几何命题的极坐标证法

苏艳华

（沈阳大学师范学院，辽宁 沈阳 110044）

摘 要：几何命题的证明一般常用综合法、解析法、向量法等等，本文旨在通过具体实例介绍几何命题的极坐标证法，以供读者.

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关键词 ：极坐标；应用；几何命题

中图分类号：O141 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）01-0001-03

几何命题的证明一般常用综合法、解析法、向量法等等，这些方法各有所长，对于中学数学教师来说，掌握和运用这些不同的方法来证明几何命题十分必要.众所周知，极坐标是数学的有力工具，它主要用于解决几何中曲线方程，在几何教学、天体物理学中应用十分广泛，但目前国内中学数学教材介绍甚少，本文旨在通过具体实例介绍几何命题的极坐标证法，供大家分享之.

命题1 经过圆内任意一个定点作任意一条弦，则弦被这个点分得的两条线段的乘积是一个恒量.

证明 设P0为圆内任意一个定点，AB为经过P0的任意一条弦.采用极坐标系，以P0为极点，P0X为极轴.设圆的极坐标方程为

命题2 圆内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

证明 采用极坐标系，以圆心O为极点，使极轴OX与P4P1相交.设顶点按逆时针方向依次为P1（r，?兹1），P2（r，?兹2），P3（r，?兹3），P4（r，?兹4），这里0

故本命题得证.

命题3 如图3，已知P是正三角形P1P2P3外接圆中劣弦上任意一个点，求证：

PP12=PP2·PP3+P2P32.

命题4 由三角形外接圆上任意一个点分别对三角形三条边作垂线，则所得的三个垂足共线.

证明 设由△P1P2P3外接圆上任一点O分别作其三边的垂线，所得的三个垂足为F1，F2和F3.

采用极坐标系，取点O为极点，使△P1P2P3的外心在极轴OX上，则此外接圆的方程可写为

命题7 三角形一条边上的高与外接圆直径的乘积等于其余两条边的乘积.

证明 采用极坐标系，取C为极点，使△ABC的外心在极轴CX上.设A，B的坐标依次为（?籽1，?琢），（?籽2，?茁），外接圆的方程为

限于篇幅，仅举以上几例.研究极坐标在几何证题中的运用，既符合新课程标准的理念，又有利于开拓学生视野，并对提高学生解题水平、融汇贯通学科间的知识大有裨益.

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参考文献：

〔1〕沈文选.平面几何证明方法全书[M].哈尔滨工业大学出版社，2005.

〔2〕肖维松.圆极坐标方程引理及其应用[J].新高考，2011（6）.〔3〕于志洪.极坐标法证明四点共圆[J].厦门数学通讯，1982（1）.