基于递推法的几类分式函数不定积分的求解

基于递推法的几类分式函数不定积分的求解

张春春李俊祥蒋君颜婷

（武汉科技大学理学院湖北武汉430065）

摘要：基于递推法的思想，对几类分式函数的不定积分进行了凑因子、拆项处理，利用换元积分和分部积分等，得到了它们的递推公式，从而求出积分结果。

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关键词 ：不定积分；分式函数；换元积分法；分部积分法；递推法

中图分类号：O172.2文献标识码：Adoi：10.3969／j.issn.1665－2272.2015.16.037

1引言

不定积分问题在高等数学中占有重要的地位。不定积分形式多样，方法灵活，技巧性强。常见的积分方法有：直接积分法、换元积分法、分部积分法等。分式函数问题是不定积分中的常见问题，它主要依据多项式分解定理，把分式函数进行拆分，即有理函数的待定系数法、三角函数有理式的万能公式代换法等方法进行求解。对于一些特殊的整式函数的不定积分的解法有，采用分部积分法求解形如

函数的不定积分除了上述解法外，还有一些特殊的积分方法，如凑因子法、拆项法、倒代换法、组合积分法、缩放配凑法、有理函数作部分分式的巧妙分解等。

如果分式函数的分母次数比较高时，它们的不定积分的计算将比较繁杂，结果形式也比较复杂。本文对几类特殊的分式函数的不定积分进行了研究，采取了适当的凑因子和恰当的拆项处理，运用换元积分法和分部积分法等，得到了它们的递推公式，从而求出了其积分结果。

第一类不定积分的求解

求解不定积分：

3结论

本文对几类分式函数的不定积分进行了探讨。这几类分式函数的分母次数比较高，显然直接利用有理函数的待定系数法处理很困难，用倒代换法等方法也无法处理。但本文巧妙的采取了凑因子，拆项的方法，运用换元积分法和分部积分法等，得到了它们的递推公式，快速地获得了它们的积分结果，并进行了适当的推广。第二类不定积分，本文只计算了几个特殊情况，其它情形还有待于继续研究推广。

递推法是求解含高次幂的函数的不定积分的一个有效方法，希望本文的研究能帮助大家更好地使用此方法。

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参考文献

1李寿贵，李德宜.高等数学（第一分册）［M］.北京：高等教育出版社，2013

2尹水仿，方瑛.微积分学习指导（第二版）［M］.北京：科学出版社，2011

3何素燕，曹宏举，万丽英.一类不定积分的分部积分法［J］.高等数学研究，2013（6）

4董秀芳.探索利用反函数求不定积分.牡丹江教育学院学报［J］，2013（4）

5戴中林.用微商分析法求不定积分.高等数学研究［J］，2012（6）

6郭鹏云，云文在，田强，等.不定积分解法研究.大学数学［J］，2012（3）

7周丹.三角有理函数不定积分的计算方法.广西教育学院学报［J］，2013（1）

8范云晔.对一类有理真分式函数不定积分求解方法的简略思考［J］.赤峰学院学报（科学教育版），2011（1）

9费时龙，林永.有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法.宿州学院学报［J］，2013（12）

（责任编辑高平）