一步抽象概括做准备。

这样，通过在概念教学中运用变式教学，让学生在原有的知识体系和经验中学习概念，而这些知识或具体经验蕴涵着新概念的一些特征，但不是本质特征，反而会干扰学生形成某个数学概念，而通过上述一组变式题，让学生体验由特殊到一般的过程，可以帮助他们理清抽象概念和感性经验之间的联系，从而调动其求知欲望，引导他们积极探索新知，使之对概念真正达到“懂而会”，并能用自己的语言来正确描述新的数学概念、公式、定理等内涵，能在原有知识经验的基础上对新的学习内容作出自己的合理建构，从而“会说”概念。

二、注重问题变式，促使学生“会辨”

在“会说”的基础上，“会”的进一步标志是“会辨”，在学习概念、定理及公式的教学过程中，通过对有关数学概念、公式、定理等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生去发现变式中的不变，明确并突出概念、公式及定理的条件、结论和注意事项、适用范围等关键的地方，使学生对概念、定理及公式的本质实现透彻理解，从而培养学生严密的逻辑推理能力。因此，在概念教学过程中，教师要善于不断改变问题的形式，让学生通过对比，学会比较全面地看问题，理解概念的内涵和外延，在一定程度上减少由于定势思维而导致解题错误的现象。如在教学“双曲线定义”时，采用以下变式：

1.定义中“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余不变，动点的轨迹是什么？

2.定义中“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余不变，动点的轨迹是什么？

3.将绝对值去掉，其余不变，动点的轨迹是什么？

4.令常数为0，动点的轨迹是什么？

5.把条件“小于|F1F2|”去掉，其余不变，动点的轨迹是什么？

上述变式让学生对概念进行多角度辨识，对概念的本质产生深刻理解，在概念的形成过程中使学生的认知水平得到提升。

又如，在学习“两角和正切公式”后，可让学生做如下一组练习：

通过变式练习，辨别了两角和正切公式的正用、逆用、变形用，使学生对公式有了更深刻的理解。

三、注重习题变式，促使学生“会用”

著名的数学家波利亚曾说，“掌握数学就意味着要善于解题。”衡量学生“会”的最重要标志是学生能否“灵活运用”。在数学教学中，教师要注重习题的变式设计，让学生能够快速抓住问题的本质，灵活运用数学知识、数学思想、数学方法去分析、解决数学问题。如在学习了用导数求函数的单调性之后，笔者设计了以下变式习题：

变式1：求函数f（x）=x3-3x+2的单调区间。

变式2：求函数f（x）=x3-3ax+2的单调增区间。

变式3：已知函数f（x）=x3-3ax+2在R上是增函数，求实数a的取值范围。

变式4：若函数f（x）=x3-3ax+2的单调递减区间为（0，2），求实数a的取值范围。

变式5：若函数f（x）=x3-3ax+2在区间（0，2）上单调递减，求实数a的取值范围。

最后，引导学生反思解题方法，归纳、总结解题规律：①求函数单调区间的方法、步骤有哪些？②函数单调与导函数的关系是什么？③已知单调区间或在某个区间上单调时如何计算参数的值或范围？

这样，通过这一组变式习题的练习，充分调动学生参与解题的积极性，让他们积极、主动地亲历解题全过程，鼓励学生多角度、多层次地去分析问题，选择最合适的解题方法，有效地培养学生独立分析和解决问题的能力。

又如，在学习完《圆锥曲线》这章节的知识点后，进行章节综合应用前，先让学生完成下题：

已知F是双曲线=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_____。

以此题为引，就圆锥曲线的定义的应用、最值的解决方法、数形结合的思想进行变式训练。

变式1：已知F是双曲线=1的右焦点，

A（3，2），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_____。

变式2：已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_____。

变式3：已知椭圆C的方程：过上顶点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，求此双曲线E的方程。

利用知识之间的内在迁移规律，由变式1的直接应用，到变式2的抛物线应用，再到变式3的椭圆、双曲线与直线的综合应用，这种变式体现了数学知识、数学方法与数学思想的层层展示与巧妙应用，更加有效地激发了学生对知识的认知与体会，诱导了学生求同存异的思维，从而使他们“会用”解题方法。

总之，在高中数学教学中，教师要注重教学变式，敢于创设问题陷阱，设计变式练习，最大限度地克服数学学习中“懂而不会”的现象，力求使学生逐步达到“会说（融会贯通的会）、会辨（深刻理解的会）、会用（能够应对多种问题情境的会）”，使学生真正“懂而会”。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：

[1]王光明.“数学学习中的‘懂而不会’现象”[J].中学数学教学参考,2012,(10).

[2]梁县辉.“概念性变式在概念教学中的应用”[J].数学学习与研究（教师版）,2011,(16).

[3]袁琴芳.“例谈高三数学复习课的有效引入”[J].中学数学教学参考,2011,(11).

（编辑：朱泽玲）