数量级的估计在物理学中的应用

呼和满都拉，董永胜，齐 磊

（集宁师范学院 物理系，内蒙古 乌兰察布 012000）

摘 要：在物理学的各个分支中，不同事物的量度有着不同的数量级.比如空间尺度（即长度）跨越了42个数量级，时间、速度也都跨越了几十个数量级.不论理论还是实验，往往都需要对有关物理量进行估计，以确定各个可能效应的相对重要性，判断物理现象的主要机制.本文先是简单估算了宇宙的引力半径，而后对微观层面普朗克常数的存在意义，以及电子的运动机制作了简单讨论.

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关键词 ：数量级；普朗克常数；玻尔半径

中图分类号：O4 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）01-0004-03

理论物理学家们在进行详细计算之前，为了恰当的选择和建立数学和物理模型，要估计各物理量的各种可能效应相对重要性，用以判断哪个物理量是决定现象的主要机制.实验物理学家们在着手准备精密测量之前，为了选择合适的仪器和测量方法，也需要对各有关物理量的数量级先做一番估计.由此我们可以看出，掌握特征量的数量级对我们物理学习来说至关重要.在分析物理效应的过程中，我们应注意尺度大小的改变所产生的影响，并把这种做法养成习惯，久而久之我们对现象的理解就会更加深刻，这种习惯很可能会帮助我们洞察事物的本质.

数量级的估计本无一定之规，我们在用的时候要灵活应用，因此本文主要对几个典型的范例进行讨论.

1 由经典力学估算宇宙的半径

要摆脱一个质量M，半径为R的星球，所需速度为

这个速度也叫做“第二宇宙速度”.其中G是引力常数.若星球的质量M大到使v=c，这时连光子也不能克服其引力的作用而发射出来，以至于在外界看不到这个星体，这类星体就被称为“黑洞”.我们把v=c带入上式得

即“席瓦西（Schwarzschild）半径”，或“引力半径”，反一个过来说，一个质量为M的星球，当它的半径缩小到R0一下时，它就会成为黑洞.

根据天文观测证明，宇宙在大尺度上物质分布是相当均匀的[1].我们考虑一个均匀的球体，其半径R，密度?籽，则

如果这个体系的半径R恰好达到自己的引力半径R0

那么在这种情况下,该球内部就不会有光子逃脱R0的范围.我们将宇宙的平均密度为?籽=5×10-30g/cm3（临界密度）代入上式，就可以估算出宇宙的引力半径R0≈1028cm=1026m，我们姑且认为，这就是“宇宙的半径”[2].

2 普朗克常数的存在意义

前面我们讨论了宇宙的“至大无外”，那么下面我们来到微观领域，来看看“至小无内”，就是没有内部结构的最小单元.

如果说宇宙间有什么东西是无法再分割的，那只能是一些普适的物理常数，他们往往代表着一些无法逾越的界限.二十世纪初，经典理论受到了前所未有的巨大冲击，一些新的实验事实，比如电子荷质比的测定等等，已经完全无法用经典理论进行合理的解释.而正是这一时期，物理学理论发生了重大变革，相对论和量子力学诞生.这两个理论分别提出了一个普适的物理常数.相对论提出真空光速c是一切物体和信号不可超越的最大速度，量子理论提出，普朗克常数h是不可分割的最小作用量子.

当我们掌握了近代物理基本知识以后，我们就感觉到如此违反常识的两个理论其实是很自然的事.下面我们就来看看普朗克常数h存在的必要性.

卢瑟福的实验证明了原子中有核存在以后，原子的稳定性就出现了问题.与万有引力维系的天体运动不同，按照经典电磁理论，由库仑力维系的原子中，电子将在加速运动中不断辐射电磁波，其自身的能量就会不断减少，以至于电子的轨道半径就会越来越小，最后掉进原子核里，进而正负电荷中和，原子塌缩.按照电动力学计算[3]，原子塌缩时间的数量级在10-9s.

1913年，玻尔为电子轨道加上了量子化条件，让它们在定态轨道里作稳定运动而不辐射能量，后面我们会看到，定态轨道正比于h2，而如果普朗克常数h→0，定态轨道的半径也就趋向于0，原子塌缩.由此可见，支撑原子稳定结构的正是普朗克常数.

3 原子

3.1 由玻尔理论基本假设求玻尔半径

在早期，量子力学的发展十分艰苦曲折，而氢原子的量子化研究作为一个突破口起到了至关重要的作用，于是便有了氢原子构造的早期量子理论，也就是玻尔理论.

由玻尔理论的基本假设，电子以速度vn在半径rn的稳定轨道上作圆周运动，其向心力由库仑力提供，即

用这种方法求出的r1是由经典理论和量子理论结合得到的，他把电子看成经典力学中的质点，又有量子化的特征，是不严谨不彻底的量子论[4].而对于玻尔理论所遇到的困难，后面在波粒二象性基础上建立的量子力学给出了圆满的解释.

3.2 不确定关系求玻尔半径

作为粗略估计，电子运行在半径为r的圆形轨道上，动量为p，总能量

可以看到其中的r近似于前面我们求的r1（Bohr半径）[5].

3.3 氢原子电子运动的非相对论性

我们对电子电荷e，电子静质量m，普朗克常数h，光速c四个基本常数用量纲法作一下粗略分析，找到一个无量纲的组合，也就是通常所说的“精细结构常数”：

可以看出，电子的静能要高出?琢2/2=2.7×105倍，所以氢原子中电子的运动的非相对论性.光速c没有出现在aB和Ry的表达式中这一事实，也是反映出这一点.

3.4 通过氢原子基态能量的粗略算法求氦原子基态电离能

在只考虑圆轨道的情况下，对于高激发态，轨道半径rn要乘以n2，能量要除以n2；对于重的元素，半径要除以Z，能量要乘以Z2，即

其中p1，p2分别为两电子的动量，r1，r2分别为两电子到核的距离，r12为两电子之间的距离.

这样我们就可以认为，能量的极小值应发生在两电子相对于氦核处于对称状态的时候，这时p1=p2≡p，r1=r2≡p，r12=r1+r2=2r，则

式中的E取绝对值代表剥离两个电子所需的能量，当第一个电子被剥离后，剩下的是个Z=2的类氢离子，其能量为-Z2Ry，即第一个电子的电离能为

与精确值24.6eV相比，数量级是没有问题，绝对数量是偏大了很多，由此看来，这种粗糙的求极值法只能做出一个估计，而氢原子那样求出两个精确的公式，可以说是非常的巧合.

原子中的能量，主要是静电子的动能和电势能，按照位力定理，二者绝对值差一半，处在同一数量级上.用价电子电离能除以原子半径时可作为价电子处电子强度大小的量度.对于氦原子我们可以简单估算一下，数量级应该在1011V/m左右，相比于现在的实验室所能达到的场强恐怕还要多出几个数量级.

这也正是玻尔的量子化条件.

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参考文献：

〔1〕朱杏芬,褚耀泉.宇宙在大尺度上是均匀的吗[J].天文学进展,2000,18(2):172-176.

〔2〕卡里布努尔·库尔班,高建功.星体结构计算中的数量级估计[N].新疆大学学报(理工版),2001(4).

〔3〕赵凯华.定性与半定量物理学[M].北京：高等教育出版社，1991.101-116.

〔4〕莫文玲,王凤鸣,刘涛.通过计算氢原子的波尔半径加深对量子力学的理解[J].大学物理,2011,30(1):36-37.

〔5〕周世勋.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社，1979.6-7.